Serie Liouville-Neumann
En matemáticas, la serie de Liouville-Neumann es una serie infinita que corresponde a la técnica del formalismo resolutivo para resolver las ecuaciones integrales de Fredholm en la teoría de Fredholm.
Definición
La serie Liouville-Neumann (iterativa) se define como
- φ φ ()x)=.. n=0JUEGO JUEGO λ λ nφ φ n()x){displaystyle phi left(xright)=sum _{n=0}{infty }lambda ^{n}phi _{n}left(xright)}
, siempre que λ λ {displaystyle lambda } es lo suficientemente pequeña para que la serie converge, es la solución continua única de la ecuación integral de Fredholm del segundo tipo,
f()t)=φ φ ()t)− − λ λ ∫ ∫ abK()t,s)φ φ ()s)ds.{displaystyle f(t)=phi (t)-lambda int _{a}{b}K(t,s)phi (s),ds.}
Si el nésimo núcleo iterado se define como n−1 integrales anidadas de n operadores K,
- Kn()x,z)=∫ ∫ ∫ ∫ ⋯ ⋯ ∫ ∫ K()x,Sí.1)K()Sí.1,Sí.2)⋯ ⋯ K()Sí.n− − 1,z)dSí.1dSí.2⋯ ⋯ dSí.n− − 1{displaystyle K_{n}left(x,zright)=intint cdots int Kleft(x,y_{1}right)Kleft(y_{1},y_{2}right)cdots Kleft(y_{n-1},zright)dy_{2}
entonces
- φ φ n()x)=∫ ∫ Kn()x,z)f()z)dz{displaystyle phi _{n}left(xright)=int K_{n}left(x,zright)fleft(zright)dz}
con
- φ φ 0()x)=f()x),{displaystyle phi _{0}left(xright)=fleft(xright)~,}
entonces K0 puede tomarse como δ(x−z).
El resolvente (o kernel de resolución para el operador integral) viene dado por una "serie geométrica" análoga esquemática,
- R()x,z;λ λ )=.. n=0JUEGO JUEGO λ λ nKn()x,z).{displaystyle Rleft(x,z;lambda right)=sum _{n=0}^{infty }lambda ^{n}K_{n}left(x,zright).}
donde K0 se ha tomado como δ(x−z).
La solución de la ecuación integral se vuelve simplemente
- φ φ ()x)=∫ ∫ R()x,z;λ λ )f()z)dz.{displaystyle phi left(xright)=int Rleft(x,z;lambda right)fleft(zright)dz.}
Se pueden usar métodos similares para resolver las ecuaciones de Volterra.