Serie laurent

Una serie Laurent se define con respecto a un punto particular ${displaystyle c}$ y un camino de integración γ. El camino de la integración debe estar en un anís, indicado aquí por el color rojo, dentro del cual ${displaystyle f(z)}$ es holomorfo (analítico).

En matemáticas, la Serie Laurent de una función compleja ${displaystyle f(z)}$ es una representación de esa función como una serie de potencia que incluye términos de grado negativo. Puede utilizarse para expresar funciones complejas en los casos en que no se pueda aplicar una ampliación de la serie Taylor. La serie Laurent fue nombrada y publicada por Pierre Alphonse Laurent en 1843. Karl Weierstrass pudo haberlo descubierto primero en un periódico escrito en 1841, pero no fue publicado hasta después de su muerte.

Definición

La serie Laurent para una función compleja ${displaystyle f(z)}$ acerca de un punto ${displaystyle c}$ es dado por

$${displaystyle f(z)=sum _{n=-infty } {infty }a_{n}(z-c)^{n}$$

${displaystyle a_{n}$

${displaystyle c}$

${displaystyle a_{n}$

$${displaystyle a_{n}={frac} {1}{2pi Estoy bien.$$

El camino de la integración ${displaystyle gamma }$ es en sentido contrario alrededor de una curva de Jordania cerca ${displaystyle c}$ y tumbado en un anulus ${displaystyle A}$ en que ${displaystyle f(z)}$ es holomorfo (analítico). La expansión ${displaystyle f(z)}$ entonces será válido en cualquier lugar dentro del annulus. El annulus se muestra en rojo en la figura de la derecha, junto con un ejemplo de un camino adecuado de integración etiquetado ${displaystyle gamma }$. Si tomamos ${displaystyle gamma }$ ser un círculo ${displaystyle ← }$, donde ${displaystyle r madevarrho$, esto sólo cantidades para calcular los complejos coeficientes de Fourier de la restricción ${displaystyle f}$ a ${displaystyle gamma }$. El hecho de que estas integrales no sean cambiadas por una deformación del contorno ${displaystyle gamma }$ es una consecuencia inmediata del teorema de Green.

También se puede obtener la serie Laurent para una función compleja ${displaystyle f(z)}$ a ${displaystyle z=infty}$. Sin embargo, esto es lo mismo que cuando ${displaystyle Rrightarrow infty }$ (véase el ejemplo a continuación).

En la práctica, la fórmula integral anterior puede no ofrecer el método más práctico para calcular los coeficientes ${displaystyle a_{n}$ para una función determinada ${displaystyle f(z)}$; en cambio, una a menudo se une la serie Laurent combinando las expansiones conocidas de Taylor. Porque la expansión Laurent de una función es única cuando existe, cualquier expresión de esta forma que iguale la función dada ${displaystyle f(z)}$ en algunos annulus debe ser realmente la expansión Laurent ${displaystyle f(z)}$.

Serie convergente de Laurent

e^−1x2 y aproximaciones Laurent: ver texto para clave. A medida que aumenta el grado negativo de la serie Laurent, se acerca a la función correcta.

e^−1x2 y sus aproximaciones Laurent con el aumento del grado negativo. El barrio alrededor de la singularidad cero nunca puede ser aproximado.

Las series de Laurent con coeficientes complejos son una herramienta importante en el análisis complejo, especialmente para investigar el comportamiento de funciones cerca de singularidades.

Considere por ejemplo la función ${displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}}$ con ${displaystyle f(0)=0}$. Como una función real, es infinitamente diferente en todas partes; como una función compleja sin embargo no es diferenciable en ${displaystyle x=0}$. Por sustitución ${displaystyle x}$ con ${displaystyle - 1/x^{2}$ en la serie de potencia para la función exponencial, obtenemos su serie Laurent que converge y es igual a ${displaystyle f(x)}$ para todos los números complejos ${displaystyle x}$ excepto en la singularidad ${displaystyle x=0}$. El gráfico opuesto muestra ${displaystyle E^{-1/x^{2}}$ en negro y sus aproximaciones Laurent

$${displaystyle sum _{n=0}{N}(-1)^{n},{x^{-2n} over n!}$$

${displaystyle N}$

${displaystyle Nto infty$

${displaystyle x}$

${displaystyle x=0}$

De manera más general, las series de Laurent se pueden usar para expresar funciones holomorfas definidas en un anillo, de la misma manera que las series de potencias se usan para expresar funciones holomorfas definidas en un disco.

Supongamos

$${displaystyle sum _{n=-infty } {infty }a_{n}(z-c)^{n}}$$

${displaystyle a_{n}$

${displaystyle c}$

${displaystyle r}$

${displaystyle R.$

• La serie Laurent converge en el anulus abierto ${displaystyle A={z:r Utilizando la palabra "Antes"$. Para decir que la serie Laurent converge, queremos decir que tanto la serie de potencia de grado positivo como la serie de potencia de grado negativo convergen. Además, esta convergencia será uniforme en conjuntos compactos. Finalmente, la serie convergente define una función holomorfa ${displaystyle f(z)}$ en el anulus abierto.
• Fuera del annulus, la serie Laurent se divierte. Es decir, en cada punto del exterior ${displaystyle A}$, la serie de potencia de grado positivo o la serie de potencia de grado negativo se divierte.
• En el límite del annulus, no se puede hacer una declaración general, excepto decir que hay al menos un punto en el límite interno y un punto en el límite exterior, tal que ${displaystyle f(z)}$ no se puede continuar holomorfamente con esos puntos.

Es posible que ${displaystyle r}$ puede ser cero o ${displaystyle R.$ puede ser infinito; en el otro extremo, no es necesariamente cierto que ${displaystyle r}$ es menos que ${displaystyle R.$. Estos radios se pueden calcular de la siguiente manera:

$${displaystyle {begin{aligned}r ventaja=limsup _{nto infty - ¿Qué? {1}{n},{1 over R} limit=limsup _{nto infty - ¿Qué?$$

Nos llevamos ${displaystyle R.$ ser infinito cuando este último sup de lim es cero.

Por el contrario, si empezamos con un anulus de la forma ${displaystyle A={z:r Utilizando la palabra "Antes"$ y una función holomorfa ${displaystyle f(z)}$ definidas ${displaystyle A}$, entonces siempre existe una serie Laurent única con centro ${displaystyle c}$ que converge (al menos) en ${displaystyle A}$ y representa la función ${displaystyle f(z)}$.

Como ejemplo, considere la siguiente función racional, junto con su desarrollo en fracción parcial:

$${displaystyle f(z)={frac {1}{(z-1)(z-2i)}={frac {1+2i}{5}}left({frac {1}{z-1}-{frac {1}{z-2i}}right). }$$

Esta función tiene singularidades ${displaystyle z=1}$ y ${displaystyle z=2i}$, donde el denominador de la expresión es cero y la expresión es por lo tanto indefinida. Una serie de Taylor ${displaystyle z=0}$ (que produce una serie de energía) sólo convergerá en un disco de radio 1, ya que "hits" la singularidad en 1.

Sin embargo, hay tres posibles expansiones Laurent alrededor de 0, dependiendo del radio de ${displaystyle z}$:

• Una serie se define en el disco interior donde SilenciozTENIDA 1; es lo mismo que la serie Taylor,
  $${displaystyle f(z)={1+2i}{5}sum _{n=0}{infty }left({frac {1}{(2i)^{n+1}}}-1right)z^{n}} {n}$$

  
  Esto se deriva de la forma de fracción parcial de la función, junto con la fórmula para la suma de una serie geométrica,
  $${fnMicroc} {1}{z-a}=-{frac {1}{a}sum ¿Qué?$$

  
  para ${displaystyle Нововованиваниваниванинываныйный ненный нельный неный неный нелентеныеный неныеный ныеный ный ный ный ный ненененый ный ный нененый ный ный ный ный ный нененененененый нененый неный ный ный ный нененый неный нененый неный ный нененый нененый неный не$.
• La segunda serie se define en el anulo medio donde ${displaystyle 1 Seguido 0}$ es atrapado entre las dos singularidades:
  $${displaystyle f(z)={frac {1+2i}left(sum) ¿Por qué?$$

  
  Aquí, utilizamos la forma alternativa de la suma de la serie geométrica,
  $${fnMicroc} {1}{z-a}={frac {1}{z}sum _{n=0}{infty }left({frac {f}{z}}right)} {n}} {fn}} {fn}}} {fn}} {f}}} {fn}} {f}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {f} {f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

  
  para ${displaystyle Никованиваниниваниваниный ненный неныхный неленный неный неный неленыеный неный неный неный ный ный неный ный нененый ный нененый ный ный ный ный ный ный ный нененененый неный неный ный ный неный неный неный нененый неный ный нененый нененый неный ны$.
• La tercera serie se define en el ánulo exterior infinito donde ${displaystyle 2 secuestrar]$, (que es también la expansión Laurent en ${displaystyle z=infty}$)
  $${displaystyle f(z)={frac {1+2i}{5}sum ¿Por qué?$$

  
  Esta serie se puede derivar usando series geométricas como antes, o mediante la ejecución de división larga polinomio de 1 por ${displaystyle (x-1)(x-2i)}$, no parar con un resto pero continuar ${displaystyle x^{-n}$ términos; de hecho, la serie "outer" Laurent de una función racional es análoga a la forma decimal de una fracción. (La expansión de la serie Taylor "inner" se puede obtener de forma similar, simplemente revirtiendo el orden de término en el algoritmo de división.)

El caso ${displaystyle r=0}$; es decir, una función holomorfa ${displaystyle f(z)}$ que puede ser indefinido en un solo punto ${displaystyle c}$, es especialmente importante. El coeficiente ${displaystyle A_{-1}$ de la expansión Laurent de tal función se llama residuos de ${displaystyle f(z)}$ en la singularidad ${displaystyle c}$; juega un papel prominente en el teorema de residuos. Por ejemplo, considere

$${displaystyle f(z)={e^{z} over z}+e^{1}/{z}}$$

Esta función es holomorfa en todas partes excepto en ${displaystyle z=0}$.

Para determinar la expansión de Laurent ${displaystyle c=0}$, utilizamos nuestro conocimiento de la serie Taylor de la función exponencial:

$${fnMicrosoft Sans Serif}cdots +left({1over 3!}right)z^{-3}+left({1 over 2!}right)z^{-2}+2z^{-1}+2+left({1 over 2!}right)z+left!$$

Encontramos que el residuo es 2.

Un ejemplo para expandirse ${displaystyle z=infty}$:

$${displaystyle f(z)={sqrt {1+z^{2}}-z=zleft({sqrt {1+{frac {1}{2}}}}}}}}}-1derecha)=zleft({fracfrac} {1}{2z^{2}}-{1}{8z^{4}}+{frac {1}{16z^{6}}}}-cdots right)={frac {1}{2z}-{8z}{8z}}}}}}} {}}{} {} {}}{1} {}{1}{1} {} {} {} {}} {}}}}}} {}}} {}{2}}}}} {}}}}}} {}}}}{2} {} {} {}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}} {} {}}}}}} {} {} {}}}}}} {} {}}} {} {}}}}}{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

Singularidad

Suponga una función ${displaystyle f(z)}$ holomorfo en el annulus ${displaystyle r interpretado sometidaz-c intimidado$ tiene dos series Laurent:

$${displaystyle f(z)=sum _{n=-infty } {infty }a_{n}(z-c)^{n}=sum _{n=-infty }{infty }b_{n}(z-c)^{n}}}$$

Multiplique ambos lados por ${displaystyle (z-c)}{-k-1}$, donde k es un entero arbitrario, e integrar en un camino γ dentro del anulus,

$${displaystyle oint _{gamma },sum _{n=-infty }{infty }a_{n}(z-c)^{n-k-1},dz=oint - ¿Por qué?$$

La serie converge uniformemente en ${displaystyle r+varepsilon leq Silencioz-c eternaleq R-varepsilon }$, donde ε es un número positivo lo suficientemente pequeño para γ para ser contenido en el anulo cerrado restringido, por lo que la integración y el resumen pueden ser intercambiados. Sustitución de la identidad

$${displaystyle oint _{gamma },(z-c)^{n-k-1},dz=2pi idelta ¿Qué?$$

$${displaystyle a_{k}=b_{k}$$

De ahí que la serie Laurent sea única.

Polinomios de Laurent

Un polinomio de Laurent es una serie de Laurent en la que solo un número finito de coeficientes son distintos de cero. Los polinomios de Laurent difieren de los polinomios ordinarios en que pueden tener términos de grado negativo.

Parte principal

La parte principal de una serie de Laurent es la serie de términos de grado negativo, es decir

$${displaystyle sum _{k=-infty - Sí.$$

Si la parte principal de ${displaystyle f}$ es una suma finita, entonces ${displaystyle f}$ tiene un poste en ${displaystyle c}$ de orden igual a (negativo) el grado del más alto plazo; por otro lado, si ${displaystyle f}$ tiene una singularidad esencial ${displaystyle c}$, la parte principal es una suma infinita (que significa que tiene infinitamente muchos términos no cero).

Si el radio interior de convergencia de la serie Laurent para ${displaystyle f}$ es 0, entonces ${displaystyle f}$ tiene una singularidad esencial ${displaystyle c}$ si y sólo si la parte principal es una suma infinita, y tiene un polo de otra manera.

Si el radio interior de convergencia es positivo, ${displaystyle f}$ puede tener infinitamente muchos términos negativos pero todavía ser regular en ${displaystyle c}$, como en el ejemplo anterior, en cuyo caso está representado por un diferentes Serie Laurent en un disco sobre${displaystyle c}$.

La serie Laurent con sólo finitamente muchos términos negativos son bien hechos, son una serie de potencia dividida por ${displaystyle z^{k}$, y se puede analizar de forma similar, mientras que la serie Laurent con infinitamente muchos términos negativos tienen comportamiento complicado en el círculo interno de la convergencia.

Multiplicación y suma

La serie de Laurent en general no se puede multiplicar. Algebraicamente, la expresión de los términos del producto puede involucrar sumas infinitas que no necesitan converger (no se puede tomar la convolución de secuencias enteras). Geométricamente, las dos series de Laurent pueden tener anillos de convergencia que no se superponen.

Dos series Laurent con sólo finito muchos términos negativos se pueden multiplicar: algebraicamente, las sumas son todas finitas; geométricamente, estos tienen polos en ${displaystyle c}$, y radio interior de convergencia 0, por lo que ambos convergen en un anulus superpuesto.

Por lo tanto, al definir series de Laurent formales, se requieren series de Laurent con solo un número finito de términos negativos.

Del mismo modo, la suma de dos series de Laurent convergentes no necesita converger, aunque siempre se define formalmente, pero la suma de dos series de Laurent acotadas por debajo (o cualquier serie de Laurent en un disco perforado) tiene un anillo de convergencia no vacío..

También, para un campo ${displaystyle F}$, por la suma y multiplicación definida anteriormente, la serie formal Laurent formaría un campo ${displaystyle F(x)}$ que es también el campo de las fracciones del anillo ${displaystyle F[x]}$ de la serie de poder formal.