Serie Dyson

En la teoría de la dispersión, una parte de la física matemática, la serie de Dyson, formulada por Freeman Dyson, es una expansión perturbativa del operador de evolución temporal en la imagen de interacción. Cada término se puede representar mediante una suma de diagramas de Feynman.

Esta serie diverge asintóticamente, pero en electrodinámica cuántica (QED) de segundo orden la diferencia con los datos experimentales es del orden de 10⁻¹⁰. Esta estrecha concordancia se cumple porque la constante de acoplamiento (también conocida como constante de estructura fina) de QED es mucho menor que 1.

Observe que en este artículo se utilizan unidades de Planck, de modo que ħ = 1 (donde ħ es la constante de Planck reducida).

El operador Dyson

Supongamos que tenemos un H hamiltoniano, que dividimos en una parte libre H₀ y una parte que interactúa V_S(t), es decir, H = H₀ + V_S(t).

Trabajaremos en el cuadro de interacción aquí, es decir,

VI()t)=eiH0⋅ ⋅ ()t− − t0)VS()t)e− − iH0⋅ ⋅ ()t− − t0),{displaystyle V_{I}(t)=mathrm {e} {mhm} ¿Qué?

Donde H0{displaystyle H_{0} es tiempo-independiente y VS()t){displaystyle V_{S}(t)} es la parte que interactúa posiblemente dependiente del tiempo de la imagen de Schrödinger. Para evitar subscriptos, V()t){displaystyle V(t)} stands VI()t){displaystyle V_{text{I}(t)} en lo que sigue. Elegimos unidades de tal manera que la constante de Planck reducido ▪ 1.

En el cuadro de interacción, el Operador de evolución U definido por la ecuación:

Ψ Ψ ()t)=U()t,t0)Ψ Ψ ()t0){displaystyle Psi (t)=U(t,t_{0})Psi (t_{0}}

se llama operador Dyson.

Tenemos algunas propiedades:

• Identidad y normalización: U()t,t)=I,{displaystyle U(t,t)=I,}
• Composición: U()t,t0)=U()t,t1)U()t1,t0),{displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}),}
• Reversión del tiempo: U− − 1()t,t0)=U()t0,t),{displaystyle U^{-1}(t,t_{0})=U(t_{0},t),}
• Unitarity: U† † ()t,t0)U()t,t0)=1{displaystyle U^{dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=mathbb {1}

y de estos es posible derivar la ecuación de evolución temporal del propagador:

iddtU()t,t0)Ψ Ψ ()t0)=V()t)U()t,t0)Ψ Ψ ()t0).{displaystyle i{frac {d}U(t,t_{0})Psi (t_{0})=V(t)U(t,t_{0})Psi (t_{0}). }

Nos damos cuenta de nuevo que en el cuadro de interacción el Hamiltonian es el mismo que el potencial de interacción V()t){displaystyle V(t)}. Esta ecuación no debe confundirse con la ecuación de Tomonaga–Schwinger

En consecuencia:

U()t,t0)=1− − i∫ ∫ t0tdt1V()t1)U()t1,t0),{displaystyle U(t,t_{0}=1-iint ¿Qué? ¿Qué?

que es en última instancia un tipo de ecuación Volterra.

Derivación de la serie Dyson

Una solución iterativa de la ecuación de Volterra anterior conduce a la siguiente serie de Neumann:

U()t,t0)=1− − i∫ ∫ t0tdt1V()t1)+()− − i)2∫ ∫ t0tdt1∫ ∫ t0t1dt2V()t1)V()t2)+⋯ ⋯ +()− − i)n∫ ∫ t0tdt1∫ ∫ t0t1dt2⋯ ⋯ ∫ ∫ t0tn− − 1dtnV()t1)V()t2)⋯ ⋯ V()tn)+⋯ ⋯.{displaystyle {begin{aligned}U(t,t_{0}={} ¿Por qué? ¿Qué? ¿Qué? V(t_{2})+cdots {}+(-i)^{n}int ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué? V(t_{n}+cdots.

Aquí tenemos. t_{2}>cdots >t_{n}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">t1■t2■⋯ ⋯ ■tn{displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################t_{2}>cdots >t_{n}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/791f2db5788fe9bad0b6233ed2489b74573e3e40" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.864ex; height:2.343ex;"/>, por lo que podemos decir que los campos están ordenados por tiempo, y es útil introducir un operador T{displaystyle {fnMithcal}} llamado time-ordering operator, definición

Un()t,t0)=()− − i)n∫ ∫ t0tdt1∫ ∫ t0t1dt2⋯ ⋯ ∫ ∫ t0tn− − 1dtnTV()t1)V()t2)⋯ ⋯ V()tn).{displaystyle U_{n}(t,t_{0}=(-i)^{n}int ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? V(t_{1})V(t_{2})cdots V(t_{n}).}

Ahora podemos tratar de hacer esta integración más simple. De hecho, por el siguiente ejemplo:

Sn=∫ ∫ t0tdt1∫ ∫ t0t1dt2⋯ ⋯ ∫ ∫ t0tn− − 1dtnK()t1,t2,......,tn).{displaystyle S_{n}=int ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué?

Supongamos que K es simétrico en sus argumentos y define (mira los límites de integración):

In=∫ ∫ t0tdt1∫ ∫ t0tdt2⋯ ⋯ ∫ ∫ t0tdtnK()t1,t2,......,tn).{displaystyle I_{n}=int ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué?

La región de integración puede romperse n!{displaystyle n!} subregiones definidas t_{2}>cdots >t_{n}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">t1■t2■⋯ ⋯ ■tn{displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################t_{2}>cdots >t_{n}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/791f2db5788fe9bad0b6233ed2489b74573e3e40" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.864ex; height:2.343ex;"/>, t_{1}>cdots >t_{n}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">t■t1■⋯ ⋯ ■tn{displaystyle t títulot_{1}cdots #t_{1}>cdots >t_{n}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e55d9dc190e66d1ba65266f15391bc289fcd0cab" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.81ex; height:2.343ex;"/>, etc. Debido a la simetría de K, la integral en cada una de estas subregiones es la misma e igual Sn{displaystyle S_{n} por definición. Así que es verdad que

Sn=1n!In.{displaystyle S_{n}={frac Yo...

Volviendo a nuestra integral anterior, se cumple la siguiente identidad

Un=()− − i)nn!∫ ∫ t0tdt1∫ ∫ t0tdt2⋯ ⋯ ∫ ∫ t0tdtnTV()t1)V()t2)⋯ ⋯ V()tn).{displaystyle ¡Uh! ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? V(t_{1})V(t_{2})cdots V(t_{n}).}

Resumiendo todos los términos, obtenemos la serie Dyson que es una versión simplificada de la serie Neumann anterior y que incluye los productos ordenados por tiempo:

U()t,t0)=.. n=0JUEGO JUEGO Un()t,t0)=Te− − i∫ ∫ t0tdτ τ V()τ τ).{displaystyle U(t,t_{0})=sum _{n=0} {infty }U_{n}(t,t_{0})={mathcal {T}e^{-iint ¿Qué?

Este resultado también se llama fórmula de Dyson.

Aplicación en vectores estatales

Entonces se puede expresar el vector de estado en el momento t en términos del vector de estado en el momento t₀, para t > t₀,

SilencioΨ Ψ ()t).. =.. n=0JUEGO JUEGO ()− − i)nn!∫ ∫ dt1⋯ ⋯ dtn⏟ ⏟ tf≥ ≥ t1≥ ≥ ⋯ ⋯ ≥ ≥ tn≥ ≥ tiT{}∏ ∏ k=1neiH0tkV()tk)e− − iH0tk}SilencioΨ Ψ ()t0)...{displaystyle НPsi (t)rangle =sum _{n=0}{infty }{(-i)^{n}over n!}underbrace {int dt_{1}cdots dt_{n}}}}}} ¿Por qué? {fnMitcal {fnMitcal}leftprod ¿Por qué? Psi (t_{0}rangle.}

Entonces, el producto interno de un estado inicial (t_i = t₀) con un estado final estado (t_f = t) en la imagen de Schrödinger, para t_f > t_i, es el siguiente:

.. Ψ Ψ ()ti)▪ ▪ Ψ Ψ ()tf).. =.. n=0JUEGO JUEGO ()− − i)nn!∫ ∫ dt1⋯ ⋯ dtn⏟ ⏟ tf≥ ≥ t1≥ ≥ ⋯ ⋯ ≥ ≥ tn≥ ≥ ti.. Ψ Ψ ()ti)▪ ▪ e− − iH0()tf− − t1)VS()t1)e− − iH0()t1− − t2)⋯ ⋯ VS()tn)e− − iH0()tn− − ti)▪ ▪ Ψ Ψ ()ti)...{displaystyle langle Psi (t_{i})mid Psi (t_{f})rangle =sum _{n=0}{infty }{(-i)^{n} over n!}underbrace {int dt_{1}cdot_{n}}}} ¿Por qué?,t_{rm {i}},langle Psi (t_{i})mid e^{-iH_{0}(t_{rm {f}-t_{1})}V_{S}(t_{1})e^{-iH_{0}(t_{1}-t_{2})}cdots V_{S}(t_{n})e^{-iH_{0}(t_{n}-t_{ {c} {i})mid Psi (t_{i})rangle.}