Serie de potencias formales

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Infinita suma que se considera independiente de cualquier noción de convergencia

En matemáticas, una serie formal es una suma infinita que se considera independientemente de cualquier noción de convergencia, y puede manipularse con las operaciones algebraicas habituales sobre series (suma, resta, multiplicación, división, sumas parciales, etc.).

A serie de poder formal es un tipo especial de serie formal, cuyos términos son de la forma ${displaystyle ax^{n}}$ Donde $x^{n}$ es $n$ potencia de una variable $x$ () $n$ es un entero no negativo, y $a$ se llama el coeficiente. Por lo tanto, la serie de energía puede considerarse como una generalización de los polinomios, donde se permite que el número de términos sea infinito, sin requisitos de convergencia. Así, la serie ya no puede representar una función de su variable, simplemente una secuencia formal de coeficientes, en contraste con una serie de potencia, que define una función tomando valores numéricos para la variable dentro de un radio de convergencia. En una serie de poder formal, $x^{n}$ son utilizados sólo como titulares de posición para los coeficientes, de modo que el coeficiente de $x^{5}$ es el quinto término en la secuencia. En combinatoria, el método de generación de funciones utiliza series de potencia formales para representar secuencias numéricas y multisets, por ejemplo permitiendo expresiones concisas para secuencias definidas recursivamente independientemente de si la recursión puede ser resuelta explícitamente. Más generalmente, la serie de potencia formal puede incluir series con cualquier número finito (o contable) de variables, y con coeficientes en un anillo arbitrario.

Los anillos de series de potencias formales son anillos locales completos, y esto permite usar métodos similares al cálculo en el marco puramente algebraico de la geometría algebraica y el álgebra conmutativa. Son análogos en muchos aspectos a los enteros p-ádicos, que se pueden definir como series formales de las potencias de $p$ .

Introducción

Una serie de potencias formal se puede considerar como un objeto que es como un polinomio, pero con una cantidad infinita de términos. Alternativamente, para aquellos familiarizados con las series de potencias (o series de Taylor), uno puede pensar en una serie de potencias formal como una serie de potencias en la que ignoramos las cuestiones de convergencia al no suponer que la variable X denota cualquier valor numérico. valor (ni siquiera un valor desconocido). Por ejemplo, considere la serie

A = 1 - 3X + 5X^2 - 7X^3 + 9X^4 - 11X^5 + cdots.

Si estudiáramos esto como una serie de potencias, sus propiedades incluirían, por ejemplo, que su radio de convergencia es 1. Sin embargo, como una serie de potencias formal, podemos ignorar esto por completo; todo lo que es relevante es la secuencia de coeficientes [1, −3, 5, −7, 9, −11,...]. En otras palabras, una serie de potencias formal es un objeto que solo registra una secuencia de coeficientes. Es perfectamente aceptable considerar una serie de potencias formal con los factoriales [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040,... ] como coeficientes, aunque la serie de potencias correspondiente diverja para cualquier valor distinto de cero de X.

La aritmética de las series de potencias formales se realiza simplemente simulando que las series son polinomios. Por ejemplo, si

B = 2X + 4X^3 + 6X^5 + cdots,

luego sumamos A y B término a término:

A + B = 1 - X + 5X^2 - 3X^3 + 9X^4 - 5X^5 + cdots.

Podemos multiplicar series de potencias formales, nuevamente tratándolas como polinomios (ver en particular el producto de Cauchy):

AB = 2X - 6X^2 + 14X^3 - 26X^4 + 44X^5 + cdots.

Observe que cada coeficiente en el producto AB solo depende de un número finito de coeficientes de A y B. Por ejemplo, el término X⁵ está dado por

44X^5 = (1times 6X^5) + (5X^2 times 4X^3) + (9X^4 times 2X).

Por esta razón, uno puede multiplicar series de potencias formales sin preocuparse por las cuestiones habituales de convergencia absoluta, condicional y uniforme que surgen al tratar con series de potencias en el marco del análisis.

Una vez que hemos definido la multiplicación para series de potencias formales, podemos definir los inversos multiplicativos de la siguiente manera. El inverso multiplicativo de una serie de potencias formales A es una serie de potencias formales C tal que AC = 1, siempre que exista tal serie de potencias formales. Resulta que si A tiene un inverso multiplicativo, es único y lo denotamos por A⁻¹. Ahora podemos definir la división de series de potencias formales definiendo B/A como el producto BA⁻¹, siempre que exista el inverso de A. Por ejemplo, uno puede usar la definición de multiplicación anterior para verificar la fórmula familiar

frac{1}{1 + X} = 1 - X + X^2 - X^3 + X^4 - X^5 + cdots.

Una operación importante en la serie de energía formal es la extracción de coeficiente. En su forma más básica, el operador de extracción de coeficiente ${displaystyle [X^{n}]}$ aplicado a una serie de potencia formal $A$ en una variable extrae el coeficiente del $n$ la potencia de la variable, para que ${displaystyle [X^{2}]A=5}$ y ${displaystyle [X^{5}]A=-11}$ . Otros ejemplos son:

{displaystyle {begin{aligned}left[X^{3}right](B)&=4,\left[X^{2}right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3Y^{3},\left[X^{2}Y^{3}right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3,\left[X^{n}right]left({frac {1}{1+X}}right)&=(-1)^{n},\left[X^{n}right]left({frac {X}{(1-X)^{2}}}right)&=n.end{aligned}}}

Del mismo modo, muchas otras operaciones que se llevan a cabo con polinomios se pueden extender a la configuración formal de series de potencias, como se explica a continuación.

El anillo de la serie de potencias formales

Si uno considera el conjunto de todas las series de poder formales en X con coeficientes en un anillo conmutativo R, los elementos de este conjunto constituyen colectivamente otro anillo que está escrito ${displaystyle R[[X]],}$ y llamó anillo de la serie de poder formal en la variableX sobre R.

Definición del anillo formal de series de potencias

Uno puede caracterizar $R[[X]]$ abstractamente como la terminación del anillo polinomio $R[X]$ equipado con una métrica particular. Esto da automáticamente $R[[X]]$ la estructura de un anillo topológico (y incluso de un espacio métrico completo). Pero la construcción general de una terminación de un espacio métrico está más implicada que lo que se necesita aquí, y haría que la serie de energía formal parezca más complicada de lo que son. Es posible describir $R[[X]]$ más explícitamente, y definir la estructura del anillo y la estructura topológica por separado, como sigue.

Estructura de anillo

Como un conjunto, $R[[X]]$ se puede construir como el conjunto ${displaystyle R^{mathbb {N} }}$ de todas las secuencias infinitas de elementos de $R$ , indexado por los números naturales (tomada para incluir 0). Designando una secuencia cuyo término en el índice $n$ es $a_{n}$ por $(a_{n})$ , uno define la adición de dos tales secuencias por

(a_n)_{ninN} + (b_n)_{ninN} = left(a_n + b_n right)_{ninN}

y multiplicación por

{displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} }times (b_{n})_{nin mathbb {N} }=left(sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}right)_{!nin mathbb {N} }.}

Este tipo de producto se llama el producto Cauchy de las dos secuencias de coeficientes, y es una especie de convolución discreta. Con estas operaciones, ${displaystyle R^{mathbb {N} }}$ se convierte en un anillo conmutativo con elemento cero ${displaystyle (0,0,0,ldots)}$ y la identidad multiplicativa ${displaystyle (1,0,0,ldots)}$ .

El producto es de hecho el mismo utilizado para definir el producto de polinomios en uno indeterminado, lo que sugiere utilizar una notación similar. Una embajada $R$ en $R[[X]]$ enviando cualquier (constant) $a in R$ a la secuencia ${displaystyle (a,0,0,ldots)}$ y designa la secuencia ${displaystyle (0,1,0,0,ldots)}$ por $X$ ; luego utilizando las definiciones anteriores cada secuencia con sólo finitamente muchos términos no cero pueden expresarse en términos de estos elementos especiales como

(a_0, a_1, a_2, ldots, a_n, 0, 0, ldots) = a_0 + a_1 X + cdots + a_n X^n = sum_{i=0}^n a_i X^i;

estos son precisamente los polinomios en $X$ . Dado esto, es bastante natural y conveniente designar una secuencia general $(a_n)_{ninN}$ por la expresión formal $textstylesum_{iinN}a_i X^i$ , aunque este último no una expresión formada por las operaciones de adición y multiplicación definidas anteriormente (de la cual sólo se pueden construir sumas finitas). Esta convención notacional permite la reformulación de las definiciones anteriores como

{displaystyle left(sum _{iin mathbb {N} }a_{i}X^{i}right)+left(sum _{iin mathbb {N} }b_{i}X^{i}right)=sum _{iin mathbb {N} }(a_{i}+b_{i})X^{i}}

{displaystyle left(sum _{iin mathbb {N} }a_{i}X^{i}right)times left(sum _{iin mathbb {N} }b_{i}X^{i}right)=sum _{nin mathbb {N} }left(sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}right)X^{n}.}

lo cual es bastante conveniente, pero uno debe ser consciente de la distinción entre la suma formal (una mera convención) y la suma real.

Estructura topológica

Habiendo estipulado convencionalmente que

{displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},ldots)=sum _{i=0}^{infty }a_{i}X^{i},}

()1)

a uno le gustaría interpretar el lado derecho como una suma infinita bien definida. A tal fin, noción de convergencia ${displaystyle R^{mathbb {N} }}$ se define y una topología en ${displaystyle R^{mathbb {N} }}$ está construido. Hay varias maneras equivalentes de definir la topología deseada.

Podemos dar ${displaystyle R^{mathbb {N} }}$ la topología del producto, donde cada copia $R$ se da la topología discreta.
Podemos dar ${displaystyle R^{mathbb {N} }}$ la topología I-adic, donde ${displaystyle I=(X)}$ es el ideal generado por $X$ , que consiste en todas las secuencias cuyo primer término $a_{0}$ es cero.
La topología deseada también podría derivarse de la siguiente métrica. La distancia entre secuencias distintas ${displaystyle (a_{n}),(b_{n})in R^{mathbb {N} },}$ se define como ${displaystyle d((a_{n}),(b_{n}))=2^{-k},}$ Donde $k$ es el número natural más pequeño tal que ${displaystyle a_{k}neq b_{k}}$ ; la distancia entre dos secuencias iguales es, por supuesto, cero.

Informalmente, dos secuencias $(a_{n})$ y $(b_{n})$ estar más cerca y más cerca si y sólo si más y más de sus términos están de acuerdo exactamente. Formally, la secuencia de sumas parciales de alguna suma infinita converge si por cada poder fijo de $X$ el coeficiente se estabiliza: hay un punto más allá del cual todas las sumas parciales adicionales tienen el mismo coeficiente. Este es claramente el caso del lado derecho de (1), independientemente de los valores $a_{n}$ , desde la inclusión del mandato $i=n$ da el último (y de hecho sólo) cambio al coeficiente $X^{n}$ . También es obvio que el límite de la secuencia de sumas parciales es igual al lado izquierdo.

Esta estructura topológica, junto con las operaciones de anillo descritas anteriormente, forman un anillo topológico. Esto se llama anillo de la serie de poder formal sobre $R$ y es denotado por $R[[X]]$ . La topología tiene la propiedad útil que una suma infinita converge si y sólo si la secuencia de sus términos converge a 0, lo que significa que cualquier poder fijo de $X$ ocurre sólo en muchos términos finitos.

La estructura topológica permite un uso mucho más flexible de sumas infinitas. Por ejemplo, la regla para la multiplicación se puede reformular simplemente como

{displaystyle left(sum _{iin mathbb {N} }a_{i}X^{i}right)times left(sum _{iin mathbb {N} }b_{i}X^{i}right)=sum _{i,jin mathbb {N} }a_{i}b_{j}X^{i+j},}

ya que sólo finitamente muchos términos de la derecha afectan a cualquier $X^{n}$ . Los productos infinitos también están definidos por la estructura topológica; se puede ver que un producto infinito converge si y sólo si la secuencia de sus factores converge a 1.

Topologías alternativas

La topología anterior es la mejor topología para la que

{displaystyle sum _{i=0}^{infty }a_{i}X^{i}}

Siempre converge como una suma a la serie de poder formal designada por la misma expresión, y a menudo basta dar un significado a sumas y productos infinitos, u otros tipos de límites que uno desea utilizar para designar una serie de potencia formal particular. Sin embargo, puede ocurrir ocasionalmente que uno desea usar una topología más gruesa, para que ciertas expresiones se vuelvan convergentes que de otro modo se diverjan. Esto se aplica en particular cuando el anillo base $R$ ya viene con una topología aparte de la discreta, por ejemplo si es también un anillo de la serie de poder formal.

En el anillo de la serie de poder formal ${displaystyle mathbb {Z} [[X]][[Y]]}$ , la topología de la construcción anterior sólo se relaciona con el indeterminado $Y$ , desde la topología que se puso en ${displaystyle mathbb {Z} [[X]]}$ ha sido reemplazado por la topología discreta al definir la topología de todo el anillo. Así que...

{displaystyle sum _{i=0}^{infty }XY^{i}}

converge (y su suma se puede escribir como ${displaystyle {tfrac {X}{1-Y}}}$ ); sin embargo

{displaystyle sum _{i=0}^{infty }X^{i}Y}

se consideraría divergente, ya que cada término afecta al coeficiente $Y$ . Esta asimetría desaparece si la serie de potencia suena $Y$ se da la topología del producto donde cada copia de ${displaystyle mathbb {Z} [[X]]}$ se da su topología como un anillo de la serie de potencia formal en lugar de la topología discreta. Con esta topología, una secuencia de elementos ${displaystyle mathbb {Z} [[X]][[Y]]}$ converge si el coeficiente de cada potencia de $Y$ converge a una serie de poder formal en $X$ Una condición más débil que estabilizarse completamente. Por ejemplo, con esta topología, en el segundo ejemplo dado anteriormente, el coeficiente de $Y$ convergencias a ${displaystyle {tfrac {1}{1-X}}}$ , por lo que toda la suma converge a ${displaystyle {tfrac {Y}{1-X}}}$ .

Esta manera de definir la topología es, de hecho, la estándar para construcciones repetidas de anillos de la serie de potencia formal, y da la misma topología que uno conseguiría tomando la serie de potencia formal en todos indeterminados inmediatamente. En el ejemplo anterior eso significaría construir ${displaystyle mathbb {Z} [[X,Y]]}$ y aquí una secuencia converge si y sólo si el coeficiente de cada monomial ${displaystyle X^{i}Y^{j}}$ Se estabiliza. Esta topología, que es también la $I$ - topología médica, donde ${displaystyle I=(X,Y)}$ es el ideal generado por $X$ y $Y$ , todavía disfruta de la propiedad que una suma converge si y sólo si sus términos tienden a 0.

El mismo principio podría utilizarse para hacer converger otros límites divergentes. Por ejemplo, ${displaystyle mathbb {R} [[X]]}$ el límite

{displaystyle lim _{nto infty }left(1+{frac {X}{n}}right)^{!n}}

no existe, por lo que en particular no converge a

{displaystyle exp(X)=sum _{nin mathbb {N} }{frac {X^{n}}{n!}}.}

Esto es porque para $igeq 2$ el coeficiente $tbinom{n}{i}/n^i$ de $X^i$ no se estabiliza como $nto infty$ . Sin embargo converge en la topología habitual de $mathbb {R}$ , y de hecho al coeficiente ${displaystyle {tfrac {1}{i!}}}$ de ${displaystyle exp(X)}$ . Por lo tanto, si uno daría ${displaystyle mathbb {R} [[X]]}$ la topología del producto ${displaystyle mathbb {R} ^{mathbb {N} }}$ donde la topología de $mathbb {R}$ es la topología habitual más que la discreta, entonces el límite anterior convergería a ${displaystyle exp(X)}$ . Este enfoque más permisivo no es sin embargo el estándar al considerar la serie de poder formal, ya que conduciría a consideraciones de convergencia que son tan sutiles como son en análisis, mientras que la filosofía de la serie de poder formal es en contra de hacer preguntas de convergencia tan trivial como pueden ser. Con esta topología... no ser el caso de que una suma converge si y sólo si sus términos tienden a 0.

Propiedad universal

El anillo $R[[X]]$ puede caracterizarse por la siguiente propiedad universal. Si $S$ es un álgebra asociativa conmutativa sobre $R$ , si $I$ es un ideal $S$ tal que $I$ - topología médica en $S$ está completo, y si $x$ es un elemento $I$ , entonces hay un único ${displaystyle Phi:R[[X]]to S}$ con las siguientes propiedades:

$Phi$ es un $R$ - homomorfismo álgebra

$Phi$ es continuo

${displaystyle Phi (X)=x}$ .

Operaciones sobre series de potencias formales

Se pueden realizar operaciones algebraicas en series de potencias para generar nuevas series de potencias. Además de las operaciones de estructura de anillo definidas anteriormente, tenemos las siguientes.

Serie de potencias elevada a potencias

Para cualquier número natural n tenemos

{displaystyle left(sum _{k=0}^{infty }a_{k}X^{k}right)^{!n}=,sum _{m=0}^{infty }c_{m}X^{m},}

{displaystyle {begin{aligned}c_{0}&=a_{0}^{n},\c_{m}&={frac {1}{ma_{0}}}sum _{k=1}^{m}(kn-m+k)a_{k}c_{m-k}, mgeq 1.end{aligned}}}

(Esta fórmula solo se puede usar si m y a₀ son invertibles en el anillo de coeficientes).

En el caso de la serie de potencia formal con coeficientes complejos, los poderes complejos están bien definidos por lo menos para la serie f con término constante igual a 1. En este caso, ${displaystyle f^{alpha }}$ puede definirse por composición con la serie binomial (1+x)^α, o por composición con la serie exponencial y logarítmica, ${displaystyle f^{alpha }=exp(alpha log(f)),}$ o como la solución de la ecuación diferencial ${displaystyle f(f^{alpha })'=alpha f^{alpha }f'}$ con el término constante 1, las tres definiciones son equivalentes. Las reglas del cálculo ${displaystyle (f^{alpha })^{beta }=f^{alpha beta }}$ y ${displaystyle f^{alpha }g^{alpha }=(fg)^{alpha }}$ fácil de seguir.

Inversa multiplicativa

(feminine)

La serie

{displaystyle A=sum _{n=0}^{infty }a_{n}X^{n}in R[[X]]}

es invertible en $R[[X]]$ si y sólo si su coeficiente constante $a_{0}$ es invertible en $R$ . Esta condición es necesaria, por la siguiente razón: si suponemos que $A$ tiene un inverso ${displaystyle B=b_{0}+b_{1}x+cdots }$ entonces el término constante $a_{0}b_{0}$ de $Acdot B$ es el término constante de la serie de identidad, es decir, es 1. Esta condición también es suficiente; podemos calcular los coeficientes de la serie inversa $B$ a través de la fórmula recursiva explícita

{displaystyle {begin{aligned}b_{0}&={frac {1}{a_{0}}},\b_{n}&=-{frac {1}{a_{0}}}sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i}, ngeq 1.end{aligned}}}

Un caso especial importante es que la fórmula de serie geométrica es válida en $R[[X]]$ :

(1 - X)^{-1} = sum_{n=0}^infty X^n.

Si ${displaystyle R=K}$ es un campo, entonces una serie es invertible si y sólo si el término constante es no cero, es decir, si y sólo si la serie no es divisible por $X$ . Esto significa que ${displaystyle K[[X]]}$ es un anillo de valoración discreto con parámetro uniforme $X$ .

División

La computación de un cociente ${displaystyle f/g=h}$

{displaystyle {frac {sum _{n=0}^{infty }b_{n}X^{n}}{sum _{n=0}^{infty }a_{n}X^{n}}}=sum _{n=0}^{infty }c_{n}X^{n},}

asumir que el denominador es invertible (es decir, $a_{0}$ es invertible en el anillo de los escalares), se puede realizar como un producto $f$ y el inverso de $g$ , o equiparar directamente los coeficientes en ${displaystyle f=gh}$ :

c_n = frac{1}{a_0}left(b_n - sum_{k=1}^n a_k c_{n-k}right).

Extracción de coeficientes

El operador de extracción de coeficientes aplicado a una serie formal de potencias

f(X) = sum_{n=0}^infty a_n X^n

en X se escribe

left[ X^m right] f(X)

y extrae el coeficiente de X^m, de modo que

left[ X^m right] f(X) = left[ X^m right] sum_{n=0}^infty a_n X^n = a_m.

Composición

Dada serie formal de potencias

f(X) = sum_{n=1}^infty a_n X^n = a_1 X + a_2 X^2 + cdots

g(X) = sum_{n=0}^infty b_n X^n = b_0 + b_1 X + b_2 X^2 + cdots,

uno puede formar la composición

g(f(X)) = sum_{n=0}^infty b_n (f(X))^n = sum_{n=0}^infty c_n X^n,

donde los coeficientes c_n están determinados por "expandiendo" las potencias de f(X):

{displaystyle c_{n}:=sum _{kin mathbb {N}|j|=n}b_{k}a_{j_{1}}a_{j_{2}}cdots a_{j_{k}}.}

Aquí la suma se extiende sobre todo (k, jCon ${displaystyle kin mathbb {N} }$ y $jinN_+^k$ con $|j|:=j_1+cdots+j_k=n.$

La fórmula de Faà di Bruno proporciona una descripción más explícita de estos coeficientes, al menos en el caso en que el anillo de coeficientes sea un campo de característica 0.

La composición sólo es válida cuando $f(X)$ tiene no término constante, así que cada $c_{n}$ depende de un número finito de coeficientes de $f(X)$ y $g(X)$ . En otras palabras, la serie para ${displaystyle g(f(X))}$ converge en la topología de $R[[X]]$ .

Ejemplo

Supongamos que el anillo $R$ tiene características 0 y los enteros no cero son invertibles $R$ . Si denotamos ${displaystyle exp(X)}$ la serie de poder formal

exp(X) = 1 + X + frac{X^2}{2!} + frac{X^3}{3!} + frac{X^4}{4!} + cdots,

entonces la expresión

{displaystyle exp(exp(X)-1)=1+X+X^{2}+{frac {5X^{3}}{6}}+{frac {5X^{4}}{8}}+cdots }

tiene perfecto sentido como una serie de potencia formal. Sin embargo, la declaración

{displaystyle exp(exp(X)) {stackrel {?}{=}} eexp(exp(X)-1) = e+eX+eX^{2}+{frac {5eX^{3}}{6}}+cdots }

no es una aplicación válida de la operación de composición para la serie de potencia formal. Más bien, es confuso las nociones de convergencia en $R[[X]]$ y convergencia en $R$ ; de hecho, el anillo $R$ puede ni siquiera contener ningún número $e$ con las propiedades apropiadas.

Composición inversa

Siempre que una serie formal

{displaystyle f(X)=sum _{k}f_{k}X^{k}in R[[X]]}

tiene f₀ = 0 y f₁ siendo un elemento invertible de R, existe una serie

{displaystyle g(X)=sum _{k}g_{k}X^{k}}

que es la composición inversa de $f$ , lo que significa que compone $f$ con $g$ da la serie representando la función de identidad ${displaystyle x=0+1x+0x^{2}+0x^{3}+cdots }$ . Los coeficientes de $g$ puede encontrarse recursivamente utilizando la fórmula anterior para los coeficientes de una composición, equiparándolos con los de la identidad de la composición X (que es 1 en grado 1 y 0 en cada grado mayor que 1). En el caso de que el anillo de coeficiente es un campo de característica 0, la fórmula de la inversión Lagrange (discutida abajo) proporciona una poderosa herramienta para calcular los coeficientes de g, así como los coeficientes de los poderes (multiplicativos) g.

Diferenciación formal

Dada una serie de potencias formal

{displaystyle f=sum _{ngeq 0}a_{n}X^{n}in R[[X]],}

definimos su derivada formal, denotada Df o f ′, por

{displaystyle Df=f'=sum _{ngeq 1}a_{n}nX^{n-1}.}

El símbolo D se denomina operador de diferenciación formal. Esta definición simplemente imita la diferenciación término por término de un polinomio.

Esta operación es R-lineal:

D(af + bg) = a cdot Df + b cdot Dg

para cualquier a, b dentro R y cualquier f, g dentro ${displaystyle R[[X]].}$ Además, el derivado formal tiene muchas de las propiedades del derivado habitual del cálculo. Por ejemplo, la regla del producto es válida:

{displaystyle D(fg) = fcdot (Dg)+(Df)cdot g,}

y la regla de la cadena también funciona:

{displaystyle D(fcirc g)=(Dfcirc g)cdot Dg,}

siempre que se definan las composiciones apropiadas de series (ver arriba en composición de series).

Por lo tanto, en estos aspectos, las series de potencias formales se comportan como series de Taylor. De hecho, para la f definida anteriormente, encontramos que

(D^k f)(0) = k! a_k,

donde D^k denota la késima derivada formal (es decir, el resultado de diferenciar formalmente k veces).

Antidiferenciación formal

Si $R$ es un anillo con cero característica y los enteros no cero son invertibles $R$ , entonces dado una serie de poder formal

{displaystyle f=sum _{ngeq 0}a_{n}X^{n}in R[[X]],}

definimos su antiderivada formal o integral indefinida formal por

{displaystyle D^{-1}f=int f dX=C+sum _{ngeq 0}a_{n}{frac {X^{n+1}}{n+1}}.}

para cualquier constante ${displaystyle Cin R}$ .

Esta operación es R-lineal:

{displaystyle D^{-1}(af+bg)=acdot D^{-1}f+bcdot D^{-1}g}

para cualquier a, b dentro R y cualquier f, g dentro ${displaystyle R[[X]].}$ Además, el antiderivativo formal tiene muchas de las propiedades del antiderivativo habitual del cálculo. Por ejemplo, el antiderivativo formal es el inverso derecho del derivado formal:

{displaystyle D(D^{-1}(f))=f}

para cualquier ${displaystyle fin R[[X]]}$ .

Propiedades

Propiedades algebraicas del anillo formal de series de potencias

$R[[X]]$ es un álgebra asociativa sobre $R$ que contiene el anillo $R[X]$ de polinomios sobre $R$ ; los polinomios corresponden a las secuencias que terminan en ceros.

El radical Jacobson de $R[[X]]$ es el ideal generado por $X$ y el radical Jacobson de $R$ ; esto está implícito por el criterio de invertibilidad de elemento discutido anteriormente.

Los ideales máximos de $R[[X]]$ todos surgen de los $R$ de la siguiente manera: un ideal $M$ de $R[[X]]$ es maximal si y sólo si ${displaystyle Mcap R}$ es un ideal maximal $R$ y $M$ se genera como un ideal $X$ y ${displaystyle Mcap R}$ .

Varias propiedades algebraicas $R$ son heredados por $R[[X]]$ :

si $R$ es un anillo local, entonces lo es $R[[X]]$ (con el conjunto de no unidades el ideal máximo único),
si $R$ es Noetherian, entonces lo es $R[[X]]$ (una versión del teorema de base de Hilbert),
si $R$ es un dominio integral, entonces lo es $R[[X]]$ , y
si $K$ es un campo, entonces ${displaystyle K[[X]]}$ es un anillo de valoración discreto.

Propiedades topológicas del anillo formal de series de potencias

El espacio métrico ${displaystyle (R[[X]],d)}$ está completo.

El anillo $R[[X]]$ es compacto si y sólo si R es finito. Esto sigue del teorema de Tychonoff y la caracterización de la topología en $R[[X]]$ como topología de producto.

Preparación Weierstrass

El anillo de series de potencias formales con coeficientes en un anillo local completo satisface el teorema de preparación de Weierstrass.

Aplicaciones

Las series de potencias formales se pueden usar para resolver las recurrencias que ocurren en la teoría de números y la combinatoria. Para ver un ejemplo relacionado con la búsqueda de una expresión de forma cerrada para los números de Fibonacci, consulte el artículo sobre Ejemplos de funciones generadoras.

Uno puede utilizar la serie de energía formal para probar varias relaciones familiares del análisis en un entorno puramente algebraico. Considerar, por ejemplo, los siguientes elementos ${displaystyle mathbb {Q} [[X]]}$ :

{displaystyle sin(X):=sum _{ngeq 0}{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}X^{2n+1}}

cos(X):= sum_{n ge 0} frac{(-1)^n} {(2n)!} X^{2n}

Entonces se puede demostrar que

sin^2(X) + cos^2(X) = 1,

frac{partial}{partial X} sin(X) = cos(X),

sin (X+Y) = sin(X) cos(Y) + cos(X) sin(Y).

El último siendo válido en el anillo ${displaystyle mathbb {Q} [[X,Y]].}$

Para K un campo, el anillo ${displaystyle K[[X_{1},ldotsX_{r}]]}$ a menudo se utiliza como el anillo local completo "standard, la mayoría general" K en álgebra.

Interpretar las series de potencias formales como funciones

En el análisis matemático, cada serie de potencias convergentes define una función con valores en los números reales o complejos. Las series de potencias formales sobre ciertos anillos especiales también pueden interpretarse como funciones, pero hay que tener cuidado con el dominio y el codominio. Dejar

{displaystyle f=sum a_{n}X^{n}in R[[X]],}

y supongamos que S es un álgebra asociativa conmutativa sobre R, I es un ideal en S tal que la topología I-ádica en S está completa, y x es un elemento de I. Definir:

{displaystyle f(x)=sum _{ngeq 0}a_{n}x^{n}.}

Se garantiza que esta serie convergerá en S dadas las suposiciones anteriores sobre x. Además, tenemos

{displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}

{displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x).}

A diferencia del caso de las funciones de buena fe, estas fórmulas no son definiciones sino que deben probarse.

Desde la topología en $R[[X]]$ es elX)- topología médica y $R[[X]]$ es completo, podemos aplicar en particular la serie de potencia a otra serie de potencia, siempre que los argumentos no tengan coeficientes constantes (para que pertenezcan al ideal)X) f(0), f()X²−X) y f(1 -X)⁻¹− 1) están bien definidos para cualquier serie de potencia formal ${displaystyle fin R[[X]].}$

Con este formalismo, podemos dar una fórmula explícita para el inverso multiplicativo de una serie de potencias f cuyo coeficiente constante a = f(0) es invertible en R:

f^{-1} = sum_{n ge 0} a^{-n-1} (a-f)^n.

Si la serie de potencias formales g con g(0) = 0 viene implícitamente dada por la ecuación

{displaystyle f(g)=X}

donde f es una serie de potencia conocida con f(0) = 0, entonces los coeficientes de g se pueden calcular explícitamente usando el Fórmula de inversión de Lagrange.

Generalizaciones

Serie formal de Laurent

El Serie Laurent formal sobre un anillo $R$ se definen de manera similar a una serie de potencia formal, excepto que también permitimos finitamente muchos términos de grado negativo. Es decir, son la serie que se puede escribir como

{displaystyle f=sum _{n=N}^{infty }a_{n}X^{n}}

para algunos enteros $N$ , por lo que sólo hay finitamente muchos negativos $n$ con ${displaystyle a_{n}neq 0}$ . (Esto es diferente de la clásica serie Laurent de análisis complejo.) Para una serie Laurent no formal cero, el número mínimo $n$ tales que ${displaystyle a_{n}neq 0}$ se llama orden de $f$ y está denotado ${displaystyle operatorname {ord} (f).}$ (El orden de la serie cero es $+infty$ .)

La multiplicación de tal serie se puede definir. De hecho, de manera similar a la definición de la serie de poder formal, el coeficiente de X^k de dos series con secuencias respectivas de coeficientes ${a_{n}}$ y ${b_{n}}$ es

{displaystyle sum _{iin mathbb {Z} }a_{i}b_{k-i}.}

La serie formal Laurent forma el anillo de la serie formal Laurent sobre $R$ , denotado por ${displaystyle R((X))}$ . Es igual a la localización de $R[[X]]$ con respecto al conjunto de poderes positivos $X$ . Si ${displaystyle R=K}$ es un campo, entonces ${displaystyle K((X))}$ es de hecho un campo, que puede obtenerse alternativamente como el campo de fracciones del dominio integral ${displaystyle K[[X]]}$ .

Como con el anillo $R[[X]]$ de la serie de poder formal, el anillo ${displaystyle R((X))}$ de la serie formal Laurent puede ser dotado con la estructura de un anillo topológico introduciendo la métrica

{displaystyle d(f,g)=2^{-operatorname {ord} (f-g)}.}

Se puede definir la diferenciación formal de la serie Laurent formal de la manera natural (term-by-term). Precisamente, el derivado formal de la serie formal Laurent $f$ arriba

{displaystyle f'=Df=sum _{nin mathbb {Z} }na_{n}X^{n-1},}

f

{displaystyle operatorname {ord} (f')=operatorname {ord} (f)-1.}

Residuos formales

Supongamos que $K$ es un campo de características 0. Entonces el mapa

{displaystyle Dcolon K((X))to K((X))}

es un $K$ -derivación que satisface

ker D=K

{displaystyle operatorname {im} D=left{fin K((X)):[X^{-1}]f=0right}.}

Este último muestra que el coeficiente de ${displaystyle X^{-1}}$ dentro $f$ es de particular interés; se llama residuos formales $f$ y denotado ${displaystyle operatorname {Res} (f)}$ . El mapa

{displaystyle operatorname {Res}:K((X))to K}

es $K$ -linear, y por la observación anterior uno tiene una secuencia exacta

{displaystyle 0to Kto K((X)){overset {D}{longrightarrow }}K((X));{overset {operatorname {Res} }{longrightarrow }};Kto 0.}

Algunas reglas de cálculo. Como consecuencia bastante directa de la definición anterior, y de las reglas de la derivación formal, uno tiene, para cualquier ${displaystyle f,gin K((X))}$

${displaystyle operatorname {Res} (f')=0;}$
${displaystyle operatorname {Res} (fg')=-operatorname {Res} (f'g);}$
${displaystyle operatorname {Res} (f'/f)=operatorname {ord} (f),qquad forall fneq 0;}$
${displaystyle operatorname {Res} left((gcirc f)f'right)=operatorname {ord} (f)operatorname {Res} (g),}$ si $0;}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ord⁡ ⁡ ()f)■0;{displaystyle operatorname {ord} (f) Conf0;}0;}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ce558c8cbb2eff62d00141c14cecee9e16e03e" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.362ex; height:2.843ex;"/>$
${displaystyle [X^{n}]f(X)=operatorname {Res} left(X^{-n-1}f(X)right).}$

La propiedad (i) es parte de la secuencia exacta anterior. ii) A continuación de i) ${displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$ . Bienes iii): cualesquiera $f$ puede ser escrito en la forma ${displaystyle f=X^{m}g}$ , con ${displaystyle m=operatorname {ord} (f)}$ y ${displaystyle operatorname {ord} (g)=0}$ Entonces ${displaystyle f'/f=mX^{-1}+g'/g.}$ ${displaystyle operatorname {ord} (g)=0}$ implicación $g$ es invertible en ${displaystyle K[[X]]subset operatorname {im} (D)=ker(operatorname {Res}),}$ cuando ${displaystyle operatorname {Res} (f'/f)=m.}$ Bienes iv): Desde ${displaystyle operatorname {im} (D)=ker(operatorname {Res}),}$ podemos escribir ${displaystyle g=g_{-1}X^{-1}+G',}$ con ${displaystyle Gin K((X))}$ . En consecuencia, ${displaystyle (gcirc f)f'=g_{-1}f^{-1}f'+(G'circ f)f'=g_{-1}f'/f+(Gcirc f)'}$ y iv) a continuación de i) y iii). La propiedad v) está clara de la definición.

La fórmula de inversión de Lagrange

Como se mencionó anteriormente, cualquier serie formal ${displaystyle fin K[[X]]}$ con f₀ = 0 y f₁ ل 0 tiene una composición inversa ${displaystyle gin K[[X]].}$ La siguiente relación entre los coeficientes de gⁿ y f^−k ostentación ("Fórmula de la inversión Lagrange"

{displaystyle k[X^{k}]g^{n}=n[X^{-n}]f^{-k}.}

En particular, para n = 1 y todo k ≥ 1,

{displaystyle [X^{k}]g={frac {1}{k}}operatorname {Res} left(f^{-k}right).}

Dado que la prueba de la fórmula de la inversión Lagrange es una computación muy corta, vale la pena informarla aquí. Observando ${displaystyle operatorname {ord} (f)=1}$ , podemos aplicar las reglas del cálculo arriba, fundamentalmente la Regla iv) sustitución ${displaystyle Xrightsquigarrow f(X)}$ , para conseguir:

{displaystyle {begin{aligned}k[X^{k}]g^{n}& {stackrel {mathrm {(v)} }{=}} koperatorname {Res} left(g^{n}X^{-k-1}right) {stackrel {mathrm {(iv)} }{=}} koperatorname {Res} left(X^{n}f^{-k-1}f'right) {stackrel {mathrm {chain} }{=}} -operatorname {Res} left(X^{n}(f^{-k})'right)\& {stackrel {mathrm {(ii)} }{=}} operatorname {Res} left(left(X^{n}right)'f^{-k}right) {stackrel {mathrm {chain} }{=}} noperatorname {Res} left(X^{n-1}f^{-k}right) {stackrel {mathrm {(v)} }{=}} n[X^{-n}]f^{-k}.end{aligned}}}

Generalizaciones. Se puede observar que el cálculo anterior puede repetirse claramente en entornos más generales que en general. K()X)): una generalización de la fórmula de la inversión Lagrange ya está disponible trabajando en la ${displaystyle mathbb {C} ((X))}$ -módulos ${displaystyle X^{alpha }mathbb {C} ((X)),}$ donde α es un exponente complejo. En consecuencia, si f y g son como arriba, con $f_1=g_1=1$ , podemos relacionar los poderes complejos de f / X y g / X: precisamente, si α y β no son números complejos cero con suma de entero negativo, ${displaystyle m=-alpha -beta in mathbb {N}}$ entonces

{displaystyle {frac {1}{alpha }}[X^{m}]left({frac {f}{X}}right)^{alpha }=-{frac {1}{beta }}[X^{m}]left({frac {g}{X}}right)^{beta }.}

Por ejemplo, de esta manera se encuentra la serie de potencias para potencias complejas de la función de Lambert.

Serie de potencias en varias variables

Se pueden definir series de potencia formal en cualquier número de indeterminados (incluso infinitamente muchos). Si I es un conjunto índice y X_I es el conjunto de indeterminados X_i para i▪I, entonces un monomial X^α es cualquier producto finito de elementos X_I (repeticiones permitidas); una serie de poder formal X_I con coeficientes en un anillo R está determinado por cualquier asignación del conjunto de monomiales X^α a un coeficiente correspondiente c_α, y es denotado ${textstyle sum _{alpha }c_{alpha }X^{alpha }}$ . El conjunto de toda esta serie de poder formal es denotado ${displaystyle R[[X_{I}]],}$ y se le da una estructura de anillo definiendo

{displaystyle left(sum _{alpha }c_{alpha }X^{alpha }right)+left(sum _{alpha }d_{alpha }X^{alpha }right)=sum _{alpha }(c_{alpha }+d_{alpha })X^{alpha }}

{displaystyle left(sum _{alpha }c_{alpha }X^{alpha }right)times left(sum _{beta }d_{beta }X^{beta }right)=sum _{alphabeta }c_{alpha }d_{beta }X^{alpha +beta }}

Topología

La topología en ${displaystyle R[[X_{I}]]}$ es tal que una secuencia de sus elementos converge sólo si para cada monomial X^α el coeficiente correspondiente se estabiliza. Si I es finito, entonces este J- topología médica, donde J es el ideal ${displaystyle R[[X_{I}]]}$ generados por todos los indeterminados X_I. Esto no se sostiene si I es infinito. Por ejemplo, si ${displaystyle I=mathbb {N}}$ entonces la secuencia ${displaystyle (f_{n})_{nin mathbb {N} }}$ con ${displaystyle f_{n}=X_{n}+X_{n+1}+X_{n+2}+cdots }$ no converge con respecto a ninguna J- topología médica en R, pero claramente para cada monomial el coeficiente correspondiente se estabiliza.

Como se ha señalado anteriormente, la topología en un repetitivo anillo de la serie de poder formal como ${displaystyle R[[X]][[Y]]}$ es generalmente elegido de tal manera que se convierte en isomorfo como un anillo topológico a ${displaystyle R[[X,Y]].}$

Operaciones

Todas las operaciones definidas para series de una variable pueden extenderse al caso de varias variables.

Una serie es invertible si y sólo si su término constante es invertible R.
La composición f()g()X)) de dos series f y g se define si f es una serie en un único indeterminado, y el término constante g es cero. Para una serie f en varios indeterminados una forma de "composición" se puede definir de forma similar, con tantas series separadas en el lugar de g como hay indeterminados.

En el caso de la derivada formal, ahora hay operadores de derivadas parciales separados, que diferencian con respecto a cada uno de los indeterminados. Todos viajan entre ellos.

Propiedad universal

En el caso de varias variables, la propiedad universal caracterizando ${displaystyle R[[X_{1},ldotsX_{r}]]}$ se convierte en el siguiente. Si S es un álgebra asociativa conmutativa sobre R, si I es un ideal S tal que I- topología médica en S está completo, y si x₁,..., x_r son elementos de I, entonces hay un único mapa ${displaystyle Phi:R[[X_{1},ldotsX_{r}]]to S}$ con las siguientes propiedades:

Governing is an R- homomorfismo álgebra
Governing is continuous
Negotiat(X_i) x_i para i = 1,... r.

Variables no conmutables

El caso variable puede ser más generalizado tomando variables no conmutativas X_i para i ▪ I, donde I es un índice establecido y luego un monomial X^α es cualquier palabra en X_I; una serie de poder formal en X_I con coeficientes en un anillo R está determinado por cualquier asignación del conjunto de monomiales X^α a un coeficiente correspondiente c_α, y es denotado ${displaystyle textstyle sum _{alpha }c_{alpha }X^{alpha }}$ . El conjunto de toda esta serie de poder formal es denotado R«X_I», y se le da una estructura de anillo definiendo la adición punto a punto

left(sum_alpha c_alpha X^alpharight)+left(sum_alpha d_alpha X^alpharight)=sum_alpha(c_alpha+d_alpha)X^alpha

y multiplicación por

left(sum_alpha c_alpha X^alpharight)timesleft(sum_alpha d_alpha X^alpharight)=sum_{alpha,beta} c_alpha d_beta X^{alpha} cdot X^{beta}

donde · denota concatenación de palabras. Estas series de potencias formales sobre R forman el anillo de Magnus sobre R.

En una semiring

(feminine)

Dado un alfabeto $Sigma$ y una semicama $S$ . La serie de poder formal sobre $S$ apoyada en el idioma $Sigma ^{*}$ es denotado por ${displaystyle Slangle langle Sigma ^{*}rangle rangle }$ . Se compone de todas las asignaciones ${displaystyle r:Sigma ^{*}to S}$ , donde $Sigma ^{*}$ es el monoide libre generado por el conjunto no vacío $Sigma$ .

Los elementos de ${displaystyle Slangle langle Sigma ^{*}rangle rangle }$ puede ser escrito como sumas formales

{displaystyle r=sum _{win Sigma ^{*}}(r,w)w.}

Donde ${displaystyle (r,w)}$ denota el valor de $r$ en la palabra $win Sigma ^{*}$ . Los elementos ${displaystyle (r,w)in S}$ se llaman los coeficientes de $r$ .

Para ${displaystyle rin Slangle langle Sigma ^{*}rangle rangle }$ el apoyo de $r$ es el conjunto

{displaystyle operatorname {supp} (r)={win Sigma ^{*}| (r,w)neq 0}}

Una serie donde cada coeficiente es ${displaystyle 0}$ o $1$ se llama la serie característica de su apoyo.

El subconjunto ${displaystyle Slangle langle Sigma ^{*}rangle rangle }$ consistente en todas las series con un soporte finito es denotado por ${displaystyle Slangle Sigma ^{*}rangle }$ y llamados polinomios.

Para ${displaystyle r_{1},r_{2}in Slangle langle Sigma ^{*}rangle rangle }$ y $sin S$ , la suma ${displaystyle r_{1}+r_{2}}$ se define por

{displaystyle (r_{1}+r_{2},w)=(r_{1},w)+(r_{2},w)}

El producto (Caucho) ${displaystyle r_{1}cdot r_{2}}$ se define por

{displaystyle (r_{1}cdot r_{2},w)=sum _{w_{1}w_{2}=w}(r_{1},w_{1})(r_{2},w_{2})}

El producto Hadamard ${displaystyle r_{1}odot r_{2}}$ se define por

{displaystyle (r_{1}odot r_{2},w)=(r_{1},w)(r_{2},w)}

Y los productos de un escalar ${displaystyle sr_{1}}$ y ${displaystyle r_{1}s}$ por

{displaystyle (sr_{1},w)=s(r_{1},w)}

{displaystyle (r_{1}s,w)=(r_{1},w)s}

, respectivamente.

Con estas operaciones ${displaystyle (Slangle langle Sigma ^{*}rangle rangle+,cdot0,varepsilon)}$ y ${displaystyle (Slangle Sigma ^{*}rangle+,cdot0,varepsilon)}$ son semirings, donde $varepsilon$ es la palabra vacía en $Sigma ^{*}$ .

Estas series de potencia formal se utilizan para modelar el comportamiento de automata ponderada, en la ciencia informática teórica, cuando los coeficientes ${displaystyle (r,w)}$ de la serie se toman para ser el peso de un camino con etiqueta $w$ en la automata.

Reemplazar el conjunto de índices por un grupo abeliano ordenado

Suppose $G$ es un grupo abeliano ordenado, que significa un grupo abeliano con un orden total $<math alttext="{displaystyle .{displaystyle] <img alt="$ respetando la adición del grupo, para que $<math alttext="{displaystyle a a.b{displaystyle a meantb} <img alt="a$ si $<math alttext="{displaystyle a+c a+c.b+c{displaystyle a+ccantab+c} <img alt="{displaystyle a+c$ para todos $c$ . Vamos I ser un subconjunto bien ordenado $G$ , que significa I no contiene cadena descendente infinita. Considere el conjunto consistente en

$sum_{i in I} a_i X^i$

para todos esos I, con $a_{i}$ en un anillo conmutativo $R$ , donde asumimos que para cualquier conjunto de índice, si todo $a_{i}$ son cero entonces la suma es cero. Entonces... ${displaystyle R((G))}$ es el anillo de la serie de energía formal en $G$ ; debido a la condición de que el conjunto de indexación sea bien ordenado el producto está bien definido, y por supuesto suponemos que dos elementos que difieren por cero son los mismos. A veces la notación ${displaystyle [[R^{G}]]}$ se utiliza para denotar ${displaystyle R((G))}$ .

Varias propiedades $R$ transferencia a ${displaystyle R((G))}$ . Si $R$ es un campo, entonces lo es ${displaystyle R((G))}$ . Si $R$ es un campo ordenado, podemos ordenar ${displaystyle R((G))}$ estableciendo cualquier elemento para tener el mismo signo que su coeficiente líder, definido como el menor elemento del conjunto índice I asociado a un coeficiente no cero. Finalmente si $G$ es un grupo divisible y $R$ es un campo cerrado real, entonces ${displaystyle R((G))}$ es un campo cerrado real, y si $R$ es algebraicamente cerrado, entonces es ${displaystyle R((G))}$ .

Esta teoría se debe a Hans Hahn, quien también demostró que se obtienen subcampos cuando el número de términos (distintos de cero) está limitado por una cardinalidad infinita fija.

Ejemplos y temas relacionados

La serie Bell se utiliza para estudiar las propiedades de las funciones aritméticas multiplicativas
Los grupos formales se utilizan para definir una ley de grupo abstracto utilizando la serie de poder formal
La serie Puiseux es una extensión de la serie formal Laurent, permitiendo exponentes fraccionales
Serie racional

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