Serie de Fourier generalizada

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Descomposiciones de espacios interiores de producto en bases ortonormales

En el análisis matemático, muchas generalizaciones de series de Fourier han demostrado ser útiles. Todos ellos son casos especiales de descomposición sobre una base ortonormal de un espacio de producto interior. Aquí consideramos el de funciones integrables al cuadrado definidas en un intervalo de la línea real, que es importante, entre otros, para la teoría de la interpolación.

Definición

Considere un conjunto de funciones cuadradas integradas con valores ${displaystyle mathbb {F} =mathbb {C} }$ o ${displaystyle mathbb {F} =mathbb {R} }$ ,

{displaystyle Phi ={varphi _{n}:[a,b]to mathbb {F} }_{n=0}^{infty },}

{displaystyle langle f,grangle _{w}=int _{a}^{b}f(x),{overline {g}}(x),w(x),dx}

w(x)

overline cdot

{displaystyle {overline {g}}(x)=g(x)}

{displaystyle mathbb {F} =mathbb {R} }

El generalizado Serie Fourier de una función cuadrada ${displaystyle f:[a,b]to mathbb {F} }$ , con respecto a Ё, es entonces

{displaystyle f(x)sim sum _{n=0}^{infty }c_{n}varphi _{n}(x),}

{displaystyle c_{n}={langle f,varphi _{n}rangle _{w} over |varphi _{n}|_{w}^{2}}.}

Si Ё es un conjunto completo, es decir, una base ortogonal del espacio de todas las funciones cuadradas integradas en [a, b], a diferencia de un pequeño conjunto ortogonal, la relación $sim$ se convierte en igualdad en el sentido L2, más precisamente modulo ${displaystyle |cdot |_{w}}$ (no necesariamente puntiagudo, ni casi en todas partes).

Ejemplo (serie Fourier-Legendre)

Los polinomios de Legendre son soluciones al problema de Sturm-Liouville

left((1-x^{2})P_{n}'(x)right)'+n(n+1)P_{n}(x)=0

y debido a la teoría de Sturm-Liouville, estos polinomios son funciones propias del problema y son soluciones ortogonales con respecto al producto interno anterior con peso unitario. Entonces podemos formar una serie de Fourier generalizada (conocida como serie de Fourier-Legendre) que involucra los polinomios de Legendre, y

f(x)sim sum _{{n=0}}^{infty }c_{n}P_{n}(x),

c_{n}={langle f,P_{n}rangle _{w} over |P_{n}|_{w}^{2}}

Como ejemplo, calculemos la serie de Fourier-Legendre para f(x) = cos x sobre [−1, 1 ]. Ahora,

{displaystyle {begin{aligned}c_{0}&={int _{-1}^{1}cos {x},dx over int _{-1}^{1}(1)^{2},dx}=sin {1}\c_{1}&={int _{-1}^{1}xcos {x},dx over int _{-1}^{1}x^{2},dx}={0 over 2/3}=0\c_{2}&={int _{-1}^{1}{3x^{2}-1 over 2}cos {x},dx over int _{-1}^{1}{9x^{4}-6x^{2}+1 over 4},dx}={6cos {1}-4sin {1} over 2/5}end{aligned}}}

y una serie que involucra estos términos

{displaystyle {begin{aligned}c_{2}P_{2}(x)+c_{1}P_{1}(x)+c_{0}P_{0}(x)&={5 over 2}(6cos {1}-4sin {1})left({3x^{2}-1 over 2}right)+sin 1\&=left({45 over 2}cos {1}-15sin {1}right)x^{2}+6sin {1}-{15 over 2}cos {1}end{aligned}}}

que difiere de cos x en aproximadamente 0,003, alrededor de 0. Puede ser ventajoso utilizar tales series de Fourier-Legendre ya que las funciones propias son todas polinomios y, por lo tanto, las integrales y, por lo tanto, los coeficientes son más fáciles de calcular. calcular.

Teoremas del coeficiente

Algunos teoremas sobre los coeficientes c_n incluyen:

Desigualdad de Bessel

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }|c_{n}|^{2}leq int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x),dx.}

Teorema de Parseval

Si Φ es un conjunto completo, entonces

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }|c_{n}|^{2}=int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x),dx.}

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