Semiplano superior

En matemáticas, la medio plano superior, H,{displaystyle ,{mathcal {H},} es el conjunto de puntos ()x,Sí.){displaystyle (x,y)} en el plano cartesiano con 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Sí.■0{displaystyle y titulado0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c973e3cbfee5d7ab9ca2348b578b6ec19a8c019a" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.416ex; height:2.509ex;"/>. El bajo medio plano se define de manera similar, requiriendo que Sí.{displaystyle y} Sé negativo. Cada uno es un ejemplo de medio espacio bidimensional.

Geometría afín

Las transformaciones afines del semiplano superior incluyen

1. Cambios ()x,Sí.)↦ ↦ ()x+c,Sí.){displaystyle (x,y)mapsto (x+c,y)}, c▪ ▪ R{displaystyle cin mathbb {R}, y
2. dilaciones ()x,Sí.)↦ ↦ ()λ λ x,λ λ Sí.){displaystyle (x,y)mapsto (lambda x,lambda y)}, 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">λ λ ■0{displaystyle lambda }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea25afc0351140f919cf791c49c1964b8b081de" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.616ex; height:2.176ex;"/>.

Proposición: Vamos A{displaystyle A} y B{displaystyle B} ser semicírculos en el medio plano superior con centros en el límite. Entonces hay un mapeo de afina que toma A{displaystyle A} a B{displaystyle B}.

Prueba: Primer turno el centro de A{displaystyle A} a ()0,0){displaystyle (0,0)}. Entonces toma. λ λ =()diámetroB)/()diámetroA){displaystyle lambda = {text{diameter of} B)/({text{diameter of} A)}

y dilatado. Entonces, cambio. ()0,0){displaystyle (0,0)} el centro de B{displaystyle B}.

Definición: <math alttext="{displaystyle {mathcal {Z}}:=left{left(cos ^{2}(theta),{tfrac {1}{2}}sin(2theta)right)mid 0<theta Z:={}()#2⁡ ⁡ ()Silencio Silencio ),12pecado⁡ ⁡ ()2Silencio Silencio ))▪ ▪ 0.Silencio Silencio .π π }{displaystyle {mathcal {Z}:=left{cos ^{2}(theta),{tfrac {1}{2}}sin(2theta)derecha)mid0 de 0 identificadotheta <pi right}}}}}}<img alt="{displaystyle {mathcal {Z}}:=left{left(cos ^{2}(theta),{tfrac {1}{2}}sin(2theta)right)mid 0<theta .

Z{displaystyle {fnMitcal}} puede ser reconocido como el círculo del radio 1/2{displaystyle 1/2} centrado en ()1/2,0){displaystyle (1/2,0)}, y como la trama polar *** *** ()Silencio Silencio )=#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio ){displaystyle rho (theta)=cos(theta)}.

Proposición: ()0,0){displaystyle (0,0)}, *** *** ()Silencio Silencio )▪ ▪ Z{displaystyle rho (theta)in {mathcal {Z}}, y ()1,#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio )){displaystyle (1,tan(theta)} son puntos collineales.

De hecho, Z{displaystyle {fnMitcal}} es el reflejo de la línea 0{bigr }}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">{}()1,Sí.)▪ ▪ Sí.■0}{displaystyle {bigl{}(1,y)mid y título0{bigr}}}0{bigr }}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539d3eac47cbdc77aecc088dc4201e560a13406f" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.225ex; height:3.176ex;"/> en el círculo de la unidad. De hecho, la diagonal de ()0,0){displaystyle (0,0)} a ()1,#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio )){displaystyle (1,tan(theta)} tiene longitud cuadrada 1+#2⁡ ⁡ ()Silencio Silencio )=sec2⁡ ⁡ ()Silencio Silencio ){displaystyle 1+tan ^{2}(theta)=sec ^{2}(theta)}Así que *** *** ()Silencio Silencio )=#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio ){displaystyle rho (theta)=cos(theta)} es el recíproco de esa longitud.

Geometría métrica

La distancia entre dos puntos p{displaystyle p} y q{displaystyle q} en el medio plano superior se puede definir sistemáticamente como sigue: El bisector perpendicular del segmento p{displaystyle p} a q{displaystyle q} interseca el límite o es paralelo a él. En este último caso p{displaystyle p} y q{displaystyle q} miente en un rayo perpendicular al límite y la medida logarítmica se puede utilizar para definir una distancia que es invariable bajo la dilatación. En el caso anterior p{displaystyle p} y q{displaystyle q} se encuentran en un círculo centrado en la intersección de su bisector perpendicular y el límite. Por la proposición anterior este círculo puede ser movido por afine movimiento a Z{displaystyle {fnMitcal}}. Distancias en Z{displaystyle {fnMitcal}} se puede definir utilizando la correspondencia con puntos 0{bigr }}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">{}()1,Sí.)▪ ▪ Sí.■0}{displaystyle {bigl{}(1,y)mid y título0{bigr}}}0{bigr }}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539d3eac47cbdc77aecc088dc4201e560a13406f" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.225ex; height:3.176ex;"/> y la medida logarítmica en este rayo. En consecuencia, el medio plano superior se convierte en un espacio métrico. El nombre genérico de este espacio métrico es el plano hiperbólico. En términos de los modelos de geometría hiperbólica, este modelo es frecuentemente designado el modelo de medio plano Poincaré.

Plano complejo

Los matemáticos a veces identifican el plano cartesiano con el plano complejo, y luego el semiplano superior corresponde al conjunto de números complejos con parte imaginaria positiva:

0; x,yin mathbb {R} }.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">H:={}x+iSí.▪ ▪ Sí.■0;x,Sí.▪ ▪ R}.{fnMicrosoft Sans Serif} y confianza0; x,yin mathbb {R}}0; x,yin mathbb {R} }.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db453f978a5e49b884bbd69dc393a18b52dc30ac" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.815ex; height:2.843ex;"/>

El término surge de una visualización común del número complejo x+iSí.{displaystyle x+iy} como punto ()x,Sí.){displaystyle (x,y)} en el avión dotado de coordenadas cartesianas. Cuando el Sí.{displaystyle y} axis se orienta verticalmente, el "medio plano superior" corresponde a la región por encima de la x{displaystyle x} axis y así números complejos para los cuales 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Sí.■0{displaystyle y titulado0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c973e3cbfee5d7ab9ca2348b578b6ec19a8c019a" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.416ex; height:2.509ex;"/>.

Es el dominio de muchas funciones de interés en el análisis complejo, especialmente formas modulares. El medio plano inferior, definido por <math alttext="{displaystyle ySí..0{displaystyle y won0}<img alt="{displaystyle y es igualmente bueno, pero menos utilizado por convención. El disco de unidad abierta D{displaystyle {fnMithcal}} (el conjunto de todos los números complejos de valor absoluto menos de uno) es equivalente por una asignación conformacional a H{displaystyle {fnMithcal}} (ver "Poincaré metric"), lo que significa que generalmente es posible pasar entre H{displaystyle {fnMithcal}} y D{displaystyle {fnMithcal}}.

También juega un papel importante en la geometría hiperbólica, donde el modelo de semiplano de Poincaré proporciona una forma de examinar los movimientos hiperbólicos. La métrica de Poincaré proporciona una métrica hiperbólica sobre el espacio.

El teorema de uniformización de superficies establece que el semiplano superior es el espacio de cobertura universal de superficies con curvatura gaussiana negativa constante.

El semiplano superior cerrado es la unión del semiplano superior y el eje real. Es el cierre del semiplano superior.

Generalizaciones

Una generalización natural en geometría diferencial es hiperbólico n{displaystyle n}- espacio Hn{displaystyle {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}}}}, el máximo simétrico, simplemente conectado, n{displaystyle n}-dimensional Manifold Riemanniano con curvatura seccional constante − − 1{displaystyle -1}. En esta terminología, el medio plano superior es H2{displaystyle {fnMithcal} {fnK}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}} {fnK}}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}}}}} ya que tiene una dimensión real 2{displaystyle 2}.

En teoría de números, la teoría de las formas modulares de Hilbert se refiere al estudio de ciertas funciones sobre el producto directo Hn{displaystyle {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}}}} de n{displaystyle n} copias del medio plano superior. Otro espacio interesante para los teóricos numerales es el medio espacio superior Siegel Hn{displaystyle {fn} {fn}}}, que es el dominio de las formas modulares Siegel.