Semigrupo

Estructuras algebraicas entre magmas y grupos: A semigrupos es un magma con asociatividad. Un monoide es un semigrupos con un elemento de identidad.

En matemáticas, un semigrupo es una estructura algebraica que consiste en un conjunto junto con una operación binaria interna asociativa sobre él.

La operación binaria de un semigrupo generalmente se denota multiplicativamente (solo notación, no necesariamente la multiplicación aritmética elemental): x·y, o simplemente xy , denota el resultado de aplicar la operación de semigrupo al par ordenado (x, y). La asociatividad se expresa formalmente como (x·y)·z = x·(y·z) para todos los x, y y z en el semigrupo.

Los semigrupos pueden ser considerados un caso especial de magmas, donde la operación es asociativa, o como una generalización de grupos, sin que se requiera la existencia de un elemento identidad o inversos. Como en el caso de grupos o magmas, la operación de semigrupo no necesita ser conmutativa, por lo que x·y no es necesariamente igual a y·x; un ejemplo bien conocido de una operación que es asociativa pero no conmutativa es la multiplicación de matrices. Si la operación de semigrupo es conmutativa, entonces el semigrupo se llama semigrupo conmutativo o (con menos frecuencia que en el caso análogo de los grupos) puede llamarse semigrupo abeliano.

Un monoide es una estructura algebraica intermedia entre los semigrupos y los grupos, y es un semigrupo que tiene un elemento de identidad, por lo que obedece a todos menos uno de los axiomas de un grupo: no se requiere la existencia de inversos de un monoide. Un ejemplo natural son las cadenas con concatenación como operación binaria y la cadena vacía como elemento de identidad. Restringir a cadenas no vacías da un ejemplo de un semigrupo que no es un monoide. Los enteros positivos con suma forman un semigrupo conmutativo que no es un monoide, mientras que los enteros no negativos forman un monoide. Un semigrupo sin un elemento de identidad se puede convertir fácilmente en un monoide simplemente agregando un elemento de identidad. En consecuencia, los monoides se estudian en la teoría de semigrupos más que en la teoría de grupos. Los semigrupos no deben confundirse con los cuasigrupos, que son una generalización de grupos en una dirección diferente; la operación en un cuasigrupo no necesita ser asociativa pero los cuasigrupos preservan de los grupos una noción de división. La división en semigrupos (o en monoides) no es posible en general.

El estudio formal de los semigrupos comenzó a principios del siglo XX. Los primeros resultados incluyen un teorema de Cayley para semigrupos que realiza cualquier semigrupo como semigrupo de transformación, en el que las funciones arbitrarias reemplazan el papel de las biyecciones de la teoría de grupos. Un resultado profundo en la clasificación de semigrupos finitos es la teoría de Krohn-Rhodes, análoga a la descomposición de Jordan-Hölder para grupos finitos. Algunas otras técnicas para estudiar semigrupos, como las relaciones de Green, no se parecen en nada a la teoría de grupos.

La teoría de los semigrupos finitos ha sido de particular importancia en la informática teórica desde la década de 1950 debido al vínculo natural entre los semigrupos finitos y los autómatas finitos a través del monoide sintáctico. En la teoría de la probabilidad, los semigrupos están asociados con los procesos de Markov. En otras áreas de las matemáticas aplicadas, los semigrupos son modelos fundamentales para sistemas lineales invariantes en el tiempo. En las ecuaciones en derivadas parciales, un semigrupo está asociado a cualquier ecuación cuya evolución espacial sea independiente del tiempo.

Existen numerosas clases especiales de semigrupos, semigrupos con propiedades adicionales, que aparecen en aplicaciones particulares. Algunas de estas clases están aún más cerca de los grupos al exhibir algunas propiedades adicionales, pero no todas, de un grupo. De estos mencionamos: semigrupos regulares, semigrupos ortodoxos, semigrupos con involución, semigrupos inversos y semigrupos cancelativos. También hay clases interesantes de semigrupos que no contienen ningún grupo excepto el grupo trivial; ejemplos de este último tipo son las bandas y su subclase conmutativa, los semiretículos, que también son estructuras algebraicas ordenadas.

Definición

Un semigrupo es un conjunto S{displaystyle S. junto con una operación binaria "⋅ ⋅ {displaystyle cdot }" (es decir, una función ⋅ ⋅ :S× × S→ → S{displaystyle cdot:Stimes Srightarrow S}) que satisface la propiedad asociativa:

Para todos a,b,c▪ ▪ S{displaystyle a,b,cin S}, la ecuación ()a⋅ ⋅ b)⋅ ⋅ c=a⋅ ⋅ ()b⋅ ⋅ c){displaystyle (acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)} sostiene.

Más sucintamente, un semigrupo es un magma asociativo.

Ejemplos de semigrupos

• semigrupo vacío: el conjunto vacío forma un semigrupo con la función vacía como la operación binaria.
• Semigroup con un elemento: hay esencialmente sólo uno (específicamente, sólo uno hasta el isomorfismo), el singleton {a} con operación a · a = a.
• Semigroup con dos elementos: hay cinco que son esencialmente diferentes.
• El monoide "flip-flop": un semigrupo con tres elementos que representan las tres operaciones en un interruptor - set, reset, y no hacer nada.
• El conjunto de enteros positivos con adición. (Con 0 incluido, esto se convierte en un monoide.)
• El conjunto de enteros con mínimo o máximo. (Con el infinito positivo/negativo incluido, esto se convierte en un monoide.)
• Matrices no negativas cuadradas de un tamaño dado con multiplicación de matriz.
• Cualquier ideal de un anillo con la multiplicación del anillo.
• El conjunto de todas las cadenas finitas sobre un alfabeto fijo de la bah con concatenación de cuerdas como la operación semigrupo — el llamado semigrupo libre sobre la ev. Con la cuerda vacía incluida, este semigrupo se convierte en el monoide libre sobre la ev.
• Una distribución de probabilidad F junto con todos los poderes convolutivos de F, con la convolución como operación. Esto se llama semigrupo convolutivo.
• Transformación semigrupos y monoides.
• El conjunto de funciones continuas desde un espacio topológico a sí mismo con la composición de funciones forma un monoide con la función de identidad actuando como identidad. Más generalmente, los endomorfismos de cualquier objeto de una categoría forman un monoide bajo composición.
• El producto de caras de un arreglo de hiperplanos.

Conceptos básicos

Identidad y cero

A identidad izquierda de un semigrupo S{displaystyle S. (o más generalmente, magma) es un elemento e{displaystyle e} tal que para todos x{displaystyle x} dentro S{displaystyle S., e⋅ ⋅ x=x{displaystyle ecdot x=x}. Análogamente, a identidad propia es un elemento f{displaystyle f} tal que para todos x{displaystyle x} dentro S{displaystyle S., x⋅ ⋅ f=x{displaystyle xcdot f=x}. Las identidades izquierda y derecha se llaman identidades unilaterales. Un semigrupo puede tener una o más identidades izquierdas pero sin identidad correcta, y viceversa.

Una identidad de dos caras (o simplemente identidad) es un elemento que es tanto una identidad de izquierda como de derecha. Los semigrupos con una identidad de dos lados se llaman monoides. Un semigrupo puede tener como máximo una identidad de dos caras. Si un semigrupo tiene una identidad de dos lados, entonces la identidad de dos lados es la única identidad de un lado en el semigrupo. Si un semigrupo tiene tanto una identidad por la izquierda como una identidad por la derecha, entonces tiene una identidad de dos lados (que es, por lo tanto, la única identidad de un lado).

Un semigrupo S{displaystyle S. sin identidad puede ser incrustado en un monoide formado por unir un elemento e∉ ∉ S{displaystyle enotin S} a S{displaystyle S. y definición e⋅ ⋅ s=s⋅ ⋅ e=s{displaystyle ecdot s=scdot e=s} para todos s▪ ▪ S∪ ∪ {}e}{displaystyle sin Scup {e}. La notación S1{displaystyle S^{1} denota un monoide obtenido S{displaystyle S. por unir una identidad si es necesario ()S1=S{displaystyle S^{1}=S} para un monoide).

Del mismo modo, cada magma tiene a la mayoría un elemento absorbente, que en la teoría semigrupo se llama un cero. Analogous to the above construction, for every semigroup S{displaystyle S., uno puede definir S0{displaystyle S^{0}, un semigrupo con 0 que incrusta S{displaystyle S..

Subsemigrupos e ideales

La operación semigrupo induce una operación sobre la colección de sus subconjuntos: dados los subconjuntos A y B de un semigrupo S, su producto A · B, escrito comúnmente como AB, es el conjunto { ab | a en A y b en B }. (Esta noción se define de forma idéntica para grupos.) En términos de esta operación, un subconjunto A se llama

• a subsemigroup si AA es un subconjunto de A,
• a ideal si ASÍ es un subconjunto de A, y
• a ideal si SA es un subconjunto de A.

Si A es tanto un ideal izquierdo como un ideal derecho, entonces se llama un ideal (o un ideal de dos colas).

Si S es un semigrupo, entonces la intersección de cualquier colección de subsemigrupos de S también es un subsemigrupo de S. Entonces los subsemigrupos de S forman una red completa.

Un ejemplo de semigrupo sin ideal mínimo es el conjunto de enteros positivos bajo suma. El ideal mínimo de un semigrupo conmutativo, cuando existe, es un grupo.

Las relaciones de Green, un conjunto de cinco relaciones de equivalencia que caracterizan los elementos en términos de los principales ideales que generan, son herramientas importantes para analizar los ideales de un semigrupo y las nociones de estructura relacionadas.

El subconjunto que tiene la propiedad de que todo elemento conmuta con cualquier otro elemento del semigrupo se denomina centro del semigrupo. El centro de un semigrupo es en realidad un subsemigrupo.

Homomorfismos y congruencias

Un homomorfismo de semigrupo es una función que conserva la estructura del semigrupo. Una función f: S → T entre dos semigrupos es un homomorfismo si la ecuación

f()ab) f()a)f()b).

es válido para todos los elementos a, b en S, es decir, el resultado es el mismo cuando se realiza la operación de semigrupo después o antes de aplicar el mapa f.

Un homomorfismo semigrupo entre monoides preserva la identidad si es un homomorfismo monoide. Pero hay homomorfismos semigrupos que no son homomorfismos monoide, por ejemplo, la incrustación canónica de un semigrupo S{displaystyle S. sin identidad S1{displaystyle S^{1}. Se examinan más a fondo las condiciones que caracterizan los homomorfismos monoide. Vamos f:S0→ → S1{displaystyle f:S_{0}to S_{1} ser un homomorfismo semigrupo. La imagen de f{displaystyle f} es también un semigrupo. Si S0{displaystyle S_{0} es un monoide con un elemento de identidad e0{displaystyle E_{0}, entonces f()e0){displaystyle f(e_{0}} es el elemento de identidad en la imagen f{displaystyle f}. Si S1{displaystyle S_{1} es también un monoide con un elemento de identidad e1{displaystyle E_{1} y e1{displaystyle E_{1} pertenece a la imagen de f{displaystyle f}, entonces f()e0)=e1{displaystyle f(e_{0}=e_{1}, es decir. f{displaystyle f} es un homomorfismo monoide. En particular, si f{displaystyle f} es subjetivo, entonces es un homomorfismo monoide.

Se dice que dos semigrupos S y T son isomorfos si existe un homomorfismo de semigrupo biyectivo f: S → T. Los semigrupos isomorfos tienen la misma estructura.

A semigrupo congruencia ♪ ♪ {displaystyle sim } es una relación de equivalencia que es compatible con la operación semigrupo. Es decir, un subconjunto ♪ ♪ ⊆ ⊆ S× × S{displaystyle sim ;subseteq Stimes S} que es una relación de equivalencia y x♪ ♪ Sí.{displaystyle xsim y,} y u♪ ♪ v{displaystyle usim v,} implicación xu♪ ♪ Sí.v{displaystyle xusim yv,} para todos x,Sí.,u,v{displaystyle x,y,u,v} dentro S. Como cualquier relación de equivalencia, una congruencia semigrupo ♪ ♪ {displaystyle sim } induce clases de congruencia

[a]♪ ♪ ={}x▪ ▪ S▪ ▪ x♪ ♪ a}{displaystyle [a] Smid xsim a}

y la operación semigrupo induce una operación binaria ∘ ∘ {displaystyle circ } en las clases de congruencia:

[u]♪ ♪ ∘ ∘ [v]♪ ♪ =[uv]♪ ♪ {displaystyle [u] [v]_{sim }=[uv]_{sim }

Porque... ♪ ♪ {displaystyle sim } es una congruencia, el conjunto de todas las clases de congruencia ♪ ♪ {displaystyle sim } formas un semigrupo con ∘ ∘ {displaystyle circ }, llamado el quotient semigroup o factor semigrupo, y denotado S/♪ ♪ {displaystyle S/!sim}. La asignación x↦ ↦ [x]♪ ♪ {displaystyle xmapsto [x] es un homomorfismo semigrupo, llamado mapa de referencia, subjeción canónica o proyección; si S es un semigrupo monoide y cociente es un monoide con identidad [1]♪ ♪ {displaystyle [1]. Por el contrario, el núcleo de cualquier homomorfismo semigrupo es una congruencia semigrupo. Estos resultados no son más que una particularización del primer teorema isomorfismo en álgebra universal. Las clases de congruencia y los monoides factor son los objetos de estudio en los sistemas de reescritura de cadenas.

Una congruencia nuclear sobre S es aquella que es el núcleo de un endomorfismo de S.

Un semigrupo S satisface la condición máxima sobre congruencias si cualquier familia de congruencias sobre S, ordenadas por inclusión, tiene un elemento maximal. Según el lema de Zorn, esto equivale a decir que se cumple la condición de la cadena ascendente: no hay una cadena infinita estrictamente ascendente de congruencias en S.

Todo I ideal de un semigrupo induce un semigrupo factorial, el semigrupo factorial de Rees, a través de la congruencia ρ definida por x ρ y si x = y, o ambos x y y están en I.

Cocientes y divisiones

Las siguientes nociones introducen la idea de que un semigrupo está contenido en otro.

Un semigrupo T es un cociente de un semigrupo S si hay un morfismo semigrupo subjetivo S a T. Por ejemplo, ()Z/2Z,+){displaystyle (mathbb {Z} {Z}+)} es un cociente de ()Z/4Z,+){displaystyle (mathbb {Z} /4mathbb {Z}+)}, utilizando el morfismo que consiste en tomar el modulo restante 2 de un entero.

Un semigrupo T divide un semigrupo S, nota T⪯ ⪯ S{displaystyle Tpreceq S} si T es un cociente de un subsemigroup S. En particular, subsemigroups of S divideciones T, mientras que no es necesariamente el caso de que hay un cociente S.

Ambas relaciones son transitivas.

Estructura de semigrupos

Para cualquier subconjunto A de S hay un subsemigrupo más pequeño T de S que contiene A, y decimos que A genera T. Un solo elemento x de S genera el subsemigrupo { xⁿ | n ∈ Z⁺ }. Si esto es finito, entonces x se dice que es de orden finito, de lo contrario es de orden infinito. Se dice que un semigrupo es periódico si todos sus elementos son de orden finito. Se dice que un semigrupo generado por un solo elemento es monogénico (o cíclico). Si un semigrupo monogénico es infinito entonces es isomorfo al semigrupo de los enteros positivos con la operación de suma. Si es finito y no vacío, entonces debe contener al menos un idempotente. De ello se deduce que cada semigrupo periódico no vacío tiene al menos un idempotente.

Un subsemigrupo que también es un grupo se llama subgrupo. Existe una estrecha relación entre los subgrupos de un semigrupo y sus idempotentes. Cada subgrupo contiene exactamente un idempotente, a saber, el elemento de identidad del subgrupo. Para cada e idempotente del semigrupo hay un único subgrupo máximo que contiene e. Cada subgrupo máximo surge de esta manera, por lo que existe una correspondencia uno a uno entre los idempotentes y los subgrupos máximos. Aquí el término subgrupo máximo difiere de su uso estándar en la teoría de grupos.

A menudo se puede decir más cuando el orden es finito. Por ejemplo, todo semigrupo finito no vacío es periódico y tiene un ideal mínimo y al menos un idempotente. El número de semigrupos finitos de un tamaño dado (mayor que 1) es (obviamente) mayor que el número de grupos del mismo tamaño. Por ejemplo, de las dieciséis posibles "tablas de multiplicar" para un conjunto de dos elementos {a, b}, ocho forman semigrupos mientras que solo cuatro de estos son monoides y solo dos forman grupos. Para obtener más información sobre la estructura de los semigrupos finitos, consulte la teoría de Krohn-Rhodes.

Clases especiales de semigrupos

• Un monoide es un semigrupo con un elemento de identidad.
• Un grupo es un monoide en el que cada elemento tiene un elemento inverso.
• Un subsemigroup es un subconjunto de un semigrupo que se cierra bajo la operación semigrupo.
• Un semigrupo cancelativo es uno que tiene la propiedad de cancelación: a · b = a · c implicación b = c y de manera similar para b · a = c · a. Cada grupo es un semigrupo anulativo, y cada semigrupo anulativo finito es un grupo.
• Una banda es un semigrupo cuya operación es idempotente.
• Un semilattice es un semigrupo cuya operación es idempotente y comunicativa.
• semigrupos de 0 muestras.
• semigrupos de transformación: cualquier semigrupo finito S puede ser representado por transformaciones de un conjunto (estado-) Q of at most SilencioSSilencio + 1 estados. Cada elemento x de S entonces mapas Q en sí mismo x: Q → Q y secuencia xy se define por q()xy) =qx)Sí. para cada uno q dentro Q. Secuenciar claramente es una operación asociativa, aquí equivalente a la composición de la función. Esta representación es básica para cualquier máquina de estado automatizado o finito (FSM).
• El semigrupo bicíclico es de hecho un monoide, que se puede describir como el semigrupo libre en dos generadores p y q, bajo la relación pq = 1.
• Semigroups.
• Semigrupos regulares. Cada elemento x tiene al menos una inversa Sí. satisfacción xyx=x y yxy=Sí.; los elementos x y Sí. a veces se llaman "mutualmente inverso".
• Los semigrupos inversos son semigrupos regulares donde cada elemento tiene exactamente un inverso. Alternativamente, un semigrupo regular es inverso si y sólo si los dos idempotentes se comunican.
• Affine semigrupo: un semigrupo que es isomorfo a un subsemigrupo finito de Z^d. Estos semigrupos tienen aplicaciones para el álgebra conmutativa.

Teorema de estructura para semigrupos conmutativos

Hay un teorema de estructura para semigrupos conmutativos en términos de semilattices. Un semilattice (o más precisamente un semilato de encuentro) ()L,≤ ≤ ){displaystyle (L,leq)} es un conjunto parcialmente ordenado donde cada par de elementos a,b▪ ▪ L{displaystyle a,bin L} tiene un límite más bajo, denotado a∧ ∧ b{displaystyle awedge b}. La operación ∧ ∧ {displaystyle wedge } # L{displaystyle L. en un semigrupo que satisface la ley adicional de idempotencia a∧ ∧ a=a{displaystyle awedge a=a}.

Dado un homomorfismo f:S→ → L{displaystyle f:Sto L} de un semigrupo arbitrario a una semilattice, cada imagen inversa Sa=f− − 1{}a}{displaystyle S_{a}=f^{-1}{a} es un semigrupo (posiblemente vacío). Además, S{displaystyle S. se convierte en grado por L{displaystyle L., en el sentido de que

SaSb⊆ ⊆ Sa∧ ∧ b.{displaystyle S_{a}S_{b}subseteq S_{awedge b}

Si f{displaystyle f} está sobre, la semilattiza L{displaystyle L. es isomorfo al cociente de S{displaystyle S. por la relación de equivalencia ♪ ♪ {displaystyle sim } tales que x♪ ♪ Sí.{displaystyle xsim y} si f()x)=f()Sí.){displaystyle f(x)=f(y)}. Esta relación de equivalencia es una congruencia semigrupo, como se define anteriormente.

Cada vez que tomamos el cociente de un semigrupo conmutativo por una congruencia, obtenemos otro semigrupo conmutativo. El teorema de la estructura dice que para cualquier semigrupo conmutativo S{displaystyle S., hay una mejor congruencia ♪ ♪ {displaystyle sim } tal que el cociente S{displaystyle S. por esta relación de equivalencia es una semilattiza. Denotar esta semilattice por L{displaystyle L., tenemos un homomorfismo f{displaystyle f} desde S{displaystyle S. sobre L{displaystyle L.. Como se mencionó, S{displaystyle S. se convierte en calificada por esta semilacia.

Además, los componentes Sa{displaystyle S_{a} todos los semigrupos Arquímedes. Un semigrupo arquímico es uno donde se da cualquier par de elementos x,Sí.{displaystyle x,y}, existe un elemento z{displaystyle z} y 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■0{displaystyle n confiado0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/> tales que xn=Sí.z{displaystyle x^{n}=yz}.

La propiedad Archimedean sigue inmediatamente del pedido en la semilattice L{displaystyle L., ya que con este pedido tenemos f()x)≤ ≤ f()Sí.){displaystyle f(x)leq f(y)} si xn=Sí.z{displaystyle x^{n}=yz} para algunos z{displaystyle z} y 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■0{displaystyle n confiado0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>.

Grupo de fracciones

El grupo de fracciones o compleción de grupo de un semigrupo S es el grupo G = G(S) generado por los elementos de S como generadores y todas las ecuaciones xy = z que se cumplen en S como relaciones. Hay un homomorfismo de semigrupo obvio j: S → G(S) que envía cada elemento de S al generador correspondiente. Esto tiene una propiedad universal para morfismos de S a un grupo: dado cualquier grupo H y cualquier homomorfismo de semigrupo k: S → H, existe un homomorfismo de grupo único f: G → H con k=fj. Podemos pensar en G como el "más general" grupo que contiene una imagen homomórfica de S.

Una pregunta importante es caracterizar aquellos semigrupos para los cuales este mapa es una incrustación. Este no tiene por qué ser siempre el caso: por ejemplo, tome S como el semigrupo de subconjuntos de algún conjunto X con intersección teórica de conjuntos como la operación binaria (esta es una ejemplo de semiretícula). Dado que A.A = A se cumple para todos los elementos de S, esto también debe ser cierto para todos los generadores de G(S): que es, por lo tanto, el grupo trivial. Es claramente necesario para la integración que S tenga la propiedad de cancelación. Cuando S es conmutativo esta condición también es suficiente y el grupo de Grothendieck del semigrupo proporciona una construcción del grupo de fracciones. El problema de los semigrupos no conmutativos se remonta al primer artículo sustancial sobre semigrupos. Anatoly Maltsev dio las condiciones necesarias y suficientes para la integración en 1937.

Métodos de semigrupos en ecuaciones diferenciales parciales

La teoría de semigrupos se puede utilizar para estudiar algunos problemas en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales. En términos generales, el enfoque de semigrupo consiste en considerar una ecuación diferencial parcial dependiente del tiempo como una ecuación diferencial ordinaria en un espacio de funciones. Por ejemplo, considere el siguiente problema de valor límite/inicial para la ecuación de calor en el intervalo espacial (0, 1) ⊂ R y tiempos t ≥ 0:

0;\u(t,x)=0,&xin {0,1},t>0;\u(t,x)=u_{0}(x),&xin (0,1),t=0.end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">{}∂ ∂ tu()t,x)=∂ ∂ x2u()t,x),x▪ ▪ ()0,1),t■0;u()t,x)=0,x▪ ▪ {}0,1},t■0;u()t,x)=u0()x),x▪ ▪ ()0,1),t=0.{displaystyle {begin{cases}partial _{t}u(t,x)=partial _{x}^{2}u(t,x), recurxin (0,1),t facultad0;u(t,x)=0, limitxin {0,1},t confianza0;u(t,x)=u_{0} 0; \ u(t, x) = 0, & x in { 0, 1 }, t > 0; \ u(t, x) = u_{0} (x), & x in (0, 1), t = 0. end{cases}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d337d3ff73b5d8f49f9770464ca11848a0ac322b" style="vertical-align: -3.838ex; width:42.673ex; height:8.843ex;"/>

Sea X = L²((0, 1) R) sea el espacio Lp de funciones de valor real integrables al cuadrado con dominio en el intervalo (0, 1) y sea A el operador de la segunda derivada con dominio

D()A)={}u▪ ▪ H2()()0,1);R)Silenciou()0)=u()1)=0},{displaystyle D(A)={big{}uin H^{2}(0,1);mathbf {R}){big peru}u(0)=u(1)=0{big}}}

donde H² es un espacio de Sobolev. Entonces, el problema de valor inicial/límite anterior puede interpretarse como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria en el espacio X:

{}uÍ Í ()t)=Au()t);u()0)=u0.{displaystyle {begin{cases}{dot {u}(t)=Au(t);u(0)=u_{0}.end{cases}}

En un nivel heurístico, la solución a este problema "debería" ser u(t) = exp(tA)u₀. Sin embargo, para un tratamiento riguroso, se debe dar un significado a la exponencial de tA. En función de t, exp(tA) es un semigrupo de operadores de X a sí mismo, tomando el estado inicial u₀ en el momento t = 0 al estado u (t) = exp(tA)u₀ en el tiempo t. Se dice que el operador A es el generador infinitesimal del semigrupo.

Historia

El estudio de los semigrupos quedó rezagado con respecto a otras estructuras algebraicas con axiomas más complejos, como grupos o anillos. Varias fuentes atribuyen el primer uso del término (en francés) a J.-A. de Séguier en Élements de la Théorie des Groupes Abstraits (Elementos de la teoría de grupos abstractos) en 1904. El término se usa en inglés en 1908 en la Teoría de grupos de Harold Hinton de Orden Finito.

Anton Sushkevich obtuvo los primeros resultados no triviales sobre semigrupos. Su artículo de 1928 "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit" ("Sobre grupos finitos sin la regla de invertibilidad única") determinaron la estructura de semigrupos finitos simples y demostraron que el ideal mínimo (o las relaciones de clase J de Green) de un semigrupo finito es simple. A partir de ese momento, David Rees, James Alexander Green, Evgenii Sergeevich Lyapin, Alfred H. Clifford y Gordon Preston sentaron las bases de la teoría de semigrupos. Los dos últimos publicaron una monografía de dos volúmenes sobre la teoría de semigrupos en 1961 y 1967 respectivamente. En 1970, un nuevo periódico llamado Semigroup Forum (actualmente editado por Springer Verlag) se convirtió en una de las pocas revistas matemáticas dedicadas por completo a la teoría de semigrupos.

La teoría de la representación de semigrupos fue desarrollada en 1963 por Boris Schein usando relaciones binarias en un conjunto A y composición de relaciones para el producto del semigrupo. En una conferencia algebraica en 1972, Schein revisó la literatura sobre B_A, el semigrupo de relaciones en A. En 1997, Schein y Ralph McKenzie demostraron que todo semigrupo es isomorfo a un semigrupo transitivo de relaciones binarias.

En los últimos años, los investigadores en el campo se han vuelto más especializados con monografías dedicadas que aparecen en clases importantes de semigrupos, como semigrupos inversos, así como monografías que se enfocan en aplicaciones en teoría de autómatas algebraicos, particularmente para autómatas finitos, y también en análisis funcional..

Generalizaciones

Si se descarta el axioma de asociatividad de un semigrupo, el resultado es un magma, que no es más que un conjunto M equipado con una operación binaria que se cierra M × M → M.

Generalizando en una dirección diferente, un semigrupo n-ario (también n-semigrupo, semigrupo poliádico o semigrupo multiario) es una generalización de un semigrupo a un conjunto G con una operación n-aria en lugar de una operación binaria. La ley asociativa se generaliza de la siguiente manera: la asociatividad ternaria es (abc)de = a( bcd)e = ab(cde), es decir, la cadena abcde con cualquiera de los tres elementos adyacentes entre paréntesis. La asociatividad N-aria es una cadena de longitud n + (n − 1) con cualquiera de los n elementos adyacentes entre paréntesis. Un semigrupo 2-ario es solo un semigrupo. Otros axiomas conducen a un grupo n-ario.

Una tercera generalización es el semigrupoide, en el que se elimina el requisito de que la relación binaria sea total. Como las categorías generalizan los monoides de la misma manera, un semigrupoide se comporta como una categoría pero carece de identidades.

Varios autores han considerado algunas veces generalizaciones infinitas de semigrupos conmutativos.