Semicontinuidad

En el análisis matemático, semicontinuidad (o semicontinuidad) es una propiedad de funciones de valor real ampliado que es más débil que la continuidad. Una función ampliada de valor real ${displaystyle f}$ es superior (respectivamente, inferior) semicontinua en un momento ${displaystyle x_{0}$ si, aproximadamente, la función valora los argumentos cercanos ${displaystyle x_{0}$ no son mucho mayores (respectivamente, menores) que ${displaystyle fleft(x_{0}right). }$

Una función es continua si y sólo si es semicontinua superior e inferior. Si tomamos una función continua y aumentamos su valor en cierto punto ${displaystyle x_{0}$ a ${displaystyle fleft(x_{0}right)+c}$ para algunos ${displaystyle c]0}$, entonces el resultado es semicontinua superior; si disminuyemos su valor a ${displaystyle fleft(x_{0}right)-c}$ entonces el resultado es semicontinua menor.

Una función semicontinua superior que no es semicontinua inferior. El punto azul sólido indica ${displaystyle fleft(x_{0}right). }$

Una función semicontinua inferior que no es semicontinua superior. El punto azul sólido indica ${displaystyle fleft(x_{0}right). }$

La noción de función semicontinua superior e inferior fue introducida y estudiada por primera vez por René Baire en su tesis en 1899.

Definiciones

Sumérgete en todo eso ${displaystyle X}$ es un espacio topológico y ${displaystyle f:Xto {fnMithbb {R}}$ es una función con valores en los números reales extendidos ${displaystyle {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {R}=Mathbb {R} cup {-inftyinfty}=[-inftyinfty]$.

Semicontinuidad superior

Una función ${displaystyle f:Xto {fnMithbb {R}}$ se llama semicontinua superior en un punto ${displaystyle x_{0}in X}$ si por cada real ${displaystyle y confianzafleft(x_{0}right)}$ existe un vecindario ${displaystyle U}$ de ${displaystyle x_{0}$ tales que ${displaystyle f(x)$ para todos ${displaystyle xin U}$. Equivalentemente, ${displaystyle f}$ es semicontinua superior ${displaystyle x_{0}$ si

$${displaystyle limsup _{xto x_{0}f(x)leq f(x_{0}}$$

${displaystyle f}$

${displaystyle x_{0}$

Una función ${displaystyle f:Xto {fnMithbb {R}}$ se llama semicontinua superior si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

(1) La función es semicontinua superior en cada punto de su dominio.

2) Todos los conjuntos ${displaystyle f^{-1}([-inftyy)={xin X:f(x)traducido}$ con ${displaystyle yin mathbb {R}$ están abiertos ${displaystyle X}$, donde ${displaystyle [-inftyy]={tin {overline {Mathbb {R} {R}}: No se hizo$.

(3) All superlevel sets ${displaystyle {xin X:f(x)geq y}$ con ${displaystyle yin mathbb {R}$ cerrado en ${displaystyle X}$.

(4) El hipógrafo ${displaystyle {(x,t)in Xtimes mathbb {R}:tleq f(x)}$ está cerrado ${displaystyle Xtimes mathbb {R}$.

(5) La función es continua cuando el codomain ${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {R}}$ se da la topología del orden izquierdo. Esto es sólo un reinicio de condición (2) ya que la topología del orden izquierdo es generada por todos los intervalos ${displaystyle [-inftyy]$.

Semicontinuidad inferior

Una función ${displaystyle f:Xto {fnMithbb {R}}$ se llama baja semicontinua en un punto ${displaystyle x_{0}in X}$ si por cada real ${displaystyle y wonfleft(x_{0}right)}$ existe un vecindario ${displaystyle U}$ de ${displaystyle x_{0}$ tales que ${displaystyle f(x) confianzay}$ para todos ${displaystyle xin U}$. Equivalentemente, ${displaystyle f}$ baja semicontinua a ${displaystyle x_{0}$ si

$${displaystyle liminf _{xto x_{0}f(x)geq f(x_{0}}$$

${displaystyle liminf}$

${displaystyle f}$

${displaystyle x_{0}$

Una función ${displaystyle f:Xto {fnMithbb {R}}$ se llama baja semicontinua si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

(1) La función es semicontinua inferior en cada punto de su dominio.

2) Todos los conjuntos ${displaystyle f^{-1}(y,infty])={xin X:f(x) Consejeray}$ con ${displaystyle yin mathbb {R}$ están abiertos ${displaystyle X}$, donde ${displaystyle (y,infty ]={tin {overline {Mathbb {R} - ¿Qué?$.

(3) All sublevel sets ${displaystyle {xin X:f(x)leq y}$ con ${displaystyle yin mathbb {R}$ cerrado en ${displaystyle X}$.

(4) El epígrafe ${displaystyle {(x,t)in Xtimes mathbb {R}:tgeq f(x)}$ está cerrado ${displaystyle Xtimes mathbb {R}$.

(5) La función es continua cuando el codomain ${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {R}}$ se da la topología de orden correcto. Esto es sólo un reinicio de la condición (2) ya que la topología de orden adecuado es generada por todos los intervalos ${displaystyle (y,infty)}$.

Ejemplos

Considerar la función ${displaystyle f,}$ fragmentario definido por:

$${displaystyle f(x)={begin{cases}-1 limitada{mbox{if }x se hizo 0,1 {mbox{if }xgeq 0end{cases}}$$

${displaystyle x_{0}=0,}$

La función del suelo ${displaystyle f(x)=lfloor xrfloor}$ que devuelve el mayor entero menos que o igual a un número real dado ${displaystyle x,}$ está en todas partes superior semicontinua. Del mismo modo, la función de techo ${displaystyle f(x)=lceil xrceil }$ es semicontinua inferior.

La semicontinuidad superior e inferior no tienen relación con la continuidad por la izquierda o por la derecha para funciones de una variable real. La semicontinuidad se define en términos de una ordenación en el rango de las funciones, no en el dominio. Por ejemplo la función

$${displaystyle f(x)={begin{cases}sin(1/x) reducida{mbox{if }xneq 0,1 Ummbox{if }x=0,end{cases}}}$$

${displaystyle x=0}$

Si ${displaystyle X=Mathbb {R} {fn}$ es un espacio euclidiano (o más generalmente, un espacio métrico) y ${displaystyle Gamma =C([0,1],X)}$ es el espacio de curvas en ${displaystyle X}$ (con la distancia supremum ${displaystyle [0,1]}$), entonces la longitud funcional ${displaystyle L:Gamma to [0,+infty],}$ que asigna a cada curva ${displaystyle alpha }$ su longitud ${displaystyle L(alpha),}$ es semicontinua inferior. Como ejemplo, considere aproximar la unidad cuadrada diagonal por una escalera desde abajo. La escalera siempre tiene la longitud 2, mientras que la línea diagonal sólo tiene longitud ${displaystyle {sqrt {2}}$.

Vamos ${displaystyle (X,mu)}$ ser un espacio de medida y dejar ${displaystyle L^{+}(X,mu)}$ denota el conjunto de funciones mesurables positivas dotadas de topología de la convergencia en medida con respecto a ${displaystyle mu.}$ Luego por la lema de Fatou la integral, vista como un operador de ${displaystyle L^{+}(X,mu)}$ a ${displaystyle [-infty+infty]$ es semicontinua inferior.

Propiedades

A menos que se especifique lo contrario, todas las funciones siguientes son de un espacio topológico ${displaystyle X}$ a los números reales extendidos ${displaystyle {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {R}=[-inftyinfty].$ Varios de los resultados sostienen la semicontinuidad en un punto específico, pero para brevedad sólo se declaran de semicontinuidad sobre todo el dominio.

• Una función ${displaystyle f:Xto {fnMithbb {R}}$ es continuo si y sólo si es semicontinua superior e inferior.

• Función indicadora de un conjunto ${displaystyle Asubset X}$ (definido por ${displaystyle mathbf {1}{A}(x)=1}$ si ${displaystyle xin A}$ y ${displaystyle 0}$ si ${displaystyle xnotin A}$) es semicontinua superior si y sólo si ${displaystyle A}$ es un juego cerrado. Es semicontinua inferior si y sólo si ${displaystyle A}$ es un juego abierto.

• La suma ${displaystyle f+g}$ de dos funciones semicontinuas inferiores es semicontinua inferior (si la suma está bien definida, es decir, ${displaystyle f(x)+g(x)}$ no es la forma indeterminada ${displaystyle - 'infty + 'infty'$). Lo mismo sostiene las funciones semicontinuas superiores.

• Si ambas funciones no son negativas, la función del producto ${displaystyle fg}$ de dos funciones semicontinuas inferiores es semicontinua inferior. El resultado correspondiente tiene funciones semicontinuas superiores.

• Una función ${displaystyle f:Xto {fnMithbb {R}}$ es semicontinua inferior si y sólo si ${displaystyle - f)$ es semicontinua superior.

• La composición ${displaystyle fcirc g}$ de las funciones semicontinua superior no es necesariamente semicontinua superior, pero si ${displaystyle f}$ no disminuye, entonces ${displaystyle fcirc g}$ es semicontinua superior.

• El mínimo y el máximo de dos funciones semicontinuas inferiores son semicontinuas inferiores. En otras palabras, el conjunto de todas las funciones semicontinuas inferiores de ${displaystyle X}$ a ${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {R}}$ (o a) ${displaystyle mathbb {R}$) forma una celosa. Lo mismo sostiene las funciones semicontinuas superiores.

• The (pointwise) supremum of an arbitrary family ${displaystyle (f_{i})_{iin I}$ de funciones semicontinuas inferiores ${displaystyle - Sí. {R}}$ (definido por ${displaystyle f(x)=sup{f_{i}(x):iin Yo...$) es semicontinua inferior.

En particular, el límite de una secuencia creciente de monotonas ${displaystyle f_{1}leq f_{2}leq f_{3}leq cdots}$ de funciones continuas es semicontinua inferior. (El Teorema de Baire a continuación proporciona un converso parcial.) La función límite sólo será semicontinua inferior en general, no continua. Un ejemplo es dado por las funciones ${displaystyle f_{n}(x)=1-(1-x)}$ definidas ${displaystyle xin [0,1]}$ para ${displaystyle n=1,2,ldots.}$

Asimismo, el infimum de una familia arbitraria de funciones semicontinuas superiores es semicontinua superior. Y el límite de una secuencia decreciente monotona de funciones continuas es semicontinua superior.

• ()Teorema de Baire) Assume ${displaystyle X}$ es un espacio métrico. Cada función semicontinua inferior ${displaystyle f:Xto {fnMithbb {R}}$ es el límite de una secuencia creciente de monotonas de funciones continuas de valor real extendido en ${displaystyle X}$; si ${displaystyle f}$ no toma el valor ${displaystyle -infty }$, las funciones continuas se pueden tomar para ser valoradas realmente.

Y cada función semicontinua superior ${displaystyle f:Xto {fnMithbb {R}}$ es el límite de una secuencia de reducción de monotona de funciones continuas de valor real extendidas en ${displaystyle X}$; si ${displaystyle f}$ no toma el valor ${displaystyle infty}$ las funciones continuas pueden ser tomadas para ser valoradas realmente.

• Si ${displaystyle C}$ es un espacio compacto (por ejemplo, un intervalo cerrado ${displaystyle [a,b]}$) y ${displaystyle f:Cto {fnMicrosoft} {R}}$ es semicontinua superior, entonces ${displaystyle f}$ tiene un máximo ${displaystyle C.}$ Si ${displaystyle f}$ es semicontinua inferior en ${displaystyle C,}$ tiene un mínimo ${displaystyle C.}$

()Prueba del caso semicontinua superior: Por condición (5) en la definición, ${displaystyle f}$ es continuo cuando ${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {R}}$ se da la topología del orden izquierdo. Así que su imagen ${displaystyle f(C)}$ es compacto en esa topología. Y los conjuntos compactos en esa topología son exactamente los conjuntos con un máximo. Para una prueba alternativa, vea el artículo sobre el teorema de valor extremo.)

• Cualquier función semicontinua superior ${displaystyle f:Xto mathbb {N}$ en un espacio topológico arbitrario ${displaystyle X}$ es localmente constante en algún subconjunto abierto denso ${displaystyle X.}$

• El teorema de Tonelli en análisis funcional caracteriza la semicontinuidad baja débil de las funciones no lineales en los espacios de Lp en términos de la convexidad de otra función.