Segmento circular

En geometría, un segmento circular (símbolo: ⌓), también conocido como segmento de disco, es una región de un disco que está "cortada" del resto del disco por una secante o una cuerda. Más formalmente, un segmento circular es una región del espacio bidimensional que está delimitada por un arco circular (de menos de π radianes por convención) y por la cuerda circular que conecta los puntos finales del arco.

Did you mean:

Formula

Sea R el radio del arco que forma parte del perímetro del segmento, θ el ángulo central que subtiende el arco en radianes, c la longitud de la cuerda, s la longitud del arco, h la sagitta (altura) del segmento, d la apotema del segmento, y a el área del segmento.

Por lo general, se dan o miden la longitud y la altura de la cuerda y, a veces, la longitud del arco como parte del perímetro, y las incógnitas son el área y, a veces, la longitud del arco. Estos no se pueden calcular simplemente a partir de la longitud y la altura de la cuerda, por lo que generalmente se calculan primero dos cantidades intermedias, el radio y el ángulo central.

Radio y ángulo central

El radio es:

R=h2+c28h{displaystyle R={tfrac {h}{2}+{tfrac {} {}} {}} {}}} {}}} {}}}}}} {}}}} {}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}} {}}}}}} {}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}} {}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Longitud y altura de la cuerda

La longitud y la altura de la cuerda se pueden calcular a partir del radio y el ángulo central mediante:

La longitud de la cuerda es

c=2Rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio 2=R2()1− − #⁡ ⁡ Silencio Silencio ){displaystyle c=2Rsin {tfrac {theta - Sí.

c=2R2− − ()R− − h)2=22Rh− − h2{displaystyle c=2{sqrt {cH00}}}}}

El sagitario es

h=R− − R2− − c24=R()1− − #⁡ ⁡ Silencio Silencio 2)=R()1− − 1+#⁡ ⁡ Silencio Silencio 2)=c2#⁡ ⁡ Silencio Silencio 4{displaystyle h=R-{sqrt {R^{2}-{frac} {c}{4}}}=R(1-cos {tfrac {theta] - Sí. {1+cos theta } {2}}derecha)={frac {c}{2}tan {frac {theta] } {4}}

La apotema es

d=R− − h=R2− − c24=R#⁡ ⁡ Silencio Silencio 2{displaystyle D=R-h={sqrt {R^{2}-{frac} {c} {c}}}=Rcos {tfrac {thetat } {2}}

Longitud y área del arco

La longitud del arco, de la geometría familiar de un círculo, es

s=Silencio Silencio R{displaystyle s={theta}R}

La zona a del segmento circular es igual al área del sector circular menos el área de la porción triangular (utilizando la fórmula de doble ángulo para obtener una ecuación en términos de Silencio Silencio {displaystyle theta }):

a=R22()Silencio Silencio − − pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio ){displaystyle a={tfrac {R^{2}{2}left(theta -sin theta right)}

Showing translation for

In terms of Ri> and h,

a=R2arccos⁡ ⁡ ()1− − hR)− − ()R− − h)R2− − ()R− − h)2{displaystyle a=R^{2}arccos left(1-{frac {h}{R}right)-left(R-hright){sqrt {R^{2}-left(R-hright)}}}}

Did you mean:

In terms of c and h,

a=()c2+4h28h)2arccos⁡ ⁡ ()c2− − 4h2c2+4h2)− − c16h()c2− − 4h2){displaystyle a=left({frac {c^{2}+4h^{2} {8h}derecha)}arccos left({frac}}derecho)}rccos left {c^{2}right)-{c} {c^{2}=4h^{2}}}right)-{frac {c}{16h}}}(c^{2}-4h^{2}}} {2}} {cc}} {c}}}

Lo que se puede decir es que a medida que el ángulo central se vuelve más pequeño (o alternativamente el radio se hace más grande), el área a se acerca rápidamente y asintomáticamente 23c⋅ ⋅ h{fnK}ccdot h}. Si Silencio Silencio ≪ ≪ 1{displaystyle theta ll 1}, a=23c⋅ ⋅ h{displaystyle a={tfrac {2}ccdot h} es una aproximación sustancialmente buena.

Si c{displaystyle c} se mantiene constante, y el radio se permite variar, entonces tenemos

A medida que el ángulo central se acerca a π, el área del segmento se converge en el área de un semicírculo, π π R22{\fnMicroc {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ¿Qué?, por lo que una buena aproximación es un delta offset de la última zona:

a.. π π R22− − ()R+c2)()R− − h){displaystyle aapprox {tfrac ♪ ¿Qué? para h contacto.75R

Como ejemplo, el área es un cuarto del círculo cuando θ ~ 2,31 radianes (132,3°) correspondiente a una altura de ~59,6% y una longitud de cuerda de ~183% del radio.

Etc.

Did you mean:

The perimeter p is the arc length plus the chord length,

p=c+s=c+Silencio Silencio R{displaystyle p=c+s=c+theta R.

Como proporción de toda la zona del disco, A=π π R2{displaystyle A=pi R^{2}, tienes

aA=Silencio Silencio − − pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio 2π π {displaystyle {frac {fnK}={frac {theta -sin theta } {2pi}}

Aplicaciones

La fórmula del área se puede utilizar para calcular el volumen de un tanque cilíndrico parcialmente lleno colocado horizontalmente.

Did you mean:

In the design of windows or doors with rounded tops, c and h may be the only known values and can be used to calculate R for the draftsman 's compass setting.

Se pueden reconstruir las dimensiones completas de un objeto circular completo a partir de fragmentos midiendo la longitud del arco y la longitud de la cuerda del fragmento.

Para comprobar las posiciones de los agujeros en un patrón circular. Especialmente útil para comprobar la calidad de productos mecanizados.

Para calcular el área o centroide de una forma plana que contiene segmentos circulares.