Secuencia de Cauchy

a) La trama de una secuencia Cauchy ${displaystyle (x_{n}),}$ mostrado en azul, como ${displaystyle x_{n}$ versus ${displaystyle n.}$ Si el espacio que contiene la secuencia está completo, entonces la secuencia tiene un límite.

b) Una secuencia que no es Cauchy. Los elementos de la secuencia no se acercan arbitrariamente unos a otros a medida que avanza la secuencia.

En matemáticas, una secuencia de Cauchy (pronunciación francesa: [koʃi]; KOH-shee), llamada así por Augustin-Louis Cauchy, es una secuencia cuyos elementos se vuelven arbitrariamente cercanos entre sí a medida que avanza la secuencia. Más precisamente, dada cualquier distancia positiva pequeña, todos menos un número finito de elementos de la secuencia son menores que la distancia dada entre sí.

No es suficiente que cada término se acerque arbitrariamente al término anterior. Por ejemplo, en la sucesión de raíces cuadradas de números naturales:

$${displaystyle A_{n}={sqrt {n}}$$

$${displaystyle a_{n+1}-a_{n}={sqrt {n+1}-{sqrt {n}={frac} {1}{sqrt {n+1}+{sqrt {n}}}} {frac {1}{2{sqrt {n}}}}}}} {n0}} {n0}}}}} {n0}}}}}}}} {n}}}}}}$$

${displaystyle a_{n}$

${displaystyle a..$

${displaystyle m tituladaleft {sqrt {n}+dright)}{2}$

La utilidad de las sucesiones de Cauchy radica en el hecho de que en un espacio métrico completo (donde se sabe que todas esas sucesiones convergen en un límite), el criterio de convergencia depende únicamente de los términos de la sucesión misma, a diferencia de la definición de convergencia, que utiliza el valor límite además de los términos. Esto a menudo se explota en algoritmos, tanto teóricos como aplicados, donde un proceso iterativo se puede mostrar con relativa facilidad para producir una secuencia de Cauchy, que consta de las iteraciones, cumpliendo así una condición lógica, como la terminación.

Existen generalizaciones de secuencias de Cauchy en espacios uniformes más abstractos en forma de filtros de Cauchy y redes de Cauchy.

En números reales

Una secuencia

$${displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},ldots }$$

${displaystyle varepsilon}$

${displaystyle m,n confiarN,}$

$${displaystyle Silencio.$$

${displaystyle x_{m}-x_{n}$

Para cualquier número real r, la secuencia de expansiones decimales truncadas de r forma una secuencia Cauchy. Por ejemplo, cuando ${displaystyle r=pi}$ esta secuencia es (3, 3.1, 3.14, 3.141,...). El my nt términos difieren en la mayoría ${displaystyle 10^{1-m}$ cuando m. n, y como m crece esto se vuelve más pequeño que cualquier número positivo fijo ${displaystyle varepsilon.}$

Módulo de convergencia de Cauchy

Si ${displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},)}$ es una secuencia en el conjunto ${displaystyle X.$ entonces un modulus of Cauchy convergence para la secuencia es una función ${displaystyle alpha }$ del conjunto de números naturales a sí mismo, tal que para todos los números naturales ${displaystyle k}$ y números naturales ${displaystyle m,n tituladaalpha (k),}$ ${displaystyle Silencio.$

Cualquier secuencia con un módulo de convergencia Cauchy es una secuencia Cauchy. La existencia de un módulo para una secuencia Cauchy sigue de la propiedad bien ordenada de los números naturales (let ${displaystyle alpha (k)}$ ser el más pequeño posible ${displaystyle N}$ en la definición de secuencia Cauchy, tomando ${displaystyle r}$ para ser ${displaystyle 1/k}$). La existencia de un módulo también se deriva del principio de elección dependiente, que es una forma débil del axioma de elección, y también se deriva de una condición aún más débil llamada AC₀₀. Secuencias regulares de Cauchy son secuencias con un módulo dado de convergencia Cauchy (normalmente ${displaystyle alpha (k)=k}$ o ${displaystyle alpha (k)=2^{k}$). Cualquier secuencia Cauchy con un módulo de convergencia Cauchy es equivalente a una secuencia regular de Cauchy; esto se puede probar sin usar ninguna forma del axioma de elección.

Los módulos de convergencia de Cauchy son utilizados por matemáticos constructivos que no desean utilizar ninguna forma de elección. El uso de un módulo de convergencia de Cauchy puede simplificar tanto las definiciones como los teoremas en el análisis constructivo. Bishop (2012) y Bridges (1997) utilizaron secuencias regulares de Cauchy en libros de texto de matemáticas constructivas.

En un espacio métrico

Puesto que la definición de una secuencia Cauchy sólo implica conceptos métricos, es sencillo generalizarla a cualquier espacio métrico X. Para hacerlo, el valor absoluto ${displaystyle left habitx_{m}-x_{n}right forever$ es reemplazado por la distancia ${displaystyle dleft(x_{m},x_{n}right)}$ (donde) d denota una métrica) ${displaystyle x_{m}$ y ${displaystyle x_{n}$

Formally, dada un espacio métrico ${displaystyle (X,d),}$ una secuencia

$${displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},ldots }$$

${displaystyle varepsilon }$

${displaystyle N}$

${displaystyle m,n confiarN,}$

$${displaystyle dleft(x_{m},x_{n} {derecha) seleccionóvarepsilon.}$$

En términos generales, los términos de la sucesión se acercan cada vez más, lo que sugiere que la sucesión debería tener un límite en X. Sin embargo, tal límite no siempre existe dentro de X: la propiedad de un espacio de que toda sucesión de Cauchy converge en el espacio se llama completitud, y se detalla a continuación.

Integridad

Un espacio métrico (X, d) en el que toda sucesión de Cauchy converge en un elemento de X se llama completo.

Ejemplos

Los números reales están completos bajo la métrica inducida por el valor absoluto habitual, y una de las construcciones estándar de los números reales involucra secuencias de Cauchy de números racionales. En esta construcción, cada clase de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales con cierto comportamiento de cola, es decir, cada clase de secuencias que se acercan arbitrariamente entre sí, es un número real.

Un tipo de ejemplo bastante diferente lo proporciona un espacio métrico X que tiene la métrica discreta (donde dos puntos distintos están a una distancia uno del otro). Cualquier secuencia de Cauchy de elementos de X debe ser constante más allá de algún punto fijo y converge al término que eventualmente se repite.

No ejemplo: números racionales

Los números racionales ${displaystyle mathbb {Q}$ no están completos (para la distancia habitual):
Hay secuencias de racionales que convergen (en ${displaystyle mathbb {R}$) a números irracionales; estas son secuencias Cauchy sin límite en ${displaystyle mathbb {Q}$ De hecho, si un número real x es irracional, entonces la secuencia (x_n), cuyo n- el término es la truncación n lugares decimales de la expansión decimal x, da una secuencia Cauchy de números racionales con límite irracional x. Los números ilustrativos ciertamente existen en ${displaystyle mathbb {R}$ por ejemplo:

• La secuencia definida por ${displaystyle x_{0}=1,x_{n+1}={frac {x_{n}+{frac} {2}{x_{n}}} {2}}} {2}} {c}}} {c}}}}}}}}} {c}}}}}}} {c}}} {c}}}}}} {c}}}}}}} {c} {}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ consta de números racionales (1, 3/2, 17/12,...), que está claro desde la definición; sin embargo, converge a la raíz cuadrada irracional de dos, vea el método babilónico de la raíz cuadrada de cálculo.
• La secuencia ${displaystyle ¿Qué?$ de ratios de números de Fibonacci consecutivos que, si convergen en absoluto, convergen a un límite ${displaystyle phi }$ satisfacción ${displaystyle phi ^{2}=phi +1,}$ y ningún número racional tiene esta propiedad. Si uno considera esto como una secuencia de números reales, sin embargo, converge al número real ${displaystyle varphi =(1+{sqrt {5})/2,}$ la relación de oro, que es irracional.
• Los valores de las funciones exponenciales, sine y cosinas, exp(x), pecado(x- Porque...x), se sabe que es irracional para cualquier valor racional de ${displaystyle xneq 0,}$ pero cada uno puede ser definido como el límite de una secuencia Cauchy racional, utilizando, por ejemplo, la serie Maclaurin.

No ejemplo: intervalo abierto

El intervalo abierto ${displaystyle X=(0,2)}$ en el conjunto de números reales con una distancia ordinaria en ${displaystyle mathbb {R}$ no es un espacio completo: hay una secuencia ${displaystyle x_{n}=1/n}$ en ella, que es Cauchy (para la distancia arbitrariamente pequeña ${displaystyle d confianza0}$ todos los términos ${displaystyle x_{n}$ de ${displaystyle No.$ encaja en ${displaystyle (0,d)}$ intervalo), sin embargo no converge en ${displaystyle X}$ — su 'limit', número 0, no pertenece al espacio ${displaystyle X.}$

Otras propiedades

• Cada secuencia convergente (con límite) s, digamos) es una secuencia Cauchy, ya que, dada cualquier número real ${displaystyle varepsilon >0,}$ más allá de algún punto fijo, cada término de la secuencia está a poca distancia ${displaystyle varepsilon /2}$ de s, por lo que cualquier dos términos de la secuencia están a poca distancia ${displaystyle varepsilon }$ uno del otro.
• En cualquier espacio métrico, una secuencia Cauchy ${displaystyle x_{n}$ está obligado (ya para algunos N, todos los términos de la secuencia de N-a la distancia 1 de cada uno, y si M es la distancia más grande entre ${displaystyle x_{N}$ y cualquier términos hasta N-th, entonces ningún término de la secuencia tiene distancia mayor que ${displaystyle M+1}$ desde ${displaystyle x_{N}$).
• En cualquier espacio métrico, una secuencia Cauchy que tiene una subsequencia convergente con límite s es en sí mismo convergente (con el mismo límite), ya que, dada cualquier número real r > 0, más allá de algún punto fijo en la secuencia original, cada término de la subsequencia está a poca distancia r/2 de s, y cualquier dos términos de la secuencia original están a poca distancia r/2 de cada uno, por lo que cada término de la secuencia original está a poca distancia r de s.

Estas dos últimas propiedades, junto con el teorema de Bolzano-Weierstrass, producen una prueba estándar de la integridad de los números reales, estrechamente relacionada tanto con el teorema de Bolzano-Weierstrass como con el teorema de Heine-Borel. Cada secuencia de Cauchy de números reales está acotada, por lo tanto, por Bolzano-Weierstrass tiene una subsecuencia convergente, por lo tanto, es convergente. Esta prueba de la completitud de los números reales utiliza implícitamente el axioma del límite superior mínimo. El enfoque alternativo, mencionado anteriormente, de construir los números reales como la terminación de los números racionales, hace que la terminación de los números reales sea tautológica.

Una de las ilustraciones estándar de la ventaja de poder trabajar con secuencias Cauchy y hacer uso de la integridad se proporciona por consideración de la sumación de una serie infinita de números reales (o, más generalmente, de elementos de cualquier espacio lineal completo, o espacio de Banach). Tal serie ${textstyle sum _{n=1}{infty }x_{n}$ se considera convergente si y sólo si la secuencia de sumas parciales ${displaystyle (s_{m}}$ es convergente, donde ${textstyle S_{m}=sum ¿Qué?$ Es un asunto rutinario determinar si la secuencia de sumas parciales es Cauchy o no, ya que para números enteros positivos ${displaystyle p títuloq,}$

$${displaystyle S_{p}-s_{q}=sum ¿Qué?$$

Si ${displaystyle f:Mto N}$ es un mapa uniformemente continuo entre los espacios métricos M y N yx_n) es una secuencia Cauchy en M, entonces ${displaystyle (f(x_{n})}$ es una secuencia de Cauchy N. Si ${displaystyle (x_{n}}$ y ${displaystyle (y_{n})}$ son dos secuencias Cauchy en los números racionales, reales o complejos, luego la suma ${displaystyle (x_{n}+y_{n}}$ y el producto ${displaystyle (x_{n}y_{n}}}$ son también secuencias Cauchy.

Generalizaciones

En espacios vectoriales topológicos

También hay un concepto de secuencia Cauchy para un espacio vectorial topológico ${displaystyle X}$: Escoge una base local ${displaystyle B}$ para ${displaystyle X}$ aproximadamente 0; entonces (${displaystyle x_{k}$) es una secuencia Cauchy si para cada miembro ${displaystyle Vin B,}$ hay un número ${displaystyle N}$ tal como sea ${displaystyle No, no.$ es un elemento ${displaystyle V.}$ Si la topología de ${displaystyle X}$ es compatible con una métrica invariante de traducción ${displaystyle d,}$ las dos definiciones están de acuerdo.

En grupos topológicos

Puesto que la definición de espacio vectorial topológica de la secuencia Cauchy requiere sólo que haya una operación continua de "sutracción", también se puede decir en el contexto de un grupo topológico: Una secuencia ${displaystyle (x_{k})}$ en un grupo topológico ${displaystyle G.$ es una secuencia Cauchy si para cada barrio abierto ${displaystyle U}$ de la identidad ${displaystyle G.$ existe algún número ${displaystyle N}$ tal como sea ${displaystyle m,n confianzaN}$ sigue que ${displaystyle x_{n}x_{m} {-1}in U.}$ As above, it is sufficient to check this for the neighbourhoods in any local base of the identity in ${displaystyle G.}$

Como en la construcción de la terminación de un espacio métrico, se puede definir además la relación binaria en secuencias Cauchy en ${displaystyle G.$ que ${displaystyle (x_{k})}$ y ${displaystyle (y_{k})}$ son equivalentes si por cada barrio abierto ${displaystyle U}$ de la identidad ${displaystyle G.$ existe algún número ${displaystyle N}$ tal como sea ${displaystyle m,n confianzaN}$ sigue que ${displaystyle x_{n}y_{m} {-1}in U.}$ Esta relación es una relación de equivalencia: Es reflexivo ya que las secuencias son secuencias de Cauchy. Es simétrico desde ${displaystyle Y...$ que por la continuidad del inverso es otro barrio abierto de la identidad. Es transitivo desde ${displaystyle ¿Qué?$ Donde ${displaystyle U'}$ y ${displaystyle U''}$ son barrios abiertos de la identidad tal que ${displaystyle U'U''subseteq U}$; tales pares existen por la continuidad de la operación del grupo.

En grupos

También hay un concepto de secuencia Cauchy en un grupo ${displaystyle G.$: Vamos ${displaystyle H=(H_{r)}$ ser una secuencia decreciente de subgrupos normales de ${displaystyle G.$ de índice finito. Entonces una secuencia ${displaystyle (x_{n}}$ dentro ${displaystyle G.$ se dice que es Cauchy (con respecto a ${displaystyle H.$) si y sólo si para cualquier ${displaystyle r}$ hay ${displaystyle N}$ tal que para todos ${displaystyle m,n confianzaN,x_{n}x_{m}{-1}in H_{r}.$

Técnicamente, esto es lo mismo que un grupo topológico Cauchy secuencia para una elección particular de topología en ${displaystyle G,}$ a saber, qué ${displaystyle H.$ es una base local.

El set ${displaystyle C}$ de tales secuencias Cauchy forma un grupo (para el producto del componente), y el conjunto ${displaystyle C_{0}$ de secuencias nulas (secuencias tales que ${displaystyle forall r,exists N,paraall No, no. H_{r}$) es un subgrupo normal de ${displaystyle C.}$ El grupo factorial ${displaystyle C/C_{0}$ se llama la terminación de ${displaystyle G.$ con respecto a ${displaystyle H.}$

Uno puede entonces mostrar que esta terminación es isomorfa al límite inverso de la secuencia ${displaystyle (G/H_{r}).}$

Un ejemplo de esta construcción familiar en teoría de números y geometría algebraica es la construcción de la ${displaystyle p}$- Terminación administrativa de los enteros con respecto a un primo ${displaystyle p.}$ En este caso, ${displaystyle G.$ es los enteros bajo adición, y ${displaystyle H_{r}$ es el subgrupo aditivo que consiste en múltiples enteros de ${displaystyle.$

Si ${displaystyle H.$ es una secuencia cofinal (es decir, cualquier subgrupo normal del índice finito contiene algunos ${displaystyle H_{r}$), entonces esta terminación es canónica en el sentido de que es isomorfo al límite inverso de ${displaystyle (G/H)_{H}$ Donde ${displaystyle H.$ variando Todos subgrupos normales de índice finito. Para más detalles, consulte Ch. I.10 en el "Álgebra" de Lang.

En un continuo hiperreal

Una secuencia real ${displaystyle langle u_{n}:nin mathbb {N} rangle }$ tiene una extensión hiperreal natural, definida para valores hipernaturales H del índice n además de lo habitual natural n. La secuencia es Cauchy si y sólo si por cada infinito H y K, los valores ${displaystyle U_{H}$ y ${displaystyle U_{K}$ son infinitamente cercanos, o indecuas, es decir,

${displaystyle mathrm {st} (u_{H}-u_{K}=0}$

donde "st" es la función de la parte estándar.

Cauchy finalización de categorías

Krause (2020) introdujo una noción de terminación Cauchy de una categoría. Aplicada ${displaystyle mathbb {Q}$ (la categoría cuyos objetos son números racionales, y hay un morfismo de x a Sí. si ${displaystyle xleq y}$), esta terminación Cauchy rinde ${displaystyle mathbb {R} cup left{infty right}}$ (de nuevo interpretado como una categoría utilizando su orden natural).