Secuencia

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Finita o infinita lista ordenada de elementos

En matemáticas, una secuencia es una colección enumerada de objetos en los que se permiten repeticiones y el orden importa. Al igual que un conjunto, contiene miembros (también llamados elementos o términos). El número de elementos (posiblemente infinito) se denomina longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en una secuencia y, a diferencia de un conjunto, el orden sí importa. Formalmente, una secuencia se puede definir como una función de números naturales (las posiciones de los elementos en la secuencia) a los elementos en cada posición. La noción de una secuencia se puede generalizar a una familia indexada, definida como una función de un conjunto de índices arbitrarios.

Por ejemplo, (M, A, R, Y) es una secuencia de letras con la letra 'M' primero y 'Y' ultimo. Esta secuencia difiere de (A, R, M, Y). Además, la secuencia (1, 1, 2, 3, 5, 8), que contiene el número 1 en dos posiciones diferentes, es una secuencia válida. Las secuencias pueden ser finitas, como en estos ejemplos, o infinitas, como la secuencia de todos los números enteros pares positivos (2, 4, 6,...).

La posición de un elemento en una secuencia es su rango o índice; es el número natural para el cual el elemento es la imagen. El primer elemento tiene índice 0 o 1, dependiendo del contexto o de una convención específica. En el análisis matemático, una secuencia es a menudo denotada por letras en la forma de $a_{n}$ , $b_{n}$ y $c_{n}$ , donde el subscript n se refiere a nt elemento de la secuencia; por ejemplo, el nelemento de la secuencia de Fibonacci $F$ es generalmente denotado $F_{n}$ .

En informática y ciencias de la computación, las secuencias finitas a veces se denominan cadenas, palabras o listas, y los diferentes nombres corresponden comúnmente a diferentes formas de representarlas en la memoria de la computadora; Las secuencias infinitas se llaman flujos. La secuencia vacía () se incluye en la mayoría de las nociones de secuencia, pero puede excluirse según el contexto.

Una secuencia infinita de números reales (en azul). Esta secuencia no está aumentando, disminuyendo, convergente, ni Cauchy. Sin embargo, está atado.

Ejemplos y notación

Se puede pensar en una secuencia como una lista de elementos con un orden particular. Las sucesiones son útiles en varias disciplinas matemáticas para estudiar funciones, espacios y otras estructuras matemáticas utilizando las propiedades de convergencia de las sucesiones. En particular, las secuencias son la base de las series, que son importantes en el análisis y las ecuaciones diferenciales. Las secuencias también son de interés por derecho propio y pueden estudiarse como patrones o rompecabezas, como en el estudio de los números primos.

Hay varias formas de indicar una secuencia, algunas de las cuales son más útiles para tipos específicos de secuencias. Una forma de especificar una secuencia es hacer una lista de todos sus elementos. Por ejemplo, los primeros cuatro números impares forman la secuencia (1, 3, 5, 7). Esta notación también se usa para secuencias infinitas. Por ejemplo, la secuencia infinita de enteros impares positivos se escribe como (1, 3, 5, 7,...). Debido a que anotar secuencias con puntos suspensivos conduce a la ambigüedad, la enumeración es más útil para secuencias infinitas habituales que se pueden reconocer fácilmente desde sus primeros elementos. Después de los ejemplos se analizan otras formas de denotar una secuencia.

Ejemplos

Un revestimiento con cuadrados cuyos lados son sucesivos números Fibonacci de longitud.

Los números primos son los números naturales mayores que 1 que no tienen más divisores que 1 y ellos mismos. Tomando estos en su orden natural da la secuencia (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...). Los números primos son ampliamente utilizados en matemáticas, particularmente en teoría de números donde existen muchos resultados relacionados con ellos.

Los números de Fibonacci comprenden la secuencia de enteros cuyos elementos son la suma de los dos elementos anteriores. Los dos primeros elementos son 0 y 1 o 1 y 1, de modo que la secuencia es (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...).

Otros ejemplos de secuencias incluyen aquellas formadas por números racionales, números reales y números complejos. La sucesión (.9,.99,.999,.9999,...), por ejemplo, se aproxima al número 1. De hecho, todo número real puede escribirse como el límite de una sucesión de números racionales (por ejemplo, a través de su expansión decimal). Como otro ejemplo, π es el límite de la secuencia (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,...), que es creciente. Una secuencia relacionada es la secuencia de dígitos decimales de $π$ , es decir, (3, 1, 4, 1, 5, 9,...). A diferencia de la secuencia anterior, esta secuencia no tiene ningún patrón que sea fácilmente discernible por inspección.

Otro ejemplo de secuencias es una secuencia de funciones, donde cada miembro de la secuencia es una función cuya forma está determinada por un número natural que indexa esa función.

La Enciclopedia en línea de secuencias enteras comprende una gran lista de ejemplos de secuencias enteras.

Indización

Otras notaciones pueden ser útiles para secuencias cuyo patrón no se puede adivinar fácilmente o para secuencias que no tienen un patrón como los dígitos de π. Una de esas notaciones es escribir una fórmula general para calcular la nt term as a function of n, encerrarlo en paréntesis, e incluir un subscript indicando el conjunto de valores que n puede tomar. Por ejemplo, en esta notación la secuencia de números incluso podría ser escrita como ${displaystyle (2n)_{nin mathbb {N} }}$ . La secuencia de cuadrados podría ser escrita como ${displaystyle (n^{2})_{nin mathbb {N} }}$ . La variable n se llama índice, y el conjunto de valores que puede tomar se llama el conjunto índice.

A menudo es útil combinar esta notación con la técnica de tratar los elementos de una secuencia como variables individuales. Esto produce expresiones como ${displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} }}$ , que denota una secuencia cuyo nt elemento es dado por la variable $a_{n}$ . Por ejemplo:

{displaystyle {begin{aligned}a_{1}&=1{text{st element of }}(a_{n})_{nin mathbb {N} }\a_{2}&=2{text{nd element }}\a_{3}&=3{text{rd element }}\&;;vdots \a_{n-1}&=(n-1){text{th element}}\a_{n}&=n{text{th element}}\a_{n+1}&=(n+1){text{th element}}\&;;vdots end{aligned}}}

Uno puede considerar múltiples secuencias al mismo tiempo utilizando diferentes variables; por ejemplo. ${displaystyle (b_{n})_{nin mathbb {N} }}$ podría ser una secuencia diferente a ${displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} }}$ . Uno puede incluso considerar una secuencia de secuencias: ${displaystyle ((a_{m,n})_{nin mathbb {N} })_{min mathbb {N} }}$ denota una secuencia cuyo ml término es la secuencia ${displaystyle (a_{m,n})_{nin mathbb {N} }}$ .

Una alternativa a escribir el dominio de una secuencia en el subscript es indicar el rango de valores que el índice puede tomar al enumerar sus valores legales más altos y más bajos. Por ejemplo, la notación ${displaystyle (k^{2})_{k=1}^{10}}$ denota la secuencia de diez plazos de cuadrados ${displaystyle (1,4,9,ldots100)}$ . Los límites $infty$ y $-infty$ se permiten, pero no representan valores válidos para el índice, sólo el supremum o el infimum de tales valores, respectivamente. Por ejemplo, la secuencia ${displaystyle (a_{n})_{n=1}^{infty }}$ es lo mismo que la secuencia ${displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} }}$ , y no contiene un término adicional "en el infinito". La secuencia ${displaystyle (a_{n})_{n=-infty }^{infty }}$ es un secuencia bi-infinita, y también se puede escribir como ${displaystyle (ldotsa_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},ldots)}$ .

En los casos en que se entiende el conjunto de números de indexación, los subscriptos y los superscriptos a menudo se dejan fuera. Es decir, uno simplemente escribe $(a_{k})$ para una secuencia arbitraria. A menudo, el índice k se entiende que corre de 1 a ∞. Sin embargo, las secuencias se indexan frecuentemente a partir de cero, como en

{displaystyle (a_{k})_{k=0}^{infty }=(a_{0},a_{1},a_{2},ldots).}

En algunos casos, los elementos de la secuencia se relacionan naturalmente con una secuencia de números enteros cuyo patrón se puede inferir fácilmente. En estos casos, el conjunto de índices puede estar implícito en una lista de los primeros elementos abstractos. Por ejemplo, la secuencia de cuadrados de números impares podría denotarse de cualquiera de las siguientes formas.

${displaystyle (1,9,25,ldots)}$
${displaystyle (a_{1},a_{3},a_{5},ldots),qquad a_{k}=k^{2}}$
$(a_{2k-1})_{k=1}^infty, qquad a_k = k^2$
$(a_{k})_{k=1}^infty, qquad a_k = (2k-1)^2$
${displaystyle left((2k-1)^{2}right)_{k=1}^{infty }}$

Además, los subscriptos y superscriptos podrían haber sido dejados en las notaciones tercera, cuarta y quinta, si el conjunto de indexación se entendía como los números naturales. En las balas segunda y tercera, hay una secuencia bien definida ${displaystyle (a_{k})_{k=1}^{infty }}$ , pero no es lo mismo que la secuencia denotada por la expresión.

Definiendo una secuencia por recursividad

Las secuencias cuyos elementos están relacionados con los elementos anteriores de una manera sencilla, a menudo se definen mediante recursividad. Esto contrasta con la definición de secuencias de elementos como funciones de sus posiciones.

Para definir una secuencia por recursión, se necesita una regla, llamada relación de recurrencia para construir cada elemento en términos de los anteriores. Además, se deben proporcionar suficientes elementos iniciales para que todos los elementos posteriores de la secuencia puedan calcularse mediante aplicaciones sucesivas de la relación de recurrencia.

La secuencia de Fibonacci es un ejemplo clásico simple, definido por la relación de recurrencia

{displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},}

con términos iniciales $a_{0}=0$ y $a_{1}=1$ . A partir de esto, un simple cálculo muestra que los primeros diez términos de esta secuencia son 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, y 34.

Un ejemplo complicado de una secuencia definida por una relación de recurrencia es la secuencia de Recamán, definida por la relación de recurrencia

{displaystyle {begin{cases}a_{n}=a_{n-1}-n,quad {text{if the result is positive and not already in the previous terms,}}\a_{n}=a_{n-1}+n,quad {text{otherwise}},end{cases}}}

con mandato inicial ${displaystyle a_{0}=0.}$

Una recurrencia lineal con coeficientes constantes es una relación de recurrencia de la forma

{displaystyle a_{n}=c_{0}+c_{1}a_{n-1}+dots +c_{k}a_{n-k},}

Donde ${displaystyle c_{0},dotsc_{k}}$ son constantes. Existe un método general para expresar el término general $a_{n}$ de tal secuencia como función $n$ ; vea la recurrencia lineal. En el caso de la secuencia Fibonacci, uno tiene ${displaystyle c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,}$ y la función resultante $n$ es dada por la fórmula de Binet.

Una secuencia holonómica es una secuencia definida por una relación de recurrencia de la forma

{displaystyle a_{n}=c_{1}a_{n-1}+dots +c_{k}a_{n-k},}

Donde ${displaystyle c_{1},dotsc_{k}}$ son polinomios en $n$ . Para la mayoría de las secuencias holonomicas, no hay fórmula explícita para expresar $a_{n}$ como función de $n$ . Sin embargo, las secuencias holonomicas juegan un papel importante en varias áreas de matemáticas. Por ejemplo, muchas funciones especiales tienen una serie Taylor cuya secuencia de coeficientes es holonomic. El uso de la relación recurrencia permite una rápida computación de valores de tales funciones especiales.

No todas las secuencias se pueden especificar mediante una relación de recurrencia. Un ejemplo es la secuencia de números primos en su orden natural (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...).

Definición formal y propiedades básicas

Hay muchas nociones diferentes de secuencias en matemáticas, algunas de las cuales (por ejemplo,, secuencia exacta) no están cubiertas por las definiciones y notaciones que se presentan a continuación.

Definición

En este artículo, una secuencia se define formalmente como una función cuyo dominio es un intervalo de números enteros. Esta definición cubre varios usos diferentes de la palabra "secuencia", incluidas secuencias infinitas unilaterales, secuencias bi-infinitas y secuencias finitas (consulte a continuación las definiciones de este tipo de secuencias). Sin embargo, muchos autores usan una definición más estrecha al requerir que el dominio de una secuencia sea el conjunto de números naturales. Esta definición más estrecha tiene la desventaja de que descarta las sucesiones finitas y las sucesiones bi-infinitas, las cuales generalmente se denominan sucesiones en la práctica matemática estándar. Otra desventaja es que, si se eliminan los primeros términos de una secuencia, es necesario reindexar los términos restantes para ajustarse a esta definición. En algunos contextos, para acortar la exposición, el codominio de la secuencia se fija por contexto, por ejemplo, requiriendo que sea el conjunto R de números reales, el conjunto C de números complejos, o un espacio topológico.

Aunque las secuencias son un tipo de función, generalmente se distinguen notacionalmente de funciones en que la entrada está escrita como subscript en lugar de entre paréntesis, es decir, $a n$ en lugar de $a () n)$ . También hay diferencias terminológicas: el valor de una secuencia en la entrada más baja (a menudo 1) se llama el "primer elemento" de la secuencia, el valor en la segunda entrada más pequeña (a menudo 2) se llama el "segundo elemento", etc. Además, mientras que una función abstraída de su entrada es generalmente denotada por una sola letra, por ejemplo. f, una secuencia abstraída de su entrada se escribe generalmente por una notación como ${displaystyle (a_{n})_{nin A}}$ , o igual ${displaystyle (a_{n}).}$ Aquí. $A$ es el dominio, o conjunto índice, de la secuencia.

Las sucesiones y sus límites (ver más abajo) son conceptos importantes para estudiar espacios topológicos. Una generalización importante de las sucesiones es el concepto de redes. Una red es una función de un conjunto dirigido (posiblemente incontable) a un espacio topológico. Las convenciones de notación para las sucesiones también se aplican normalmente a las redes.

Finito e infinito

La longitud de una secuencia se define como el número de términos en la secuencia.

Una secuencia de longitud finita n también se denomina n-tupla. Las secuencias finitas incluyen la secuencia vacía () que no tiene elementos.

Normalmente, el término secuencia infinita se refiere a una secuencia que es infinita en una dirección, y finita en la otra: la secuencia tiene un primer elemento, pero ningún elemento final. Tal secuencia se llama secuencia infinita o a secuencia infinita unilateral cuando la desambiguación es necesaria. En cambio, una secuencia que es infinita en ambas direcciones, es decir, que no tiene ni un primer ni un elemento final, se llama un secuencia bi-infinita, secuencia infinita de dos vías, o secuencia doblemente infinita. Una función del conjunto Z de Todos enteros en un conjunto, como por ejemplo la secuencia de todos los enteros (..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8,...), es bi-infinito. Esta secuencia podría ser denotada $(2n)_{n=-infty}^{infty}$ .

Creciente y decreciente

Se dice que una secuencia es monotonicamente aumentando si cada término es mayor o igual al anterior. Por ejemplo, la secuencia $(a_n)_{n=1}^{infty}$ aumenta monotonicamente si y sólo si a_{n+ 1} $geq$ a_n para todos n ▪ N. Si cada término consecutivo es estrictamente mayor que el término anterior, entonces se llama la secuencia Aumenta estrictamente monotonicamente. Una secuencia es monotonicamente disminuyendo si cada término consecutivo es inferior o igual al anterior, y es estrictamente monotonicamente disminuyendo si cada uno es estrictamente inferior al anterior. Si una secuencia está aumentando o disminuyendo se llama a monotone secuencia. Este es un caso especial de la noción más general de una función monotónica.

Los términos no decreciente y no creciente se utilizan a menudo en lugar de creciente y decreciente para evitar cualquier posible confusión con estrictamente creciente y estrictamente decreciente, respectivamente.

Limitada

(feminine)

Si la sucesión de números reales (a_n) es tal que todos los términos son menores que algún número real M, entonces el Se dice que la secuencia está acotada desde arriba. En otras palabras, esto significa que existe M tal que para todo n, a_n ≤ M. Cualquier M de este tipo se denomina límite superior. Asimismo, si, para algún m real, a_n ≥ m para todo n mayor que algún N, entonces la secuencia está limitada desde abajo y cualquier m se denomina límite inferior. Si una sucesión está acotada por arriba y por abajo, se dice que la sucesión está acotada.

Subsecuencias

Una subsecuencia de una secuencia dada es una secuencia formada a partir de la secuencia dada eliminando algunos de los elementos sin alterar las posiciones relativas de los elementos restantes. Por ejemplo, la secuencia de enteros pares positivos (2, 4, 6,...) es una subsecuencia de los enteros positivos (1, 2, 3,...). Las posiciones de algunos elementos cambian cuando se eliminan otros elementos. Sin embargo, las posiciones relativas se conservan.

Formally, una subsequencia de la secuencia ${displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} }}$ es cualquier secuencia de la forma ${displaystyle (a_{n_{k}})_{kin mathbb {N} }}$ , donde ${displaystyle (n_{k})_{kin mathbb {N} }}$ es una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos.

Otros tipos de secuencias

Algunos otros tipos de secuencias que son fáciles de definir incluyen:

An secuencia entero es una secuencia cuyos términos son enteros.
A secuencia polinomial es una secuencia cuyos términos son polinomios.
Una secuencia de entero positivo se llama a veces multiplicador, si a_nm = a_n a_m para todos los pares n, m tales que n y m son coprime. En otros casos, las secuencias se llaman a menudo multiplicador, si a_n = na₁ para todos n. Además, a multiplicador La secuencia de Fibonacci satisface la relación de recursión a_n = a_n−1 a_n−2.
Una secuencia binaria es una secuencia cuyos términos tienen uno de dos valores discretos, por ejemplo los valores base 2 (0,1,0,...), una serie de cuentas de monedas (Heads/Tails) H,T,H,H,T,..., las respuestas a un conjunto de preguntas Verdaderas o Falsas (T, F, T, T,...), y así sucesivamente.

Límites y convergencia

La trama de una secuencia convergente (a_n) se muestra en azul. Desde el gráfico podemos ver que la secuencia está convergendo al límite cero como n aumenta.

Una propiedad importante de una secuencia es la convergencia. Si una secuencia converge, converge a un valor particular conocido como límite. Si una sucesión converge en algún límite, entonces es convergente. Una secuencia que no converge es divergente.

Informalmente, una secuencia tiene un límite si los elementos de la secuencia se acercan y se acercan a algún valor $L$ (llamado el límite de la secuencia), y se vuelven y permanecen arbitrariamente cerca $L$ , lo que significa que dio un número real $d$ mayor que cero, todo pero un número finito de los elementos de la secuencia tienen una distancia $L$ menos que $d$ .

Por ejemplo, la secuencia ${textstyle a_{n}={frac {n+1}{2n^{2}}}}$ muestra a la derecha converge al valor 0. Por otro lado, las secuencias ${textstyle b_{n}=n^{3}}$ (que comienza 1, 8, 27,...) y ${displaystyle c_{n}=(-1)^{n}}$ (que comienza −1, 1, −1, 1,...) son ambos divergentes.

Si una secuencia converge, entonces el valor que converge es único. Este valor se llama límite de la secuencia. El límite de una secuencia convergente $(a_{n})$ normalmente se denota ${textstyle lim _{nto infty }a_{n}}$ . Si $(a_{n})$ es una secuencia divergente, luego la expresión ${textstyle lim _{nto infty }a_{n}}$ no tiene sentido.

Definición formal de convergencia

Una secuencia de números reales $(a_{n})$ convergencias a un número real $L$ si, para todos $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ , existe un número natural $N$ tal que para todos $ngeq N$ tenemos

<math alttext="{displaystyle |a_{n}-L|Silencioan− − LSilencio.ε ε .{displaystyle - ¿Qué?<img alt="{displaystyle |a_{n}-L|

Si $(a_{n})$ es una secuencia de números complejos en lugar de una secuencia de números reales, esta última fórmula todavía se puede utilizar para definir convergencia, con la disposición de que $|cdot |$ denota el módulo complejo, es decir. ${displaystyle |z|={sqrt {z^{*}z}}}$ . Si $(a_{n})$ es una secuencia de puntos en un espacio métrico, entonces la fórmula se puede utilizar para definir convergencia, si la expresión ${displaystyle |a_{n}-L|}$ es reemplazado por la expresión ${displaystyle operatorname {dist} (a_{n},L)}$ , que denota la distancia entre $a_{n}$ y $L$ .

Aplicaciones y resultados importantes

Si $(a_{n})$ y $(b_{n})$ son secuencias convergentes, entonces existen los siguientes límites, y se pueden calcular de la siguiente manera:

${displaystyle lim _{nto infty }(a_{n}pm b_{n})=lim _{nto infty }a_{n}pm lim _{nto infty }b_{n}}$
${displaystyle lim _{nto infty }ca_{n}=clim _{nto infty }a_{n}}$ para todos los números reales $c$
${displaystyle lim _{nto infty }(a_{n}b_{n})=left(lim _{nto infty }a_{n}right)left(lim _{nto infty }b_{n}right)}$
${displaystyle lim _{nto infty }{frac {a_{n}}{b_{n}}}={frac {lim limits _{nto infty }a_{n}}{lim limits _{nto infty }b_{n}}}}$ , siempre que $lim _{nto infty }b_{n}neq 0$
${displaystyle lim _{nto infty }a_{n}^{p}=left(lim _{nto infty }a_{n}right)^{p}}$ para todos $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p■0{displaystyle p confía0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dffb51e20581d50c3012634fd9f7b059a68c1c4" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.52ex; height:2.509ex;"/>$ y $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">an■0{displaystyle a_{n} {fn}}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e309b94a4f0d733334d2cdc304ad38162c9d5e" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.709ex; height:2.509ex;"/>$

Además:

Si $a_{n}leq b_{n}$ para todos $n$ más grande que algunos $N$ , entonces $lim _{nto infty }a_{n}leq lim _{nto infty }b_{n}$ .
(Squeeze Theorem)
Si ${displaystyle (c_{n})}$ es una secuencia tal que $a_{n}leq c_{n}leq b_{n}$ para todos $N}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■N{displaystyle n confiadoN}N" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6592abd10dbd8e25e84efd66c5f4db57d41fe752" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.557ex; height:2.176ex;"/>$ y $lim _{nto infty }a_{n}=lim _{nto infty }b_{n}=L$ ,
entonces ${displaystyle (c_{n})}$ es convergente, y $lim _{nto infty }c_{n}=L$ .
Si una secuencia está ligada y monotónica entonces es convergente.
Una secuencia es convergente si y sólo si todas sus subsecuencias son convergentes.

Secuencias de Cauchy

La trama de una secuencia Cauchy (X_n), mostrado en azul, como X_n versus n. En el gráfico la secuencia parece estar convergendo a un límite ya que la distancia entre los términos consecutivos en la secuencia se vuelve más pequeña como n aumenta. En los números reales cada secuencia Cauchy converge a algún límite.

Una sucesión de Cauchy es una sucesión cuyos términos se acercan arbitrariamente a medida que n se hace muy grande. La noción de sucesión de Cauchy es importante en el estudio de sucesiones en espacios métricos y, en particular, en el análisis real. Un resultado particularmente importante en el análisis real es la caracterización de Cauchy de la convergencia para sucesiones:

Una secuencia de números reales es convergente (en los reales) si y sólo si es Cauchy.

Por el contrario, hay sucesiones de Cauchy de números racionales que no son convergentes en los racionales, p. la secuencia definida por x₁ = 1 y x_n+1 = x_n + 2/x_n/2 es Cauchy, pero no tiene límite racional, cf. aquí. De manera más general, cualquier secuencia de números racionales que converge a un número irracional es Cauchy, pero no converge cuando se interpreta como una secuencia en el conjunto de números racionales.

Los espacios métricos que satisfacen la caracterización de Cauchy de convergencia para secuencias se denominan espacios métricos completos y son particularmente buenos para el análisis.

Límites infinitos

En el cálculo, es común definir la notación de secuencias que no convergen en el sentido discutido anteriormente, sino que se vuelven y permanecen arbitrariamente grandes, o se vuelven y permanecen arbitrariamente negativos. Si $a_{n}$ se hace arbitrariamente grande $nto infty$ , escribimos

lim_{ntoinfty}a_n = infty.

En este caso decimos que la secuencia diverge, o que converge a infinito. Un ejemplo de tal secuencia es a_n = n.

Si $a_{n}$ se vuelve arbitrariamente negativo (es decir, negativo y grande en magnitud) como $nto infty$ , escribimos

lim_{ntoinfty}a_n = -infty

y decir que la sucesión diverge o converge a infinito negativo.

Serie

A serie es, informalmente hablando, la suma de los términos de una secuencia. Es decir, es una expresión de la forma ${textstyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$ o ${displaystyle a_{1}+a_{2}+cdots }$ , donde $(a_{n})$ es una secuencia de números reales o complejos. El sumas parciales de una serie son las expresiones resultantes de reemplazar el símbolo de infinito por un número finito, es decir, el Nla suma parcial de la serie ${textstyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$ es el número

{displaystyle S_{N}=sum _{n=1}^{N}a_{n}=a_{1}+a_{2}+cdots +a_{N}.}

Las sumas parciales forman una secuencia ${displaystyle (S_{N})_{Nin mathbb {N} }}$ , que se llama el secuencia de sumas parciales de la serie ${textstyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$ . Si la secuencia de sumas parciales converge, entonces decimos que la serie ${textstyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$ es convergente, y el límite ${textstyle lim _{Nto infty }S_{N}}$ se llama valor de la serie. La misma notación se utiliza para denotar una serie y su valor, es decir, escribimos ${textstyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}=lim _{Nto infty }S_{N}}$ .

Uso en otros campos de las matemáticas

Topología

Las secuencias juegan un papel importante en la topología, especialmente en el estudio de espacios métricos. Por ejemplo:

Un espacio métrico es compacto exactamente cuando es secuencialmente compacto.
Una función de un espacio métrico a otro espacio métrico es continua exactamente cuando toma secuencias convergentes para secuencias convergentes.
Un espacio métrico es un espacio conectado si y sólo si, cuando el espacio se divide en dos conjuntos, uno de los dos conjuntos contiene una secuencia que converge a un punto en el otro conjunto.
Un espacio topológico es separable exactamente cuando hay una secuencia densa de puntos.

Las secuencias se pueden generalizar a redes o filtros. Estas generalizaciones permiten extender algunos de los teoremas anteriores a espacios sin métrica.

Topología del producto

El producto topológico de una secuencia de espacios topológicos es el producto cartesiano de esos espacios, equipado con una topología natural llamada topología del producto.

Más formalmente, dada una secuencia de espacios ${displaystyle (X_{i})_{iin mathbb {N} }}$ , el espacio del producto

{displaystyle X:=prod _{iin mathbb {N} }X_{i},}

se define como el conjunto de todas las secuencias ${displaystyle (x_{i})_{iin mathbb {N} }}$ tal que para cada uno i, $x_{i}$ es un elemento $X_{i}$ . El proyecciones canónicas son los mapas p_i: X → X_i definida por la ecuación ${displaystyle p_{i}((x_{j})_{jin mathbb {N} })=x_{i}}$ . Entonces el topología del producto on X se define como la topología más gruesa (es decir, la topología con los pocos conjuntos abiertos) para los cuales todas las proyecciones p_i son continuos. La topología del producto se llama a veces Topología Tychonoff.

Análisis

En análisis, cuando se habla de secuencias, generalmente se considerarán secuencias de la forma

{displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},dots){text{ or }}(x_{0},x_{1},x_{2},dots)}

es decir, infinitas secuencias de elementos indexados por números naturales.

Una secuencia puede comenzar con un índice diferente de 1 o 0. Por ejemplo, la secuencia definida por x_n = 1/log(n) se definiría solo para n ≥ 2. Cuando se habla de tales secuencias infinitas, generalmente es suficiente (y no cambia mucho para la mayoría de las consideraciones) asumir que los miembros de la secuencia están definidos al menos para todos los índices lo suficientemente grandes, es decir, mayores que algunos N dados.

El tipo más elemental de sucesiones son las numéricas, es decir, sucesiones de números reales o complejos. Este tipo se puede generalizar a secuencias de elementos de algún espacio vectorial. En el análisis, los espacios vectoriales considerados suelen ser espacios de funciones. Incluso de manera más general, se pueden estudiar secuencias con elementos en algún espacio topológico.

Espacios de secuencia

Un espacio secuencial es un espacio vectorial cuyos elementos son secuencias infinitas de números reales o complejos. De manera equivalente, es un espacio funcional cuyos elementos son funciones de los números naturales al campo K, donde K es el campo de los números reales o el campo de los números complejos. El conjunto de todas estas funciones se identifica naturalmente con el conjunto de todas las secuencias infinitas posibles con elementos en K, y se puede convertir en un espacio vectorial mediante las operaciones de suma puntual de funciones y multiplicación escalar puntual. Todos los espacios de secuencia son subespacios lineales de este espacio. Los espacios de secuencia suelen estar equipados con una norma, o al menos con la estructura de un espacio vectorial topológico.

Los espacios de secuencias más importantes en el análisis son los espacios ℓ^p, que consisten en las secuencias sumables de potencia p, con el p-norma. Estos son casos especiales de espacios Lp para la medida de conteo en el conjunto de números naturales. Otras clases importantes de sucesiones, como las sucesiones convergentes o las sucesiones nulas, forman espacios de sucesión, respectivamente denotados c y c₀, con la norma sup. Cualquier espacio de secuencia también puede equiparse con la topología de convergencia puntual, bajo la cual se convierte en un tipo especial de espacio de Fréchet llamado espacio FK.

Álgebra lineal

Las secuencias sobre un campo también pueden verse como vectores en un espacio vectorial. Específicamente, el conjunto de secuencias con valores F (donde F es un campo) es un espacio funcional (de hecho, un espacio producto) de F sobre el conjunto de números naturales.

Álgebra abstracta

El álgebra abstracta emplea varios tipos de secuencias, incluidas secuencias de objetos matemáticos como grupos o anillos.

Monoide libre

Si A es un conjunto, el monoide libre sobre A (denotado A^*, también llamado Kleene estrella de A) es un monoide que contiene todas las secuencias finitas (o cadenas) de cero o más elementos de A, con la operación binaria de concatenación. El semigrupo libre A⁺ es el subsemigrupo de A^* que contiene todos los elementos excepto la secuencia vacía.

Secuencias exactas

En el contexto de la teoría de grupos, una secuencia

G_{0};{xrightarrow {f_{1}}};G_{1};{xrightarrow {f_{2}}};G_{2};{xrightarrow {f_{3}}};cdots ;{xrightarrow {f_{n}}};G_{n}

de grupos y homomorfismos de grupos se llama exacta, si la imagen (o rango) de cada homomorfismo es igual al núcleo del siguiente:

mathrm {im} (f_{k})=mathrm {ker} (f_{k+1})

La secuencia de grupos y homomorfismos puede ser finita o infinita.

Se puede hacer una definición similar para otras estructuras algebraicas. Por ejemplo, se podría tener una secuencia exacta de espacios vectoriales y aplicaciones lineales, o de módulos y homomorfismos de módulos.

Secuencias espectrales

En álgebra homológica y topología algebraica, una secuencia espectral es un medio para calcular grupos de homología tomando aproximaciones sucesivas. Las secuencias espectrales son una generalización de las secuencias exactas y, desde su introducción por Jean Leray (1946), se han convertido en una importante herramienta de investigación, particularmente en la teoría de la homotopía.

Teoría de conjuntos

Una secuencia indexada ordinal es una generalización de una secuencia. Si α es un ordinal límite y X es un conjunto, una secuencia indexada de elementos de X es una función de α a X. En esta terminología, una secuencia con índice ω es una secuencia ordinaria.

Informática

En informática, las secuencias finitas se denominan listas. Las secuencias potencialmente infinitas se llaman flujos. Las secuencias finitas de caracteres o dígitos se denominan cadenas.

Transmisiones

Las secuencias infinitas de dígitos (o caracteres) extraídas de un alfabeto finito son de particular interés en la informática teórica. A menudo se los denomina simplemente secuencias o flujos, en lugar de cadenas finitas. Las secuencias binarias infinitas, por ejemplo, son secuencias infinitas de bits (caracteres extraídos del alfabeto {0, 1}). El conjunto C = {0, 1}^∞ de todas las secuencias binarias infinitas a veces se denomina espacio de Cantor.

Una secuencia binaria infinita puede representar un lenguaje formal (un conjunto de cadenas) estableciendo el n ésimo bit de la secuencia en 1 si y solo si el n ésimo cadena (en orden shortlex) está en el idioma. Esta representación es útil en el método de diagonalización para pruebas.

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