Sección espírica

En geometría, una sección espírica, a veces llamada espírica de Perseo, es una curva plana de segundo grado definida por ecuaciones de la forma

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f.}$

De manera equivalente, las secciones espíricas pueden definirse como curvas cuárticas bicirculares que son simétricas con respecto a los ejes x e y. Las secciones espíricas se incluyen en la familia de secciones tóricas e incluyen la familia de los hipópedos y la familia de los óvalos de Cassini. El nombre proviene de σπειρα, que significa toro en griego antiguo.

Una sección espírica se define a veces como la curva de intersección de un toro y un plano paralelo a su eje de simetría rotacional. Sin embargo, esta definición no incluye todas las curvas dadas por la definición anterior a menos que se permitan planos imaginarios.

Las secciones espíricas fueron descritas por primera vez por el geómetra griego Perseo aproximadamente en el año 150 a. C. y se supone que son las primeras secciones tóricas descritas. El nombre espírica se debe a la antigua notación spira de un toro.,

Comencemos con la ecuación habitual para el toro:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+b^{2}-a^{2})^{2}=4b^{2}(x^{2}+y^{2}).\,}$

Al intercambiar y y z de modo que el eje de revolución esté ahora en el plano xy, y al establecer z=c para encontrar la curva de intersección, se obtiene

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(x^{2}+c^{2}).\,}$

En esta fórmula, el toro se forma al rotar un círculo de radio a cuyo centro sigue otro círculo de radio b (no necesariamente mayor que a, se permite la autointersección). El parámetro c es la distancia del plano de intersección al eje de revolución. No hay secciones espiríricas con c > b + a, ya que no hay intersección; el plano está demasiado lejos del toro para intersectarlo.

Ampliando la ecuación se obtiene la forma que se ve en la definición

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f\,}$

donde

${2}+b^{2}-c^{2}),\ e=2(a^{2}-b^{2}-c^{2}),\ f=-(a^{4}+b^{4}+c^{4}-2a}b^{2}-2a^{2} {2} {2} {2}{2}-2b^{2} {2}}} {2} {2}{2} {2}}}}{2}}}}{2}{2}}}}{2}}}{2}{2}}}{2}}}{2}{2}{2}}}}}}}}}}}}}}}{2}}}}}}}{2} {2} {2}}}}}}}{2}}}}}}}} {2} {2}}{2}{2}{2}}}}}}{2}}}}{2}}}}}}}}}}}}{2}}}}}}}}}}$

En coordenadas polares esto se convierte en

$[\displaystyle (r^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(r^{2}\cos ^{2}\theta +c^{2})\,}$

o

${\displaystyle r^{4}=r^{2}(d\cos ^{2}\theta +e\sin ^{2}\theta)+f.}$

Las secciones esféricas de un toro husillo, cuyos planos intersecan el huso (parte interior), constan de una curva exterior y otra interior (véase la imagen).

Las isópticas de elipses e hipérbolas son secciones espíricas. (S. también enlace web The Mathematics Enthusiast.)

Algunos ejemplos son la hipopótamo, el óvalo de Cassini y sus parientes, como la lemniscata de Bernoulli. El óvalo de Cassini tiene la notable propiedad de que el producto de las distancias a dos focos es constante. A modo de comparación, la suma es constante en las elipses, la diferencia es constante en las hipérbolas y la razón es constante en los círculos.

• Weisstein, Eric W. "Spiric Section". MathWorld.
• Historia de MacTutor
• 2Dcurves.com descripción
• Biografía de MacTutor de Perseus
• The Mathematics Enthusiast Number 9, article 4

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