Ruido de Johnson-Nyquist

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El ruido electrónico debido a la vibración térmica dentro de un conductor

Estos tres circuitos son todos equivalentes: (A) Un resistor a temperatura no cero, que tiene ruido de Johnson; (B) Un resistor sin ruido en serie con una fuente de tensión generadora de ruido (es decir, el circuito equivalente de Thévenin); (C) Una resistencia sin ruido en paralelo con una fuente de corriente generadora de ruido (es decir, el circuito equivalente de Norton).

El ruido Johnson-Nyquist (ruido térmico, ruido Johnson o ruido Nyquist) es el ruido electrónico generado por la agitación térmica de los portadores de carga (generalmente los electrones) dentro de un conductor eléctrico en equilibrio, lo que sucede independientemente de cualquier voltaje aplicado. El ruido térmico está presente en todos los circuitos eléctricos y en los equipos electrónicos sensibles (como los receptores de radio) puede ahogar las señales débiles y puede ser el factor limitante de la sensibilidad de los instrumentos de medición eléctrica. El ruido térmico aumenta con la temperatura. Algunos equipos electrónicos sensibles, como los receptores de radiotelescopios, se enfrían a temperaturas criogénicas para reducir el ruido térmico en sus circuitos. La derivación física estadística y genérica de este ruido se denomina teorema de disipación de fluctuación, donde se utiliza la impedancia generalizada o la susceptibilidad generalizada para caracterizar el medio.

El ruido térmico en una resistencia ideal es aproximadamente blanco, lo que significa que la densidad espectral de potencia es casi constante en todo el espectro de frecuencia, pero se reduce a cero a frecuencias extremadamente altas (terahercios para temperatura ambiente). Cuando se limita a un ancho de banda finito, el ruido térmico tiene una distribución de amplitud casi gaussiana.

Historia

Este tipo de ruido fue descubierto y medido por primera vez por John B. Johnson en Bell Labs en 1926. Describió sus hallazgos a Harry Nyquist, también en Bell Labs, quien pudo explicar los resultados.

Derivación

Como afirmó Nyquist en su artículo de 1928, la suma de la energía en los modos normales de oscilación eléctrica determinaría la amplitud del ruido. Nyquist utilizó la ley de equipartición de Boltzmann y Maxwell. Usando el concepto de energía potencial y osciladores armónicos de la ley de equipartición,

${displaystyle leftlangle Hrightrangle =k_{rm {B}}T}$

Donde ${displaystyle leftlangle Hrightrangle }$ es la densidad de potencia de ruido en (W/Hz), $k_{rm B}$ es la constante de Boltzmann y $T$ es la temperatura. Multiplicar la ecuación por ancho de banda da el resultado como poder de ruido.

${displaystyle N=k_{rm {B}}TDelta f}$

donde N es la potencia de ruido y Δf es el ancho de banda.

Potencia y tensión de ruido

El ruido térmico es distinto del ruido de disparo, que consiste en fluctuaciones de corriente adicionales que ocurren cuando se aplica un voltaje y comienza a fluir una corriente macroscópica. Para el caso general, la definición anterior se aplica a los portadores de carga en cualquier tipo de medio conductor (por ejemplo, iones en un electrolito), no solo a las resistencias. Puede ser modelado por una fuente de voltaje que representa el ruido de la resistencia no ideal en serie con una resistencia libre de ruido ideal.

La densidad espectral de potencia unilateral, o la variación de voltaje (cuadrado medio) por hercio de ancho de banda, viene dada por

{overline {v_{n}^{2}}}=4k_{text{B}}TR

donde k_B es la constante de Boltzmann en julios por kelvin, T es la temperatura absoluta de la resistencia en Kelvin, y R es el valor de la resistencia en ohmios (Ω). Usando esta ecuación para un cálculo rápido, a temperatura ambiente:

{sqrt {overline {v_{n}^{2}}}}=0.13{sqrt {R}}~mathrm {nV} /{sqrt {mathrm {Hz} }}.

Por ejemplo, una resistencia de 1 kΩ a una temperatura de 300 K tiene

{displaystyle {sqrt {overline {v_{n}^{2}}}}={sqrt {4cdot 1.38cdot 10^{-23}~mathrm {J} /mathrm {K} cdot 300~mathrm {K} cdot 1000~Omega }}=4.07cdot 10^{-9}~mathrm {V} /{sqrt {mathrm {Hz} }}.}

Para un ancho de banda dado, la raíz media cuadrado (RMS) del voltaje, $v_{n}$ , se da por

v_{n}={sqrt {overline {v_{n}^{2}}}}{sqrt {Delta f}}={sqrt {4k_{text{B}}TRDelta f}}

donde Δf es el ancho de banda en hercios sobre el que se mide el ruido. Para una resistencia de 1 kΩ a temperatura ambiente y un ancho de banda de 10 kHz, el voltaje de ruido RMS es de 400 nV. Una regla general útil para recordar es que 50 Ω a un ancho de banda de 1 Hz corresponden a 1 nV de ruido a temperatura ambiente.

Una resistencia en un cortocircuito disipa una potencia de ruido de

P={v_{n}^{2}}/R=4k_{text{B}},TDelta f.

El ruido generado en la resistencia puede transferirse al resto del circuito; la máxima transferencia de potencia de ruido ocurre con la adaptación de impedancia cuando la resistencia equivalente de Thévenin del circuito restante es igual a la resistencia generadora de ruido. En este caso cada una de las dos resistencias participantes disipa ruido tanto en sí misma como en la otra resistencia. Dado que solo la mitad del voltaje de la fuente cae en cualquiera de estas resistencias, la potencia de ruido resultante está dada por

P=k_{text{B}},TDelta f

donde P es la potencia de ruido térmico en vatios. Tenga en cuenta que esto es independiente de la resistencia generadora de ruido.

Corriente de ruido

La fuente de ruido también se puede modelar mediante una fuente de corriente en paralelo con la resistencia tomando el equivalente de Norton que corresponde simplemente a dividir por R. Esto da el valor cuadrático medio de la fuente actual como:

i_{n}={sqrt {{4k_{text{B}}TDelta f} over R}}.

Potencia de ruido en decibelios

La potencia de la señal a menudo se mide en dBm (decibelios relativos a 1 milivatio). A partir de la ecuación anterior, la potencia de ruido en una resistencia a temperatura ambiente, en dBm, es entonces:

{displaystyle P_{mathrm {dBm} }=10 log _{10}(k_{text{B}}TDelta f/1,{textrm {mW}}) {textrm {dBm}}.}

A temperatura ambiente (300 K) esto es aproximadamente

{displaystyle P_{mathrm {dBm} }=-173.8 {textrm {dBm}}+10 log _{10}(Delta f{text{ in Hz}}) {textrm {dB}}.}

Usando esta ecuación, la potencia de ruido para diferentes anchos de banda es fácil de calcular:

Ancho de banda $(Delta f)$	Potencia del ruido térmico a 300 K (dBm)	Notas
1 Hz	−174
10 Hz	−164
100 Hz	−154
1 kHz	−14-4
10 kHz	−134	Canal FM de radio de 2 vías
100 kHz	−124
180 kHz	−121.45	Un bloque de recursos LTE
200 kHz	−121	GSM channel
1 MHz	−114	Canal Bluetooth
2 MHz	−11-1	Canal GPS comercial
3.84 MHz	108−	UMTS channel
6 MHz	−106	Canal de televisión analógico
20 MHz	101−	Canal WLAN 802.11
40 MHz	98−	WLAN 802.11n 40 MHz canal
80 MHz	,95 - 95	WLAN 802.11ac 80 MHz canal
160 MHz	,92 - 92	WLAN 802.11ac 160 MHz canal
1 GHz	,84 - 84	UWB channel

Ruido térmico en condensadores

Los capacitores ideales, como dispositivos sin pérdidas, no tienen ruido térmico, pero como se usan comúnmente con resistencias en un circuito RC, la combinación tiene lo que se llama ruido kTC. El ancho de banda de ruido de un circuito RC es Δf = 1/(4RC). Cuando esto se sustituye en la ecuación de ruido térmico, el resultado tiene una forma inusualmente simple ya que el valor de la resistencia (R) desaparece de la ecuación. Esto se debe a que un R más alto reduce el ancho de banda tanto como aumenta el ruido.

La media cuadrática y el voltaje de ruido RMS generado en dicho filtro son:

{displaystyle {overline {v_{n}^{2}}}={4k_{text{B}}TR over 4RC}=k_{text{B}}T/C}

{displaystyle v_{n}={sqrt {4k_{text{B}}TR over 4RC}}={sqrt {k_{text{B}}T/C}}.}

La carga de ruido es la capacitancia multiplicada por el voltaje:

{displaystyle Q_{n}=Cv_{n}=C{sqrt {k_{text{B}}T/C}}={sqrt {k_{text{B}}TC}}}

{displaystyle {overline {Q_{n}^{2}}}=C^{2}{overline {v_{n}^{2}}}=C^{2}k_{text{B}}T/C=k_{text{B}}TC}

Este ruido de carga es el origen del término "kTC ruido".

Aunque es independiente del valor de la resistencia, el 100 % del ruido kTC surge en la resistencia. Por lo tanto, si la resistencia y el capacitor están a diferentes temperaturas, en el cálculo anterior se debe usar solo la temperatura de la resistencia.

Un caso extremo es el límite de ancho de banda cero llamado ruido de reinicio que queda en un capacitor al abrir un interruptor ideal. La resistencia es infinita, pero la fórmula aún se aplica; sin embargo, ahora el RMS debe interpretarse no como un promedio de tiempo, sino como un promedio de muchos de estos eventos de reinicio, ya que el voltaje es constante cuando el ancho de banda es cero. En este sentido, el ruido de Johnson de un circuito RC puede verse como inherente, un efecto de la distribución termodinámica del número de electrones en el capacitor, incluso sin la participación de una resistencia.

El ruido no es causado por el capacitor en sí, sino por las fluctuaciones termodinámicas de la cantidad de carga en el capacitor. Una vez que el capacitor se desconecta de un circuito conductor, la fluctuación termodinámica se congela en un valor aleatorio con desviación estándar como se indicó anteriormente. El ruido de reinicio de los sensores capacitivos suele ser una fuente de ruido limitante, por ejemplo, en los sensores de imagen.

Cualquier sistema en equilibrio térmico tiene variables de estado con una energía media de kT/2 por grado de libertad. Usando la fórmula para la energía en un capacitor (E = ½CV²), se puede ver que la energía de ruido promedio en un capacitor también es ½ C(kT/C) = kT/2. El ruido térmico en un condensador se puede derivar de esta relación, sin tener en cuenta la resistencia.

Noise of capacitors at 300 K
Concitación	${displaystyle {sqrt {k_{text{B}}T/C}}}$	${displaystyle {sqrt {k_{text{B}}TC}}}$	Electrones
1 fF	2 mV	2 aC	12,5 e⁻
10 fF	640 μV	6.4 aC	40 e⁻
100 fF	200 μV	20 aC	125 e⁻
1 pF	64 μV	64 aC	400 e⁻
10 pF	20 μV	200 aC	1250 e⁻
100 pF	6.4 μV	640 aC	4000 e⁻
1 NF	2 μV	2 fC	12500 e⁻

Formas generalizadas

El $4k_{text{B}}TR$ ruido de tensión descrito anteriormente es un caso especial para un componente puramente resistivo para bajas frecuencias. En general, el ruido eléctrico térmico sigue estando relacionado con la respuesta resistiva en muchos casos eléctricos más generalizados, como consecuencia del teorema de fluctuación-disipación. Debajo se observa una variedad de generalizaciones. Todas estas generalizaciones comparten una limitación común, que sólo se aplican en casos en que el componente eléctrico que se examina es puramente pasivo y lineal.

Impedancias reactivas

El papel original de Nyquist también proporcionó el ruido generalizado para componentes que tienen respuesta parcialmente reactiva, por ejemplo, fuentes que contienen condensadores o inductores. Tal componente puede describirse por una impedancia eléctrica compleja que depende de la frecuencia $Z(f)$ . La fórmula para la densidad espectral de potencia del voltaje de ruido de la serie es

S_{v_{n}v_{n}}(f)=4k_{text{B}}Teta (f)operatorname {Re} [Z(f)].

La función $eta (f)$ es simplemente igual a 1 excepto en frecuencias muy altas, o cerca de cero absoluto (ver abajo).

La parte real de la impedancia, $operatorname {Re} [Z(f)]$ , es en general dependiente de la frecuencia y por lo tanto el ruido Johnson-Nyquist no es ruido blanco. El voltaje de ruido rms sobre un lapso de frecuencias $f_{1}$ a $f_{2}$ se puede encontrar mediante la integración de la densidad espectral de potencia:

{sqrt {langle v_{n}^{2}rangle }}={sqrt {int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{v_{n}v_{n}}(f)df}}

Alternativamente, se puede usar una corriente de ruido paralelo para describir el ruido de Johnson, siendo su densidad espectral de potencia

S_{i_{n}i_{n}}(f)=4k_{text{B}}Teta (f)operatorname {Re} [Y(f)].

Donde $Y(f)=1/Z(f)$ es la admisión eléctrica; nota que $operatorname {Re} [Y(f)]=operatorname {Re} [Z(f)]/|Z(f)|^{2}$

Efectos cuánticos a altas frecuencias o bajas temperaturas

Nyquist también señaló que los efectos cuánticos ocurren para frecuencias muy altas o temperaturas muy bajas cerca de cero absoluto. La función $eta (f)$ es en general dado por

{displaystyle eta (f)={frac {hf/k_{text{B}}T}{e^{hf/k_{text{B}}T}-1}},}

Donde $h$ es constante de Planck y $eta (f)$ es un factor multiplicador.

En frecuencias muy altas $fgtrsim k_{text{B}}T/h$ , la función $eta (f)$ comienza a disminuir exponencialmente a cero. A temperatura ambiente esta transición ocurre en el terahertz, mucho más allá de las capacidades de la electrónica convencional, y por lo tanto es válido para establecer $eta (f)=1$ para el trabajo electrónico convencional.

Relación con la ley de Planck

La fórmula de Nyquist es esencialmente la misma que derivó Planck en 1901 para la radiación electromagnética de un cuerpo negro en una dimensión, es decir, es la versión unidimensional de la ley de radiación de cuerpo negro de Planck. En otras palabras, una resistencia caliente creará ondas electromagnéticas en una línea de transmisión al igual que un objeto caliente creará ondas electromagnéticas en el espacio libre.

En 1946, Dicke elaboró sobre la relación, y lo conectó más a propiedades de las antenas, en particular el hecho de que la abertura promedio de la antena sobre todas las direcciones diferentes no puede ser mayor que ${displaystyle lambda ^{2}/(4pi)}$ , donde λ es longitud de onda. Esto viene de la dependencia de frecuencia diferente de la ley 3D versus 1D Planck.

Redes eléctricas multipuerto

Richard Q. Twiss amplió las fórmulas de Nyquist a redes eléctricas pasivas multipuerto, incluidos dispositivos no recíprocos como circuladores y aisladores. El ruido térmico aparece en cada puerto y se puede describir como fuentes de voltaje en serie aleatorias en serie con cada puerto. Los voltajes aleatorios en diferentes puertos se pueden correlacionar, y sus amplitudes y correlaciones se describen completamente mediante un conjunto de funciones de densidad espectral cruzada que relacionan los diferentes voltajes de ruido.

S_{v_{m}v_{n}}(f)=2k_{text{B}}Teta (f)(Z_{mn}(f)+Z_{nm}(f)^{*})

Donde $Z_{{mn}}$ son los elementos de la matriz de impedancia $mathbf {Z}$ . Una vez más, una descripción alternativa del ruido es en cambio en términos de fuentes de corriente paralela aplicadas en cada puerto. Su densidad transversal es dada por

S_{i_{m}i_{n}}(f)=2k_{text{B}}Teta (f)(Y_{mn}(f)+Y_{nm}(f)^{*})

Donde $mathbf {Y} =mathbf {Z} ^{-1}$ es la matriz de admisión.

Medios electrodinámicos continuos

La generalización completa del ruido de Nyquist se encuentra en la electrodinámica de fluctuación, que describe la densidad de corriente de ruido dentro de medios continuos con respuesta disipativa en una función de respuesta continua, como la permitividad dieléctrica o la permeabilidad magnética. Las ecuaciones de la electrodinámica de fluctuación proporcionan un marco común para describir tanto el ruido de Johnson-Nyquist como la radiación de cuerpo negro en el espacio libre.

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