Rotaciones y reflexiones en dos dimensiones.

En la geometría euclidiana, las rotaciones y reflexiones bidimensionales son dos tipos de isometrías planas euclidianas que están relacionadas entre sí.

Proceso

Se puede formar una rotación en el plano componiendo un par de reflexiones. Primero refleja un punto P a su imagen P′ al otro lado de la línea L₁. Luego refleja P′ a su imagen P “ al otro lado de la línea L₂. Si las líneas L₁ y L ₂ forman un ángulo θ entre sí, luego apunta P y P′′ formarán un ángulo 2θ alrededor del punto O, la intersección de L₁ y L₂. Es decir, el ángulo ∠ POP′′ medirá 2θ.

Un par de rotaciones sobre el mismo punto O serán equivalentes a otra rotación sobre el punto O. En cambio, la composición de una reflexión y una rotación, o de una rotación y una reflexión (la composición no es conmutativa), equivaldrá a una reflexión.

Expresión matemática

Las afirmaciones anteriores se pueden expresar de forma más matemática. Sea una rotación alrededor del origen O por un ángulo θ se indicará como Rot(θ). Consideremos una reflexión sobre una recta L que pasa por el origen y forma un ángulo θ con el eje x se indicará como Ref(θ). Dejemos que estas rotaciones y reflexiones operen en todos los puntos del plano y que estos puntos estén representados por vectores de posición. Entonces una rotación se puede representar como una matriz,

$${displaystyle operatorname {Rot} (theta)={begin{bmatrix}cos theta &-sin theta \sin theta &cos thetaend{bmatrix}}}}}$$

y también para una reflexión,

$${displaystyle operatorname {Ref} (theta)={begin{bmatrix}cos 2theta &sin 2theta\\\\ssin 2theta.$$

Con estas definiciones de rotación y reflexión de coordenadas, se mantienen las siguientes cuatro identidades:

$${displaystyle {begin{aligned}operatorname {Rot} (theta),fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}(theta +phi),[4pt]operatorname [Ref} (theta),operatorname {Ref} (phi) Pulse=operatorname {Rot} (2theta -2phi),\[2pt]operatorname {Rot}theta),operatorname {Ref} (phi) Pulse= {Ref} (phi +{tfrac {1}{2}theta),[2pt]operatorname [Ref} (phi),operatorname {Rot} (theta) {Ref} (phi -{tfrac {2}theta)end{aligned}}}$$

Prueba

Estas ecuaciones se pueden demostrar mediante la sencilla multiplicación de matrices y la aplicación de identidades trigonométricas, específicamente las identidades de suma y diferencia.

El conjunto de todas las reflexiones en líneas que pasan por el origen y las rotaciones alrededor del origen, junto con la operación de composición de las reflexiones y rotaciones, forma un grupo. El grupo tiene una identidad: Rot(0). Cada rotación Rot(φ) tiene una Rot(−φ). Cada reflexión Ref(θ) es su propia inversa. La composición tiene cierre y es asociativa, ya que la multiplicación de matrices es asociativa.

Observe que tanto Ref(θ) como Rot(θ)< /span> se han representado con matrices ortogonales. Todas estas matrices tienen un determinante cuyo valor absoluto es la unidad. Las matrices de rotación tienen un determinante de +1 y las matrices de reflexión tienen un determinante de −1.

El conjunto de todas las matrices bidimensionales ortogonales junto con la multiplicación de matrices forman el grupo ortogonal: O(2).

La siguiente tabla proporciona ejemplos de matriz de rotación y reflexión: