Rotación incorrecta

Ejemplo de polihedra con simetría de rotoreflexión

Grupo	S4	S6	S8	S10	S12
Subgrupos	C2	C3, S2 = Ci	C4, C2	C5, S2 = Ci	C6, S4, C3, C2
Ejemplo	antiprisma digonal bevelado	antiprisma triangular	antiprisma cuadrado	antiprismos pentagonal	antiprismos hexagonal
Los antiprismos con bordes dirigidos tienen simetría de rotoreflexión. p-antiprismos para extraños p contener la simetría de la inversión, Ci.

En geometría, una rotación incorrecta, también llamada rotación-reflexión, rotorreflexión reflexión rotatoria, o La rotoinversión es una isometría en el espacio euclidiano que es una combinación de una rotación sobre un eje y una reflexión en un plano perpendicular a ese eje. La reflexión y la inversión son casos especiales de rotación impropia. Cualquier rotación impropia es una transformación afín y, en los casos que mantienen fijo el origen de coordenadas, una transformación lineal. Se utiliza como una operación de simetría en el contexto de la simetría geométrica, la simetría molecular y la cristalografía, donde se dice que un objeto que no cambia debido a una combinación de rotación y reflexión tiene simetría de rotación incorrecta.

Tres dimensiones

En 3 dimensiones, la rotación impropia se define de manera equivalente como una combinación de rotación alrededor de un eje e inversión en un punto del eje. Por este motivo también se denomina rotoinversión o inversión rotatoria. Las dos definiciones son equivalentes porque la rotación en un ángulo θ seguida de reflexión es la misma transformación que la rotación en θ + 180° seguida de inversión (considerando que el punto de inversión está en el plano de reflexión). En ambas definiciones, las operaciones conmutan.

Una simetría tridimensional que tiene un solo punto fijo es necesariamente una rotación impropia.

Una rotación incorrecta de un objeto produce una rotación de su imagen especular. El eje se denomina eje de rotación-reflexión. Esto se llama una rotación impropia de n veces si el ángulo de rotación, antes o después de la reflexión, es de 360°/n (donde n debe ser par). Hay varios sistemas diferentes para nombrar rotaciones impropias individuales:

• En la notación Schoenflies el símbolo S_n (German, Spiegel, para espejo), donde n debe ser incluso, denota el grupo de simetría generado por un n- rotación impropia. Por ejemplo, la operación de simetría S₆ es la combinación de una rotación de (360°/6)=60° y un reflejo de plano espejo. (Esto no debe confundirse con la misma notación para grupos simétricos).
• En la notación Hermann-Mauguin el símbolo n se utiliza para un n- rotoinversión múltiple; es decir, rotación por un ángulo de rotación de 360°/n con inversión. Si n es incluso debe ser divisible por 4. (Nota eso) 2 sería simplemente un reflejo, y es normalmente denotado "m", para "mirror".) Cuando n es extraño que esto corresponda a un 2n- rotación impropia (o reflexión rotativa).
• La notación de Coxeter para S_2n [2]n⁺,2⁺] y , como índice 4 subgrupo de [2]n,2], , generado como el producto de 3 reflexiones.
• La notación Orbifold es n×, orden 2n.
  

  Subgrupos para S₂ a S₂₀.
  C₁ es el grupo de identidad.
  S₂ es la inversión central.
  C_n son grupos cíclicos.

Subgrupos

• El subgrupo directo S_2n es C_n, orden n, índice 2, siendo el generador de rotorreflexión aplicado dos veces.
• Para extraño n, S_2n contiene una inversión, denotada C_i o S₂. S_2n es el producto directo: S_2n = C_n×S₂, si n Es extraño.
• Para cualquier n, si es extraño p es un divisor de n, entonces S_2n/p es un subgrupo S_2n, índice p. Por ejemplo S₄ es un subgrupo S₁₂, índice 3.

Como isometría indirecta

En un sentido más amplio, una rotación impropia puede definirse como cualquier isometría indirecta; es decir, un elemento de E(3)E⁺(3): por lo tanto, también puede ser un reflejo puro en un plano, o tener un plano de deslizamiento. Una isometría indirecta es una transformación afín con una matriz ortogonal que tiene un determinante de −1.

Una rotación adecuada es una rotación ordinaria. En un sentido más amplio, una rotación propia se define como una isometría directa; es decir, un elemento de E⁺(3): también puede ser la identidad, una rotación con una traslación a lo largo del eje, o una traslación pura. Una isometría directa es una transformación afín con una matriz ortogonal que tiene un determinante de 1.

Ya sea en el sentido más estricto o más amplio, la composición de dos rotaciones impropias es una rotación propia, y la composición de una rotación impropia y una propia es una rotación impropia.

Sistemas físicos

Al estudiar la simetría de un sistema físico bajo una rotación impropia (por ejemplo, si un sistema tiene un plano de simetría especular), es importante distinguir entre vectores y pseudovectores (así como escalares y pseudoescalares, y en general entre tensores y pseudotensores), ya que estos últimos se transforman de manera diferente bajo rotaciones propias e impropias (en 3 dimensiones, los pseudovectores son invariantes bajo inversión).