Rotación alrededor de un eje fijo.

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Tipo de movimiento

Esfera girando alrededor de uno de sus diámetros

Rotación alrededor de un eje fijo o rotación axial es un caso especial de movimiento de rotación alrededor de un eje de rotación fijo, estacionario o estático. en el espacio tridimensional. Este tipo de movimiento excluye la posibilidad de que el eje de rotación instantáneo cambie su orientación y no puede describir fenómenos como el bamboleo o la precesión. Según el teorema de rotación de Euler, la rotación simultánea a lo largo de varios ejes estacionarios al mismo tiempo es imposible; si se fuerzan dos rotaciones al mismo tiempo, resultará un nuevo eje de rotación.

Este concepto supone que la rotación también es estable, de modo que no se requiere torsión para mantenerla en marcha. La cinemática y dinámica de rotación alrededor de un eje fijo de un cuerpo rígido son matemáticamente mucho más simples que las de la rotación libre de un cuerpo rígido; son completamente análogos a los del movimiento lineal a lo largo de una única dirección fija, lo que no es cierto para la rotación libre de un cuerpo rígido. Las expresiones para la energía cinética del objeto y para las fuerzas sobre las partes del objeto también son más simples para la rotación alrededor de un eje fijo que para el movimiento de rotación general. Por estas razones, la rotación alrededor de un eje fijo generalmente se enseña en cursos de introducción a la física después de que los estudiantes dominan el movimiento lineal; La generalidad completa del movimiento de rotación no suele enseñarse en las clases de introducción a la física.

Traslación y rotación

Un cuerpo rígido es un objeto de extensión finita en el que todas las distancias entre las partículas que lo componen son constantes. No existe ningún cuerpo verdaderamente rígido; Las fuerzas externas pueden deformar cualquier sólido. Entonces, para nuestros propósitos, un cuerpo rígido es un sólido que requiere grandes fuerzas para deformarlo apreciablemente.

Un cambio en la posición de una partícula en el espacio tridimensional se puede especificar completamente mediante tres coordenadas. Un cambio en la posición de un cuerpo rígido es más complicado de describir. Puede considerarse como una combinación de dos tipos distintos de movimiento: movimiento de traslación y movimiento circular.

El movimiento puramente de traslación ocurre cuando cada partícula del cuerpo tiene la misma velocidad instantánea que cualquier otra partícula; entonces el camino recorrido por cualquier partícula es exactamente paralelo al camino recorrido por todas las demás partículas del cuerpo. Bajo movimiento de traslación, el cambio en la posición de un cuerpo rígido se especifica completamente mediante tres coordenadas como x, y y z, lo que da la Desplazamiento de cualquier punto, como el centro de masa, fijado al cuerpo rígido.

El movimiento de rotación puro ocurre si cada partícula del cuerpo se mueve en círculo alrededor de una sola línea. Esta línea se llama eje de rotación. Entonces los vectores de radio desde el eje hasta todas las partículas experimentan el mismo desplazamiento angular al mismo tiempo. No es necesario que el eje de rotación atraviese el cuerpo. En general, cualquier rotación puede especificarse completamente mediante los tres desplazamientos angulares con respecto a los ejes de coordenadas rectangulares x, y y z. Por tanto, cualquier cambio en la posición del cuerpo rígido se describe completamente mediante tres coordenadas de traslación y tres de rotación.

Se puede llegar a cualquier desplazamiento de un cuerpo rígido sometiendo primero el cuerpo a un desplazamiento seguido de una rotación, o por el contrario, a una rotación seguida de un desplazamiento. Ya sabemos que para cualquier conjunto de partículas, ya sea en reposo unas con respecto a otras, como en un cuerpo rígido, o en movimiento relativo, como los fragmentos explosivos de un proyectil, la aceleración del centro de masa está dada por

{displaystyle F_{mathrm {net} }=Ma_{mathrm {cm} }}

Ma_cmmovimiento de rotación alrededor de un solo eje

Cinemática

Desplazamiento angular

Dada una partícula que se mueve a lo largo de la circunferencia de un círculo de radio ${displaystyle r}$ , habiendo movido una longitud de arco ${displaystyle s}$ , su posición angular es ${displaystyle theta }$ relativa a su posición inicial, donde ${displaystyle theta ={frac {s}{r}}}$ .

En matemáticas y física es convencional tratar el radian, una unidad de ángulo plano, como 1, omitiéndolo a menudo. Las unidades se convierten de la siguiente manera:

{displaystyle 360^{circ }=2pi {text{ rad}},,quad 1{text{ rad}}={frac {180^{circ }}{pi }}approx 57.27^{circ }.}

Un desplazamiento angular es un cambio en la posición angular:

{displaystyle Delta theta =theta _{2}-theta _{1},}

{displaystyle Delta theta }

{displaystyle theta _{1}}

{displaystyle theta _{2}}

Velocidad angular

El cambio en el desplazamiento angular por unidad de tiempo se llama velocidad angular con dirección a lo largo del eje de rotación. El símbolo de velocidad angular es ${displaystyle omega }$ y las unidades son típicamente rad s⁻¹. La velocidad angular es la magnitud de la velocidad angular.

{displaystyle {overline {omega }}={frac {Delta theta }{Delta t}}={frac {theta _{2}-theta _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.}

La velocidad angular instantánea está dada por

{displaystyle omega (t)={frac {dtheta }{dt}}.}

Usar la fórmula para la posición angular y dejar ${displaystyle v={frac {ds}{dt}}}$ , también tenemos

{displaystyle omega ={frac {dtheta }{dt}}={frac {v}{r}},}

{displaystyle v}

La velocidad angular y la frecuencia están relacionadas por

{displaystyle omega ={2pi f},.}

Aceleración angular

Una velocidad angular cambiante indica la presencia de una aceleración angular en el cuerpo rígido, típicamente medida en la rad s⁻². La aceleración angular promedio ${displaystyle {overline {alpha }}}$ sobre un intervalo de tiempo Δt es dado por

{displaystyle {overline {alpha }}={frac {Delta omega }{Delta t}}={frac {omega _{2}-omega _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.}

La aceleración instantánea α(t) viene dada por

{displaystyle alpha (t)={frac {domega }{dt}}={frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}.}

Por lo tanto, la aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular, así como la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad.

La aceleración de traslación de un punto sobre el objeto que gira está dada por

{displaystyle a=ralpha}

La aceleración radial (perpendicular a la dirección del movimiento) está dada por

{displaystyle a_{mathrm {R} }={frac {v^{2}}{r}}=omega ^{2}r,.}

aceleración centrípeta

La aceleración angular es causada por el par, que puede tener un valor positivo o negativo de acuerdo con la convención de frecuencia angular positiva y negativa. La relación entre torque y aceleración angular (cuán difícil es comenzar, detener o cambiar la rotación) se da por el momento de la inercia: ${displaystyle T=Ialpha }$ .

Ecuaciones de cinemática

Cuando la aceleración angular es constante, las cinco cantidades de desplazamiento angular ${displaystyle theta }$ , velocidad angular inicial ${displaystyle omega _{1}}$ , velocidad angular final ${displaystyle omega _{2}}$ , aceleración angular ${displaystyle alpha }$ , y tiempo ${displaystyle t}$ puede estar relacionado por cuatro ecuaciones de cinemática:

{displaystyle {begin{aligned}omega _{2}&=omega _{1}+alpha t\theta &=omega _{1}t+{tfrac {1}{2}}alpha t^{2}\omega _{2}^{2}&=omega _{1}^{2}+2alpha theta \theta &={tfrac {1}{2}}left(omega _{2}+omega _{1}right)tend{aligned}}}

Dinámica

Momento de inercia

El momento de la inercia de un objeto, simbolizado por ${displaystyle I}$ , es una medida de la resistencia del objeto a los cambios en su rotación. El momento de la inercia se mide en kilogram metre2 (kg m²). Depende de la masa del objeto: aumentar la masa de un objeto aumenta el momento de la inercia. También depende de la distribución de la masa: distribuir la masa más lejos del centro de rotación aumenta el momento de la inercia por un grado mayor. Para una sola partícula de masa ${displaystyle m}$ a distancia ${displaystyle r}$ desde el eje de la rotación, el momento de la inercia es dado por

{displaystyle I=mr^{2}.}

Par

Torque ${displaystyle {boldsymbol {tau }}}$ es el efecto retorcido de una fuerza F aplicado a un objeto giratorio que está en posición r de su eje de rotación. Matemáticamente,

{displaystyle {boldsymbol {tau }}=mathbf {r} times mathbf {F}}

{displaystyle {boldsymbol {tau }}=I{boldsymbol {alpha }},}

Fma

El trabajo realizado por un par que actúa sobre un objeto es igual a la magnitud del par multiplicado por el ángulo a través del cual se aplica el par:

{displaystyle W=tau theta.}

La potencia de un par es igual al trabajo realizado por el par por unidad de tiempo, por lo tanto:

{displaystyle P=tau omega.}

Momento angular

El impulso angular ${displaystyle mathbf {L} }$ es una medida de la dificultad de traer un objeto giratorio para descansar. Es dado por

{displaystyle mathbf {L} =sum mathbf {r} times mathbf {p}}

El momento angular es el producto del momento de inercia y la velocidad angular:

{displaystyle mathbf {L} =I{boldsymbol {omega }},}

pmv

El análogo del momento lineal en el movimiento de rotación es el momento angular. Cuanto mayor es el momento angular de un objeto que gira, como una peonza, mayor es su tendencia a seguir girando.

El momento angular de un cuerpo en rotación es proporcional a su masa y a la rapidez con la que gira. Además, el momento angular depende de cómo se distribuye la masa con respecto al eje de rotación: cuanto más lejos esté la masa del eje de rotación, mayor será el momento angular. Un disco plano, como un tocadiscos, tiene menos momento angular que un cilindro hueco de la misma masa y velocidad de rotación.

Al igual que el momento lineal, el momento angular es una cantidad vectorial y su conservación implica que la dirección del eje de giro tiende a permanecer sin cambios. Por esta razón, la peonza permanece erguida, mientras que la que está parada se cae inmediatamente.

La ecuación del momento angular se puede utilizar para relacionar el momento de la fuerza resultante sobre un cuerpo alrededor de un eje (a veces llamado torque) y la velocidad de rotación alrededor de ese eje.

El par y el momento angular están relacionados según

{displaystyle {boldsymbol {tau }}={frac {dmathbf {L} }{dt}},}

Fdp♪

Energía cinética

La energía cinética ${displaystyle K_{text{rot}}}$ debido a la rotación del cuerpo es dada por

{displaystyle K_{text{rot}}={frac {1}{2}}Iomega ^{2},}

{displaystyle K_{text{trans}}={tfrac {1}{2}}mv^{2}}

La energía cinética es la energía del movimiento. La cantidad de energía cinética traduccional encontrada en dos variables: la masa del objeto ( ${displaystyle m}$ ) y la velocidad del objeto ( ${displaystyle v}$ ) como se muestra en la ecuación anterior. La energía cinética siempre debe ser cero o un valor positivo. Aunque la velocidad puede tener un valor positivo o negativo, la velocidad cuadrada siempre será positiva.

Expresión vectorial

El desarrollo anterior es un caso especial de movimiento de rotación general. En el caso general, el desplazamiento angular, la velocidad angular, la aceleración angular y el par se consideran vectores.

Un desplazamiento angular se considera un vector, señalando el eje, de magnitud igual a la de ${displaystyle Delta theta }$ . Una regla de la mano derecha se utiliza para encontrar de qué manera apunta a lo largo del eje; si los dedos de la mano derecha se curvan para apuntar en la forma en que el objeto ha girado, entonces el pulgar de la mano derecha apunta en la dirección del vector.

El vector de velocidad angular también apunta a lo largo del eje de rotación de la misma manera que los desplazamientos angulares que provoca. Si un disco gira en sentido antihorario visto desde arriba, su vector de velocidad angular apunta hacia arriba. De manera similar, el vector de aceleración angular apunta a lo largo del eje de rotación en la misma dirección que apuntaría la velocidad angular si la aceleración angular se mantuviera durante mucho tiempo.

El vector de torsión apunta a lo largo del eje alrededor del cual la torsión tiende a causar rotación. Para mantener la rotación alrededor de un eje fijo, el vector de torsión total tiene que estar a lo largo del eje, de modo que solo cambie la magnitud y no la dirección del vector de velocidad angular. En el caso de una bisagra, sólo la componente del vector de par a lo largo del eje influye en la rotación, otras fuerzas y pares son compensados por la estructura.

Representación matemática

En matemáticas, la representación del eje-ángulo parametiza una rotación en un espacio euclidiano tridimensional por dos cantidades: un vector de unidad $e$ indicando la dirección (geometría) de un eje de rotación, y un ángulo de rotación $Silencio$ describiendo la magnitud y el sentido (por ejemplo, en sentido de reloj) de la rotación sobre el eje. Sólo se necesitan dos números, no tres, para definir la dirección de un vector unitario $e$ rooted at the origin because the magnitude of $e$ está limitado. Por ejemplo, los ángulos de elevación y azimut de $e$ suficiente para localizarlo en cualquier marco de coordenadas cartesiana en particular.

Por la fórmula de rotación de Rodrigues, el ángulo y el eje determinan una transformación que rota vectores tridimensionales. La rotación ocurre en el sentido prescrito por la regla de la mano derecha.

El eje de rotación se llama a veces el eje Euler. La representación del eje-ángulo se basa en el teorema de rotación de Euler, que dicta que cualquier rotación o secuencia de rotaciones de un cuerpo rígido en un espacio tridimensional es equivalente a una rotación pura sobre un solo eje fijo.

Es uno de muchos formalismos de rotación en tres dimensiones.

Ejemplos y aplicaciones

Velocidad angular constante

El caso más simple de rotación alrededor de un eje fijo es el de velocidad angular constante. Entonces el par total es cero. En el ejemplo de la Tierra que gira alrededor de su eje, hay muy poca fricción. En el caso de un ventilador, el motor aplica un par para compensar la fricción. Al igual que el ventilador, los equipos que se encuentran en la industria manufacturera de producción en masa demuestran de manera efectiva la rotación alrededor de un eje fijo. Por ejemplo, se utiliza un torno multihusillo para rotar el material sobre su eje para aumentar efectivamente la productividad de las operaciones de corte, deformación y torneado. El ángulo de rotación es una función lineal del tiempo, cuyo módulo 360° es una función periódica.

Un ejemplo de esto es el problema de dos cuerpos con órbitas circulares.

Fuerza centrípeta

La tensión de tracción interna proporciona la fuerza centrípeta que mantiene unido un objeto que gira. Un modelo de cuerpo rígido ignora la deformación que lo acompaña. Si el cuerpo no es rígido, esta tensión hará que cambie de forma. Esto se expresa como el objeto que cambia de forma debido a la "fuerza centrífuga".

Los cuerpos celestes que giran entre sí suelen tener órbitas elípticas. El caso especial de las órbitas circulares es un ejemplo de rotación alrededor de un eje fijo: este eje es la línea que pasa por el centro de masa perpendicular al plano de movimiento. La fuerza centrípeta la proporciona la gravedad; consulte también el problema de los dos cuerpos. Por lo general, esto también se aplica a un cuerpo celeste que gira, por lo que no es necesario que sea sólido para mantenerse unido a menos que la velocidad angular sea demasiado alta en relación con su densidad. (Sin embargo, tenderá a volverse achatado.) Por ejemplo, un cuerpo celeste de agua que gira debe tardar al menos 3 horas y 18 minutos en girar, independientemente del tamaño, o el agua se separará. Si la densidad del fluido es mayor el tiempo puede ser menor. Ver período orbital.

Plano de rotación

En geometría, un plano de rotación es un objeto abstracto utilizado para describir o visualizar rotaciones en el espacio.

El uso principal para los planos de rotación es describir rotaciones más complejas en el espacio cuatridimensional y dimensiones superiores, donde se pueden utilizar para romper las rotaciones en partes más simples. Esto se puede hacer utilizando álgebra geométrica, con los planos de rotaciones asociados con simples bivectores en el álgebra.

Los planos de rotación no se utilizan mucho en dos y tres dimensiones, ya que en dos dimensiones sólo hay un plano (por lo tanto, identificar el plano de rotación es trivial y raramente hecho), mientras que en tres dimensiones el eje de rotación sirve el mismo propósito y es el enfoque más establecido.

Matemáticamente tales planos pueden describirse de varias maneras. Pueden describirse en términos de planos y ángulos de rotación. Pueden estar asociados con bivectores de álgebra geométrica. Están relacionados con los eigenvalues y eigenvectores de una matriz de rotación. Y en particular dimensiones están relacionadas con otras propiedades algebraicas y geométricas, que pueden ser generalizadas a otras dimensiones.

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