Rotación

Una esfera giratoria (spinning) sobre un eje

Rotación, o giro, es el movimiento circular de un objeto alrededor de un eje central. Un objeto giratorio bidimensional tiene solo un eje central posible y puede girar en sentido horario o antihorario. Un objeto tridimensional tiene un número infinito de posibles ejes centrales y direcciones de rotación.

Si el eje de rotación pasa internamente por el propio centro de masa del cuerpo, entonces se dice que el cuerpo autorota o gira, y la intersección de la superficie del eje se puede llamar un polo. Una rotación alrededor de un eje completamente externo, p. el planeta Tierra alrededor del Sol, se denomina giratorio o orbitante, normalmente cuando es producido por la gravedad, y los extremos del eje de rotación pueden denominarse orbital polos.

Matemáticas

Rotación (desplazamiento triangular) de una figura plano alrededor de un punto

Orbito rotativo v Spin

Relaciones entre eje de rotación, plano de órbita y inclinación axial (para la Tierra).

Matemáticamente, una rotación es un movimiento de cuerpo rígido que, a diferencia de una traslación, mantiene un punto fijo. Esta definición se aplica a las rotaciones en dos y tres dimensiones (en un plano y en el espacio, respectivamente).

Todos los movimientos de cuerpos rígidos son rotaciones, traslaciones o combinaciones de los dos.

Una rotación es simplemente una orientación radial progresiva hacia un punto común. Ese punto común se encuentra dentro del eje de ese movimiento. El eje es de 90 grados perpendicular al plano del movimiento.

Si una rotación alrededor de un punto o eje es seguida por una segunda rotación alrededor del mismo punto/eje, resulta una tercera rotación. El reverso (inverso) de una rotación también es una rotación. Así, las rotaciones alrededor de un punto/eje forman un grupo. Sin embargo, una rotación alrededor de un punto o eje y una rotación alrededor de un punto/eje diferente puede resultar en algo diferente a una rotación, p. una traduccion.

Las rotaciones alrededor de los ejes x, y y z se denominan rotaciones principales. La rotación alrededor de cualquier eje se puede realizar tomando una rotación alrededor del eje x, seguida de una rotación alrededor del eje y, y seguida de una rotación alrededor del eje z eje. Es decir, cualquier rotación espacial se puede descomponer en una combinación de rotaciones principales.

En la dinámica de vuelo, las rotaciones principales se conocen como guiñada, cabeceo y balanceo (conocidos como ángulos de Tait-Bryan). Esta terminología también se utiliza en gráficos por computadora.

Astronomía

Senderos estelares causados por la rotación de la Tierra durante el largo tiempo de exposición de la cámara.

En astronomía, la rotación es un fenómeno comúnmente observado. Las estrellas, los planetas y cuerpos similares giran sobre sus ejes. La tasa de rotación de los planetas en el sistema solar se midió primero mediante el seguimiento de características visuales. La rotación estelar se mide a través del desplazamiento Doppler o mediante el seguimiento de las características de la superficie activa.

Esta rotación induce una aceleración centrífuga en el marco de referencia de la Tierra que contrarresta levemente el efecto de la gravitación cuanto más cerca se está del ecuador. La gravedad de la Tierra combina ambos efectos de masa, de modo que un objeto pesa un poco menos en el ecuador que en los polos. Otra es que, con el tiempo, la Tierra se deforma ligeramente hasta convertirse en un esferoide achatado; se desarrolla una protuberancia ecuatorial similar para otros planetas.

Otra consecuencia de la rotación de un planeta es el fenómeno de la precesión. Como un giroscopio, el efecto general es un ligero "bamboleo" en el movimiento del eje de un planeta. Actualmente, la inclinación del eje de la Tierra con respecto a su plano orbital (oblicuidad de la eclíptica) es de 23,44 grados, pero este ángulo cambia lentamente (a lo largo de miles de años). (Véase también Precesión de los equinoccios y Estrella polar).

Revolución

Si bien la revolución se usa a menudo como sinónimo de rotación, en muchos campos, particularmente en astronomía y campos relacionados, la revolución, a menudo denominada revolución orbital para mayor claridad, se usa cuando un cuerpo se mueve alrededor de otro, mientras que la rotación se usa para referirse a la movimiento alrededor de un eje. Las lunas giran alrededor de su planeta, los planetas giran alrededor de su estrella (como la Tierra alrededor del Sol); y las estrellas giran lentamente alrededor de su centro galáctico. El movimiento de los componentes de las galaxias es complejo, pero normalmente incluye un componente de rotación.

Rotación retrógrada

La mayoría de los planetas del Sistema Solar, incluida la Tierra, giran en la misma dirección en que orbitan alrededor del Sol. Las excepciones son Venus y Urano. Se puede pensar que Venus gira lentamente hacia atrás (o que está "al revés"). Urano gira casi de lado con respecto a su órbita. La especulación actual es que Urano comenzó con una orientación progrado típica y fue golpeado de lado por un gran impacto al principio de su historia. El planeta enano Plutón (anteriormente considerado un planeta) es anómalo de varias maneras, incluido que también gira de lado.

Física

La velocidad de rotación viene dada por la frecuencia angular (rad/s) o frecuencia (vueltas por tiempo), o período (segundos, días, etc.). La tasa de tiempo de cambio de la frecuencia angular es la aceleración angular (rad/s²), causada por el par. La relación de los dos (cuán pesado es para arrancar, parar o cambiar de otro modo la rotación) viene dada por el momento de inercia.

El vector de velocidad angular (un vector axial) también describe la dirección del eje de rotación. De manera similar, el par es un vector axial.

La física de la rotación alrededor de un eje fijo se describe matemáticamente con la representación eje-ángulo de las rotaciones. De acuerdo con la regla de la mano derecha, la dirección que se aleja del observador está asociada con la rotación en el sentido de las agujas del reloj y la dirección hacia el observador con la rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj, como un tornillo.

Principio cosmológico

Actualmente se cree que las leyes de la física son invariantes bajo cualquier rotación fija. (Aunque parecen cambiar cuando se ven desde un punto de vista giratorio: ver marco de referencia giratorio).

En la cosmología física moderna, el principio cosmológico es la noción de que la distribución de la materia en el universo es homogénea e isotrópica cuando se ve en una escala lo suficientemente grande, ya que se espera que las fuerzas actúen de manera uniforme en todo el universo y no tengan una dirección preferida., y, por lo tanto, no debería producir irregularidades observables en la estructuración a gran escala en el curso de la evolución del campo de materia que fue establecido inicialmente por el Big Bang.

En particular, para un sistema que se comporta igual independientemente de cómo esté orientado en el espacio, su Lagrangiano es rotacionalmente invariante. De acuerdo con el teorema de Noether, si la acción (la integral en el tiempo de su Lagrangiano) de un sistema físico es invariante bajo rotación, entonces se conserva el momento angular.

Rotaciones de Euler

Rotación de Euler de la Tierra. Intrínseco (verde), Precesión (azul) y Nutación (rojo)

Las rotaciones de Euler proporcionan una descripción alternativa de una rotación. Es una composición de tres rotaciones definida como el movimiento obtenido al cambiar uno de los ángulos de Euler dejando los otros dos constantes. Las rotaciones de Euler nunca se expresan en términos del marco externo, o en términos del marco del cuerpo rotado en movimiento conjunto, sino en una mezcla. Constituyen un sistema mixto de ejes de rotación, donde el primer ángulo mueve la línea de nodos alrededor del eje externo z, el segundo gira alrededor de la línea de nodos y el tercero es una rotación intrínseca alrededor de un eje fijo en el cuerpo que se mueve.

Estas rotaciones se denominan precesión, nutación y rotación intrínseca.

Dinámica de vuelo

Los ejes principales de rotación en el espacio

En la dinámica de vuelo, las principales rotaciones descritas con los ángulos de Euler anteriores se conocen como cabeceo, balanceo y guiñada. El término rotación también se usa en aviación para referirse al cabeceo ascendente (el morro se mueve hacia arriba) de una aeronave, particularmente cuando comienza el ascenso después del despegue.

Las rotaciones principales tienen la ventaja de modelar una serie de sistemas físicos, como cardanes y joysticks, por lo que se visualizan fácilmente y son una forma muy compacta de almacenar una rotación. Pero son difíciles de usar en los cálculos, ya que incluso las operaciones simples, como combinar rotaciones, son costosas y sufren una forma de bloqueo de cardán en el que los ángulos no se pueden calcular de manera única para ciertas rotaciones.

Atracciones mecánicas

Muchas atracciones ofrecen rotación. Una rueda de la fortuna tiene un eje central horizontal y ejes paralelos para cada góndola, donde la rotación es opuesta, por gravedad o mecánicamente. Como resultado, en cualquier momento la orientación de la góndola es vertical (no girada), simplemente trasladada. La punta del vector de traslación describe un círculo. Un carrusel proporciona rotación sobre un eje vertical. Muchas atracciones ofrecen una combinación de rotaciones sobre varios ejes. En Chair-O-Planes la rotación sobre el eje vertical se proporciona mecánicamente, mientras que la rotación sobre el eje horizontal se debe a la fuerza centrípeta. En las inversiones de montaña rusa, la rotación sobre el eje horizontal es uno o más ciclos completos, donde la inercia mantiene a las personas en sus asientos.

Deportes

La rotación de una pelota u otro objeto, generalmente llamada spin, juega un papel en muchos deportes, incluidos topspin y backspin en tenis, English, follow< /i> y dibujar en billar y pool, bolas curvas en béisbol, bolos giratorios en cricket, deportes de disco volador, etc. Las paletas de tenis de mesa se fabrican con diferentes características de superficie para permitir que el jugador imparta una mayor o menor cantidad de giro a la pelota.

La rotación de un jugador una o más veces alrededor de un eje vertical puede llamarse giro en patinaje artístico, giro (del bastón o del ejecutante) en el giro del bastón, o 360, 540, 720, etc. en snowboard, etc. La rotación de un jugador o ejecutante una o más veces alrededor de un eje horizontal puede llamarse flip, roll, voltereta, heli, etc. en gimnasia, esquí acuático o muchos otros deportes, o one-and-a-half, dos y medio, ganador (comenzando de espaldas al agua), etc. en clavados, etc. Una combinación de rotación vertical y horizontal (back flip con 360°) se llama möbius en saltos de estilo libre de esquí acuático.

La rotación de un jugador alrededor de un eje vertical, generalmente entre 180 y 360 grados, puede denominarse movimiento de giro y se usa como una maniobra engañosa o de evasión, o en un intento de jugar, pasar, recibir una pelota o un disco, etc., o permitir que un jugador vea la portería o a otros jugadores. Se ve a menudo en hockey, baloncesto, fútbol de varios códigos, tenis, etc.

Eje fijo vs punto fijo

El resultado final de cualquier secuencia de rotaciones de cualquier objeto en 3D sobre un punto fijo es siempre equivalente a una rotación sobre un eje. Sin embargo, un objeto puede rotar físicamente en 3D alrededor de un punto fijo en más de un eje simultáneamente, en cuyo caso no hay un solo eje fijo de rotación, solo el punto fijo. Sin embargo, estas dos descripciones se pueden conciliar: dicho movimiento físico siempre se puede volver a describir en términos de un solo eje de rotación, siempre que se permita que la orientación de ese eje en relación con el objeto cambie momento a momento.

Eje de rotaciones bidimensionales

Las rotaciones bidimensionales, a diferencia de las tridimensionales, no poseen eje de rotación. Esto es equivalente, para transformaciones lineales, a decir que no hay dirección en el plano que se mantenga sin cambios por una rotación bidimensional, excepto, por supuesto, la identidad.

La cuestión de la existencia de tal dirección es la cuestión de la existencia de un eigenvector para la matriz A que representa la rotación. Cada rotación 2D alrededor del origen a través de un ángulo ${displaystyle theta }$ en dirección contraria puede ser simplemente representado por la siguiente matriz:

${displaystyle A={begin{bmatrix}cos theta &-sin theta \sin theta &cos theta end{bmatrix}}}$

Una determinación de valor propio estándar conduce a la ecuación característica

${displaystyle lambda ^{2}-2lambda cos theta +1=0}$,

que tiene

${displaystyle cos theta pm isin theta }$

como sus eigenvalues. Por lo tanto, no hay un verdadero eigenvalue cada vez que ${displaystyle cos theta neq pm 1}$, lo que significa que ningún vector real en el plano es mantenido sin cambios por A.

Ángulo de rotación y eje en 3 dimensiones

Saber que el trazo es un invariante, el ángulo de rotación ${displaystyle alpha }$ para una matriz de rotación ortogonal 3x3 ${displaystyle A}$ es encontrado por

${displaystyle alpha =cos ^{-1}left({frac {A_{11}+A_{22}+A_{33}-1}right)}$

Usando el arco-cosino principal, esta fórmula da un ángulo de rotación satisfactoria ${displaystyle 0leq alpha leq 180^{circ }$. El eje de rotación correspondiente debe definirse para apuntar en una dirección que limite el ángulo de rotación a no superar los 180 grados. (Esto siempre se puede hacer porque cualquier rotación de más de 180 grados sobre un eje ${displaystyle m}$ siempre se puede escribir como una rotación ${displaystyle 0leq alpha leq 180^{circ }$ si el eje es reemplazado por ${displaystyle No.$.)

Cada rotación adecuada ${displaystyle A}$ en el espacio 3D tiene un eje de rotación, que se define tal que cualquier vector ${displaystyle v}$ que se alinea con el eje de rotación no se verá afectado por la rotación. En consecuencia, ${displaystyle Av=v}$, y por lo tanto el eje de rotación corresponde a un eigenvector de la matriz de rotación asociada con un eigenvalue de 1. Mientras el ángulo de rotación ${displaystyle alpha }$ no es cero (es decir, la rotación no es el tensor de identidad), hay una y sólo una de tales direcciones. Debido a que A sólo tiene componentes reales, hay por lo menos un valor real, y los dos eigenvalues restantes deben ser complejos conjugados entre sí (ver Eigenvalues y eigenvectores#Eigenvalues y el polinomio característico). Sabiendo que 1 es un eigenvalue, sigue que los dos eigenvalues restantes son complejos conjugados unos de otros, pero esto no implica que sean complejos, podrían ser reales con doble multiplicidad. En el caso degenerado de un ángulo de rotación ${displaystyle alpha =180^{circ }$, los dos eigenvalues restantes son iguales a -1. En el caso degenerado de un ángulo de rotación cero, la matriz de rotación es la identidad, y los tres eigenvalues son 1 (que es el único caso para el cual el eje de rotación es arbitrario).

No se requiere un análisis espectral para encontrar el eje de rotación. Si ${displaystyle n}$ denota el eigenvector unidad alineado con el eje de rotación, y si ${displaystyle alpha }$ denota el ángulo de rotación, entonces se puede demostrar que ${displaystyle 2sin(alpha)n={A_{32}-A_{23},A_{13}-A_{31},A_{21}-A_{12}}}$. En consecuencia, el gasto de un análisis de eigenvalue puede evitarse simplemente normalizando este vector si tiene una magnitud no cero. Por otro lado, si este vector tiene una magnitud cero, significa que ${displaystyle sin(alpha)=0}$. En otras palabras, este vector será cero si y sólo si el ángulo de rotación es de 0 o 180 grados, y el eje de rotación se puede asignar en este caso normalizando cualquier columna de ${displaystyle A+I$ que tiene una magnitud no cero.

Esta discusión se aplica a una rotación adecuada, y por lo tanto ${displaystyle det A=1}$. Cualquier matriz ortogonal inadecuada 3x3 ${displaystyle B}$ puede ser escrito como ${displaystyle B=A}$, en que ${displaystyle A}$ es una ortogonal adecuada. Es decir, cualquier matriz ortogonal 3x3 inadecuada puede ser descompuesta como una rotación adecuada (de la cual se puede encontrar un eje de rotación como se describe anteriormente) seguido de una inversión (multiplicación por -1). De ahí que el eje de rotación ${displaystyle A}$ es también el eigenvector de ${displaystyle B}$ correspondiente a un eigenvalue de -1.

Plano de rotación

Así como toda rotación tridimensional tiene un eje de rotación, también toda rotación tridimensional tiene un plano, que es perpendicular al eje de rotación, y que se deja invariante por la rotación. La rotación, restringida a este plano, es una rotación 2D ordinaria.

La prueba procede de manera similar a la discusión anterior. Primero, suponga que todos los valores propios de la matriz de rotación 3D A son reales. Esto significa que existe una base ortogonal, formada por los vectores propios correspondientes (que son necesariamente ortogonales), sobre la cual el efecto de la matriz de rotación es simplemente estirarla. Si escribimos A en esta base, es diagonal; pero una matriz ortogonal diagonal está hecha de solo +1 y −1 en las entradas diagonales. Por lo tanto, no tenemos una rotación propia, sino la identidad o el resultado de una secuencia de reflexiones.

A continuación, que una rotación adecuada tiene algún eigenvalue complejo. Vamos v ser el eigenvector correspondiente. Entonces, como lo mostramos en el tema anterior, ${displaystyle {bar}}$ es también un eigenvector, y ${displaystyle v+{bar}}$ y ${displaystyle i(v-{bar {v})}$ son tales que su producto escalar desaparece:

${displaystyle i(v^{text{T}}+{bar {v} {text{T})(v-{bar {v}})=i(v^{text{T}v-{bar {v}{text{T} {f} {f}{f}}}{b}}} {b}}} {b}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {b}}}} {b}}} {b}}}}}}}}} {b}}} {b}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}} {b} {b}}}}} {b}}}}} {b}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}} {fn} {f} {f}} {f}} {f}} {f}}} {f}} {f}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}$

porque, desde ${displaystyle {bar {fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}} {f} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}} {f}}}}}}}}}}}}} {f}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}f}}}}}}}f} {f}f}f}}}}}}f}f}}}}}}}f}}}}}f}f}}f}}}f}f}}f}f}}}f}f}f}b}f}f}f}}}f}b}f}f}f}}f}}}}}}}}fn {}}$ es real, igual a su complejo conjugado ${displaystyle v^{text{T}v}$, y ${displaystyle {bar} {text{T}v}$ y ${displaystyle v^{text{T}{bar} {}}$ son ambas representaciones del mismo producto escalar entre ${displaystyle v}$ y ${displaystyle {bar}}$.

Esto significa ${displaystyle v+{bar}}$ y ${displaystyle i(v-{bar {v})}$ son vectores ortogonales. Además, ambos son vectores reales por la construcción. Estos vectores abarcan el mismo subespacio que ${displaystyle v}$ y ${displaystyle {bar}}$, que es un subespacio invariable bajo la aplicación de A. Por lo tanto, abarcan un avión invariable.

Este plano es ortogonal al eje invariante, que corresponde al vector propio restante de A, con valor propio 1, debido a la ortogonalidad de los vectores propios de A.