Rombicosidodecaedro

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Arquitecto sólido

Rhombicosidodecahedron
(Haga clic aquí para el modelo giratorio)
Tipo	Arquitecto sólido Uniform polyhedron
Elementos	F = 62, E = 120, V = 60 (χ = 2)
Caras por lados	20{3}+30{4}+12{5}
Notación de Conway	eD o aaD
Símbolos de Schläfli	o $r{begin{Bmatrix}5\3end{Bmatrix}}$
Símbolos de Schläfli	t_0,2{5,3}
Signatura Wythoff	3 5 Silencio 2
Coxeter diagrama
Grupo de Symmetry	Ih, H₃, [5,3], (*532), orden 120
Grupo de rotación	I, [5,3]⁺, (532), orden 60
Ángulo Dihedral	3-4: 159°05′41′′ (159.09°) 4-5: 148°16′57′ (148.28°)
Referencias	U₂₇, C₃₀, W₁₄
Propiedades	Convex semiregular
Caras de colores	3.4.5.4 (Vertex figure)
Deltoidal hexecontahedron (poliedro dual)	Cifras netas

En geometría, el rombicosidodecaedro es un sólido de Arquímedes, uno de los trece sólidos no prismáticos isogonales convexos construidos con dos o más tipos de caras poligonales regulares.

Tiene 20 caras triangulares regulares, 30 caras cuadradas, 12 caras pentagonales regulares, 60 vértices y 120 aristas.

Nombres

Johannes Kepler en Harmonices Mundi (1618) llamó a este poliedro rombicosidodecaedro, que es la abreviatura de rombo icosidodecaédrico truncado, siendo rombo icosidodecaédrico su nombre de un triacontaedro rómbico. Hay diferentes truncamientos de un triacontaedro rómbico en un rombicosidodecaedro topológico: Destaca su rectificación (izquierda), la que crea el sólido uniforme (centro), y la rectificación del icosidodecaedro dual (derecha), que es el núcleo del compuesto dual.

Dimensiones

Para un rombicosidodecaedro con longitud de arista a, su área de superficie y volumen son:

{displaystyle {begin{aligned}A&=left(30+5{sqrt {3}}+3{sqrt {25+10{sqrt {5}}}}right)a^{2}&&approx 59.305,982,844,9a^{2}\V&={frac {60+29{sqrt {5}}}{3}}a^{3}&&approx 41.615,323,782,5a^{3}end{aligned}}}

Relaciones geométricas

Si expandes un icosaedro alejando las caras del origen la cantidad correcta, sin cambiar la orientación o el tamaño de las caras, o haces lo mismo con su dodecaedro dual, y parcheas los agujeros cuadrados en el resultado, obtienes un rombicosidodecaedro. Por lo tanto, tiene el mismo número de triángulos que un icosaedro y el mismo número de pentágonos que un dodecaedro, con un cuadrado para cada arista.

Alternativamente, si expande cada uno de los cinco cubos alejando las caras del origen la cantidad correcta y rotando cada uno de los cinco 72° para que estén equidistantes entre sí, sin cambiar la orientación o el tamaño de las caras, y parchea los agujeros pentagonales y triangulares en el resultado, obtienes un rombicosidodecaedro. Por lo tanto, tiene el mismo número de cuadrados que cinco cubos.

Dos grupos de caras de la bilunabirotunda, las lunas (cada luna con dos triángulos adyacentes a los lados opuestos de un cuadrado), se pueden alinear con un parche congruente de caras del rombicosidodecaedro. Si dos bilunabirotundas se alinean de esta manera en lados opuestos del rombicosidodecaedro, entonces se puede colocar un cubo entre las bilunabirotundas en el mismo centro del rombicosidodecaedro.

El rombicosidodecaedro comparte la disposición de los vértices con el pequeño dodecaedro truncado estrellado y con los compuestos uniformes de seis o doce prismas pentagrammicos.

Los kits Zometool para hacer cúpulas geodésicas y otros poliedros utilizan bolas ranuradas como conectores. Las bolas están "expandidas" rombicosidodecaedros, con los cuadrados reemplazados por rectángulos. La expansión se elige de modo que los rectángulos resultantes sean rectángulos dorados.

Doce de los 92 sólidos de Johnson se derivan del rombicosidodecaedro, cuatro de ellos por rotación de una o más cúpulas pentagonales: el rombicosidodecaedro girado, parabigirado, metabigirado y trigirado. Se pueden construir ocho más quitando hasta tres cúpulas, a veces también girando una o más de las otras cúpulas.

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un rombicosidodecaedro con una longitud de arista de 2 centrada en el origen son permutaciones pares de:

(±1, ± 1, ±φ³),

(±φ²±φ±2φ),

(±(2+)φ), 0, ±φ²),

donde φ = 1 + √5/2 es la proporción áurea. Por lo tanto, el circunradio de este rombicosidodecaedro es la distancia común de estos puntos desde el origen, a saber, √φ⁶+2 = √8φ+7 para longitud de arista 2. Para longitud de arista unitaria, R debe dividirse por la mitad, dando

R = √8φ+72 = √11+4√52 Ω 2.233.

Proyecciones ortogonales

Proyecciones ortogonales en Geometria (1543) by Augustin Hirschvogel

El rombicosidodecaedro tiene seis proyecciones ortogonales especiales, centradas en un vértice, en dos tipos de aristas y tres tipos de caras: triángulos, cuadrados y pentágonos. Los dos últimos corresponden a los planos A₂ y H₂ de Coxeter.

Proyecciones ortogonales
Centrado por	Vertex	Edge 3-4	Edge 5-4	Cara Plaza	Cara Triángulo	Cara Pentágono
Sólido
Wireframe
Projective simetría	[2]	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
Doble imagen

Alicatados esféricos

El rombicosidodecaedro también puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse en el plano a través de una proyección estereográfica. Esta proyección es conforme, preservando ángulos pero no áreas o longitudes. Las líneas rectas sobre la esfera se proyectan como arcos circulares sobre el plano.

Proyección ortográfica	Proyecciones estereográficas
	Pentágono centrado	Triángulo centrado	Centrado en la plaza

Poliedros relacionados

La expansión de un dodecahedro o un icosahedro crea un rhombicosidodecedro.

Una versión con rectángulos dorados se utiliza como elemento vértice del conjunto de construcción Zometool.

Family of uniform icosahedral polyhedra
Simetría: [5,3], (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duals to uniform polyhedra

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Mutaciones de simetría

Este poliedro está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros cantelados con figura de vértice (3.4.n.4), que continúa como mosaicos del plano hiperbólico. Estas figuras transitivas de vértice tienen (*n32) simetría de reflexión.

*n32 mutación simetría de los revestimientos ampliados: 3.4.n.4
Simmetría *n32 [n,3]	Spherical				Euclid.	Hiperb compacto.		Paracomp.
Simmetría *n32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Gráfico
Config.	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.

Sólidos Johnson

Hay 12 sólidos de Johnson relacionados, 5 por disminución y 8 que incluyen giros:

Disminuida
J5	76	80	81	83

Girado o disminuido
72	73	74	75
77	78	79	82

Disposición de vértices

El rombicosidodecaedro comparte su disposición de vértices con tres poliedros uniformes no convexos: el pequeño dodecaedro estrellado truncado, el pequeño dodecicosidodecaedro (que tiene en común las caras triangulares y pentagonales) y el pequeño rombidodecaedro (que tiene en común las caras cuadradas).

También comparte su disposición de vértices con los compuestos uniformes de seis o doce prismas pentagrammicos.

Rhombicosidodecahedron	Pequeño dodecicosidodecahedro	Pequeño rhombidodecahedron
Pequeño dodecaedro estelar	Compuesto de seis prismas pentagramamicos	Compuesto de doce prismas pentagramamicos

Gráfico de rombicosidodecaedro

En el campo matemático de la teoría de grafos, un grafo rombicosidodecaédrico es el gráfico de vértices y aristas del rombicosidodecaedro, uno de los sólidos de Arquímedes. Tiene 60 vértices y 120 aristas, y es un grafo cuártico grafo de Arquímedes.

Esquema de Schlegel centrado en la plaza

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