Rombicosidodecaedro

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Arquitecto sólido
Rhombicosidodecahedron
Rhombicosidodecahedron.jpg
(Haga clic aquí para el modelo giratorio)
TipoArquitecto sólido
Uniform polyhedron
ElementosF = 62, E = 120, V = 60 (χ = 2)
Caras por lados20{3}+30{4}+12{5}
Notación de ConwayeD o aaD
Símbolos de Schläflio r{}53}{displaystyle r{begin{Bmatrix}53end{Bmatrix}}
t0,2{5,3}
Signatura Wythoff3 5 Silencio 2
Coxeter diagramaCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Grupo de SymmetryIh, H3, [5,3], (*532), orden 120
Grupo de rotaciónI, [5,3]+, (532), orden 60
Ángulo Dihedral3-4: 159°05′41′′ (159.09°)
4-5: 148°16′57′ (148.28°)
ReferenciasU27, C30, W14
PropiedadesConvex semiregular
Polyhedron small rhombi 12-20 max.png
Caras de colores
Polyhedron small rhombi 12-20 vertfig.svg
3.4.5.4
(Vertex figure)
Polyhedron small rhombi 12-20 dual max.png
Deltoidal hexecontahedron
(poliedro dual)
Polyhedron small rhombi 12-20 net.svg
Cifras netas

En geometría, el rombicosidodecaedro es un sólido de Arquímedes, uno de los trece sólidos no prismáticos isogonales convexos construidos con dos o más tipos de caras poligonales regulares.

Tiene 20 caras triangulares regulares, 30 caras cuadradas, 12 caras pentagonales regulares, 60 vértices y 120 aristas.

Nombres

Johannes Kepler en Harmonices Mundi (1618) llamó a este poliedro rombicosidodecaedro, que es la abreviatura de rombo icosidodecaédrico truncado, siendo rombo icosidodecaédrico su nombre de un triacontaedro rómbico. Hay diferentes truncamientos de un triacontaedro rómbico en un rombicosidodecaedro topológico: Destaca su rectificación (izquierda), la que crea el sólido uniforme (centro), y la rectificación del icosidodecaedro dual (derecha), que es el núcleo del compuesto dual.

Dimensiones

Para un rombicosidodecaedro con longitud de arista a, su área de superficie y volumen son:

A=()30+53+325+105)a2.. 59.3059828449a2V=60+2953a3.. 41.6153237825a3{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans}}}}}}}}}derecha)a} {2} {fnMicrox 59.305,982,844,9a^{2}V cayó={29fnMicrocfnMicroc {5}}{3}a} {3} {3} {3}} {fnMicrox 41.615,323,782,5a^{3}end{aligned}}}} {}}}}}} {}}}} {}}}}} {}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {} {}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Relaciones geométricas

Si expandes un icosaedro alejando las caras del origen la cantidad correcta, sin cambiar la orientación o el tamaño de las caras, o haces lo mismo con su dodecaedro dual, y parcheas los agujeros cuadrados en el resultado, obtienes un rombicosidodecaedro. Por lo tanto, tiene el mismo número de triángulos que un icosaedro y el mismo número de pentágonos que un dodecaedro, con un cuadrado para cada arista.

Alternativamente, si expande cada uno de los cinco cubos alejando las caras del origen la cantidad correcta y rotando cada uno de los cinco 72° para que estén equidistantes entre sí, sin cambiar la orientación o el tamaño de las caras, y parchea los agujeros pentagonales y triangulares en el resultado, obtienes un rombicosidodecaedro. Por lo tanto, tiene el mismo número de cuadrados que cinco cubos.

Dos grupos de caras de la bilunabirotunda, las lunas (cada luna con dos triángulos adyacentes a los lados opuestos de un cuadrado), se pueden alinear con un parche congruente de caras del rombicosidodecaedro. Si dos bilunabirotundas se alinean de esta manera en lados opuestos del rombicosidodecaedro, entonces se puede colocar un cubo entre las bilunabirotundas en el mismo centro del rombicosidodecaedro.

El rombicosidodecaedro comparte la disposición de los vértices con el pequeño dodecaedro truncado estrellado y con los compuestos uniformes de seis o doce prismas pentagrammicos.

Los kits Zometool para hacer cúpulas geodésicas y otros poliedros utilizan bolas ranuradas como conectores. Las bolas están "expandidas" rombicosidodecaedros, con los cuadrados reemplazados por rectángulos. La expansión se elige de modo que los rectángulos resultantes sean rectángulos dorados.

Doce de los 92 sólidos de Johnson se derivan del rombicosidodecaedro, cuatro de ellos por rotación de una o más cúpulas pentagonales: el rombicosidodecaedro girado, parabigirado, metabigirado y trigirado. Se pueden construir ocho más quitando hasta tres cúpulas, a veces también girando una o más de las otras cúpulas.

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un rombicosidodecaedro con una longitud de arista de 2 centrada en el origen son permutaciones pares de:

(±1, ± 1, ±φ3),
φ2±φ±2φ),
(±(2+)φ), 0, ±φ2),

donde φ = 1 + 5/2 es la proporción áurea. Por lo tanto, el circunradio de este rombicosidodecaedro es la distancia común de estos puntos desde el origen, a saber, φ6+2 = 8φ+7 para longitud de arista 2. Para longitud de arista unitaria, R debe dividirse por la mitad, dando

R = 8φ+7/2 = 11+45/2 Ω 2.233.

Proyecciones ortogonales

Proyecciones ortogonales en Geometria (1543) by Augustin Hirschvogel

El rombicosidodecaedro tiene seis proyecciones ortogonales especiales, centradas en un vértice, en dos tipos de aristas y tres tipos de caras: triángulos, cuadrados y pentágonos. Los dos últimos corresponden a los planos A2 y H2 de Coxeter.

Proyecciones ortogonales
Centrado por Vertex Edge
3-4
Edge
5-4
Cara
Plaza
Cara
Triángulo
Cara
Pentágono
Sólido Polyhedron small rhombi 12-20 from blue max.pngPolyhedron small rhombi 12-20 from yellow max.pngPolyhedron small rhombi 12-20 from red max.png
Wireframe Dodecahedron t02 v.pngDodecahedron t02 e34.pngDodecahedron t02 e45.pngDodecahedron t02 f4.pngDodecahedron t02 A2.pngDodecahedron t02 H3.png
Projective
simetría
[2] [2] [2] [2] [6] [10]
Doble
imagen
Dual dodecahedron t02 v.pngDual dodecahedron t02 e34.pngDual dodecahedron t02 e45.pngDual dodecahedron t02 f4.pngDual dodecahedron t02 A2.pngDual dodecahedron t02 H3.png

Alicatados esféricos

El rombicosidodecaedro también puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse en el plano a través de una proyección estereográfica. Esta proyección es conforme, preservando ángulos pero no áreas o longitudes. Las líneas rectas sobre la esfera se proyectan como arcos circulares sobre el plano.

Uniform tiling 532-t02.pngRhombicosidodecahedron stereographic projection pentagon'.png
Pentágono centrado
Rhombicosidodecahedron stereographic projection triangle.png
Triángulo centrado
Rhombicosidodecahedron stereographic projection square.png
Centrado en la plaza
Proyección ortográfica Proyecciones estereográficas

Poliedros relacionados

La expansión de un dodecahedro o un icosahedro crea un rhombicosidodecedro.
Una versión con rectángulos dorados se utiliza como elemento vértice del conjunto de construcción Zometool.
Family of uniform icosahedral polyhedra
Simetría: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
Uniform polyhedron-53-t0.svgUniform polyhedron-53-t01.svgUniform polyhedron-53-t1.svgUniform polyhedron-53-t12.svgUniform polyhedron-53-t2.svgUniform polyhedron-53-t02.pngUniform polyhedron-53-t012.pngUniform polyhedron-53-s012.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
{5,3} t{5,3} r{5,3} t{3,5} {3,5} rr{5,3} tr{5,3} sr{5,3}
Duals to uniform polyhedra
Icosahedron.jpgTriakisicosahedron.jpgRhombictriacontahedron.jpgPentakisdodecahedron.jpgDodecahedron.jpgDeltoidalhexecontahedron.jpgDisdyakistriacontahedron.jpgPentagonalhexecontahedronccw.jpg
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

Mutaciones de simetría

Este poliedro está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros cantelados con figura de vértice (3.4.n.4), que continúa como mosaicos del plano hiperbólico. Estas figuras transitivas de vértice tienen (*n32) simetría de reflexión.

*n32 mutación simetría de los revestimientos ampliados: 3.4.n.4
Simmetría
*n32
[n,3]
Spherical Euclid. Hiperb compacto. Paracomp.
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
Gráfico Spherical triangular prism.pngUniform tiling 332-t02.pngUniform tiling 432-t02.pngUniform tiling 532-t02.pngUniform polyhedron-63-t02.pngRhombitriheptagonal tiling.svgH2-8-3-cantellated.svgH2 tiling 23i-5.png
Config. 3.4.2.4 3.4.3.4 3.4.4.4 3.4.5.4 3.4.6.4 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.

Sólidos Johnson

Hay 12 sólidos de Johnson relacionados, 5 por disminución y 8 que incluyen giros:

Disminuida
J5
Pentagonal cupola.png
76
Diminished rhombicosidodecahedron.png
80
Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png
81
Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png
83
Tridiminished rhombicosidodecahedron.png
Girado o disminuido
72
Gyrate rhombicosidodecahedron.png
73
Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png
74
Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png
75
Trigyrate rhombicosidodecahedron.png
77
Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
78
Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
79
Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
82
Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png

Disposición de vértices

El rombicosidodecaedro comparte su disposición de vértices con tres poliedros uniformes no convexos: el pequeño dodecaedro estrellado truncado, el pequeño dodecicosidodecaedro (que tiene en común las caras triangulares y pentagonales) y el pequeño rombidodecaedro (que tiene en común las caras cuadradas).

También comparte su disposición de vértices con los compuestos uniformes de seis o doce prismas pentagrammicos.

Small rhombicosidodecahedron.png
Rhombicosidodecahedron
Small dodecicosidodecahedron.png
Pequeño dodecicosidodecahedro
Small rhombidodecahedron.png
Pequeño rhombidodecahedron
Small stellated truncated dodecahedron.png
Pequeño dodecaedro estelar
UC36-6 pentagrammic prisms.png
Compuesto de seis prismas pentagramamicos
UC37-12 pentagrammic prisms.png
Compuesto de doce prismas pentagramamicos

Gráfico de rombicosidodecaedro

En el campo matemático de la teoría de grafos, un grafo rombicosidodecaédrico es el gráfico de vértices y aristas del rombicosidodecaedro, uno de los sólidos de Arquímedes. Tiene 60 vértices y 120 aristas, y es un grafo cuártico grafo de Arquímedes.

Esquema de Schlegel centrado en la plaza

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