Retracción (topología)

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Cartografía continua y reserva de posición desde un espacio topológico en un subespacio

En topología, una rama de las matemáticas, una retracción es un mapeo continuo de un espacio topológico a un subespacio que preserva la posición de todos los puntos en ese subespacio. El subespacio se denomina entonces retracción del espacio original. Una retracción de deformación es un mapeo que captura la idea de reducir continuamente un espacio a un subespacio.

Una retracción de vecindad absoluta (ANR) es un tipo de espacio topológico que se comporta particularmente bien. Por ejemplo, cada variedad topológica es una ANR. Cada ANR tiene el tipo de homotopía de un espacio topológico muy simple, un complejo CW.

Definiciones

Retraer

Sea X un espacio topológico y A un subespacio de X. Luego un mapa continuo

{displaystyle rcolon Xto A}

es un retracción si la restricción r a A es el mapa de identidad en A; es decir, ${textstyle r(a)=a}$ para todos a dentro A. Equivalentemente, denotando

{displaystyle iota colon Ahookrightarrow X}

la inclusión, una retracción es un mapa continuo r tales que

{displaystyle rcirc iota =operatorname {id} _{A},}

es decir, la composición r con la inclusión es la identidad de A. Tenga en cuenta que, por definición, un mapa de retracción X sobre A. Un subespacio A se llama retract de X si existe tal retracción. Por ejemplo, cualquier espacio no vacío se resta a un punto de la manera obvia (el mapa constante produce una retracción). Si X es Hausdorff, entonces A debe ser un subconjunto cerrado X.

Si ${textstyle r:Xto A}$ es una retracción, luego la composiciónr es un mapa continuo idempotente desde X a X. Por el contrario, dado cualquier mapa continuo idempotente ${textstyle s:Xto X,}$ obtenemos una retracción sobre la imagen s restringiendo el codominio.

Retracto de deformación y retracto fuerte de deformación

Un mapa continuo

{displaystyle Fcolon Xtimes [0,1]to X}

es un deformación retracción de un espacio X sobre un subespacial A si, por cada x dentro X y a dentro A,

{displaystyle F(x,0)=x,quad F(x,1)in A,quad {mbox{and}}quad F(a,1)=a.}

En otras palabras, una retracción de deformación es una homotopía entre una retracción y el mapa de identidad en X. El subespacio A se llama retracción de deformación de X. Una retracción de deformación es un caso especial de equivalencia de homotopía.

Una retracción no tiene por qué ser una retracción por deformación. Por ejemplo, tener un solo punto como retracción de deformación de un espacio X implicaría que X es un camino conexo (y de hecho que X es contráctil).

Nota: Una definición equivalente de retracción de deformación es la siguiente. Un mapa continuo ${textstyle r:Xto A}$ es una retracción de deformación si es una retracción y su composición con la inclusión es homotopic al mapa de identidad en X. En esta formulación, una retracción de deformación lleva consigo una homotopia entre el mapa de identidad en X y en sí mismo.

Si en la definición de retracción por deformación añadimos el requisito de que

{displaystyle F(a,t)=a}

para todos t en [0, 1] y a dentro AEntonces F se llama fuerte deformación retracción. En otras palabras, una fuerte retracción de deformación deja puntos en A fijo en toda la homotopy. (Algunos autores, como Hatcher, toman esto como la definición de retracción de deformación.)

Como ejemplo, la esfera n ${textstyle S^{n}}$ es un retracto de deformación fuerte ${textstyle mathbb {R} ^{n+1}backslash {0};}$ como fuerte deformación retracción uno puede elegir el mapa

{displaystyle F(x,t)=(1-t)x+t{x over |x|}.}

No es que la condición de ser un retracto de deformación fuerte es estrictamente más fuerte que ser un retracto de deformación. Por ejemplo, déjeme X ser el subespacio ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ consistente en segmentos de línea cerrada que conectan el origen y el punto ${displaystyle (1/n,1)}$ para n un entero positivo, junto con el segmento de línea cerrada que conecta el origen con ${displaystyle (0,1)}$ . Que X tenga la topología subespacial heredada de la topología Euclideana en ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ . Ahora A ser el subespacio X consistente en el segmento de línea que conecta el origen con ${displaystyle (0,1)}$ . Entonces... A es un retracto de deformación X pero no un fuerte retracto de deformación X.

Retracción de cofibración y deformación vecinal

Un mapa f: A → X de espacios topológicos es una cofibración (Hurewicz) si tiene la propiedad de extensión de homotopía para mapas de cualquier espacio. Este es uno de los conceptos centrales de la teoría de la homotopía. Una cofibración f es siempre inyectiva, de hecho, un homeomorfismo de su imagen. Si X es Hausdorff (o un espacio de Hausdorff débil generado de forma compacta), entonces la imagen de una cofibración f está cerrada en X.

Entre todas las inclusiones cerradas, las cofibraciones se pueden caracterizar como sigue. La inclusión de un subespacio cerrado A en un espacio X es una cofibración si y sólo si A es un retractación de la deformación de X, lo que significa que hay un mapa continuo ${displaystyle u:Xrightarrow [0,1]}$ con ${textstyle A=u^{-1}!left(0right)}$ y un homotopy ${textstyle H:Xtimes [0,1]rightarrow X}$ tales que ${textstyle H(x,0)=x}$ para todos ${displaystyle xin X,}$ ${displaystyle H(a,t)=a}$ para todos ${displaystyle ain A}$ y ${displaystyle tin [0,1],}$ y ${textstyle Hleft(x,1right)in A}$ si $<math alttext="{displaystyle u(x)u()x)c)1{displaystyle u(x) <img alt="{displaystyle u(x)$ .

Por ejemplo, la inclusión de un subcomplejo en un complejo CW es una cofibración.

Propiedades

Una propiedad básica de un retract A de X (con retracción) ${textstyle r:Xto A}$ ) es que cada mapa continuo ${textstyle f:Arightarrow Y}$ tiene al menos una extensión ${textstyle g:Xrightarrow Y,}$ a) ${textstyle g=fcirc r}$ .
Si un subespacio es un retracto de un espacio, entonces la inclusión induce una inyección entre grupos fundamentales.
La retracción de la deformación es un caso particular de equivalencia de homotopy. De hecho, dos espacios son equivalentes de homotopy si y sólo si ambos son homeomorfos a retractos de deformación de un solo espacio más grande.
Cualquier espacio topológico que la deformación retraiga a un punto es contractual y viceversa. Sin embargo, existen espacios contractuales que no restan fuertemente la deformación a un punto.

Teorema de no retracción

El límite de la bola n-dimensional, es decir, la (n-1)-esfera, no es una retracción de la bola. (Ver Teorema del punto fijo de Brouwer § Una prueba que utiliza homología o cohomología).

Retracción absoluta de vecindad (ANR)

Un subconjunto cerrado ${textstyle X}$ de un espacio topológico ${textstyle Y}$ se llama barrio retract de ${textstyle Y}$ si ${textstyle X}$ es un retracto de algún subconjunto abierto de ${textstyle Y}$ que contiene ${textstyle X}$ .

Vamos. ${displaystyle {mathcal {C}}}$ ser una clase de espacios topológicos, cerrado bajo homeomorfismos y paso a subconjuntos cerrados. Después de Borsuk (a partir de 1931), un espacio ${textstyle X}$ se llama Retracto absoluto para la clase ${displaystyle {mathcal {C}}}$ , escrito ${textstyle operatorname {AR} left({mathcal {C}}right),}$ si ${textstyle X}$ está dentro. ${displaystyle {mathcal {C}}}$ y siempre ${textstyle X}$ es un subconjunto cerrado de un espacio ${textstyle Y}$ dentro ${displaystyle {mathcal {C}}}$ , ${textstyle X}$ es un retracto de ${textstyle Y}$ . Un espacio ${textstyle X}$ es un Retracto absoluto del vecindario para la clase ${displaystyle {mathcal {C}}}$ , escrito ${textstyle operatorname {ANR} left({mathcal {C}}right),}$ si ${textstyle X}$ está dentro. ${displaystyle {mathcal {C}}}$ y siempre ${textstyle X}$ es un subconjunto cerrado de un espacio ${textstyle Y}$ dentro ${displaystyle {mathcal {C}}}$ , ${textstyle X}$ es un retracto de barrio ${textstyle Y}$ .

Clases distintas ${displaystyle {mathcal {C}}}$ como espacios normales han sido considerados en esta definición, pero la clase ${displaystyle {mathcal {M}}}$ de los espacios metrizables se ha encontrado para dar la teoría más satisfactoria. Por esa razón, las notaciones AR y ANR por sí mismas se utilizan en este artículo para significar ${displaystyle operatorname {AR} left({mathcal {M}}right)}$ y ${displaystyle operatorname {ANR} left({mathcal {M}}right)}$ .

Un espacio habitable es un AR si y sólo si es contractual y un ANR. Por Dugundji, cada espacio vectorial topológico localmente convex ${textstyle V}$ es un AR; más generalmente, cada subconvexo no vacío de tal espacio vectorial ${textstyle V}$ es un AR. Por ejemplo, cualquier espacio vectorial normal (completo o no) es un AR. Más concretamente, el espacio euclidiano ${textstyle mathbb {R} ^{n},}$ el cubo de la unidad ${textstyle I^{n},}$ y el cubo de Hilbert ${textstyle I^{omega }}$ son ARs.

Los ANR forman una clase notable de personas con buen comportamiento. espacios topológicos. Entre sus propiedades se encuentran:

Cada subconjunto abierto de una ANR es una ANR.
Por Hanner, un espacio metro que tiene una cubierta abierta por ANRs es una ANR. (Es decir, ser un ANR es un propiedad local para espacios metro.) Sigue que cada uno de los múltiples topológicos es una ANR. Por ejemplo, la esfera ${textstyle S^{n}}$ es un ANR pero no un AR (porque no es contractual). En dimensiones infinitas, el teorema de Hanner implica que todos los cubos de Hilbert, así como los (más diferentes, por ejemplo no localmente compactos) Manifolds de Hilbert y Manifolds de Banach son ANRs.
Cada complejo CW localmente finito es un ANR. Un complejo CW arbitrario no necesita ser metrostable, pero cada complejo CW tiene el tipo de homotopy de un ANR (que es metros, por definición).
Cada ANR X es localmente contractual en el sentido de que por cada barrio abierto ${textstyle U}$ de un punto ${textstyle x}$ dentro ${textstyle X}$ Hay un barrio abierto ${textstyle V}$ de ${textstyle x}$ contenidas en ${textstyle U}$ tal que la inclusión ${textstyle Vhookrightarrow U}$ es homotopic a un mapa constante. Un espacio medirizable finito es un ANR si y sólo si es localmente contractible en este sentido. Por ejemplo, el conjunto Cantor es un subconjunto compacto de la línea real que no es un ANR, ya que ni siquiera está conectado localmente.
Counterexamples: Borsuk encontró un subconjunto compacto de ${textstyle mathbb {R} ^{3}}$ es una ANR pero no estrictamente localmente contractual. (Un espacio es estrictamente contractuales locales si cada barrio abierto ${textstyle U}$ de cada punto ${textstyle x}$ contiene un barrio abierto contractible ${textstyle x}$ ) Borsuk también encontró un subconjunto compacto del cubo Hilbert que es localmente contractible (como se define anteriormente) pero no un ANR.
Cada ANR tiene el tipo de homotopy de un complejo CW, por Whitehead y Milnor. Además, un ANR localmente compacto tiene el tipo de homotopy de un complejo CW localmente finito; y, por Occidente, un ANR compacto tiene el tipo de homotopy de un complejo CW finito. En este sentido, los ANR evitan todas las patologías teóricas de los espacios totopológicos arbitrarios. Por ejemplo, el teorema de Whitehead sostiene para ANRs: un mapa de ANRs que induce un isomorfismo en grupos de homotopy (para todas las opciones de punto base) es una equivalencia de homotopy. Dado que los ANR incluyen múltiples topológicos, los cubos de Hilbert, los manifolds de Banach, y así sucesivamente, estos resultados se aplican a una gran clase de espacios.
Muchos espacios de mapeo son ANRs. En particular, Y ser un ANR con un subespacio cerrado A que es una ANR, y que X ser cualquier espacio compacto metro con un subespacio cerrado B. Entonces el espacio ${textstyle left(Y,Aright)^{left(X,Bright)}}$ de mapas de pares ${textstyle left(X,Bright)rightarrow left(Y,Aright)}$ (con la topología compacta abierta en el espacio de asignación) es una ANR. Por ejemplo, sigue que el espacio de bucle de cualquier complejo CW tiene el tipo de homotopy de un complejo CW.
Por Cauty, un espacio habitable ${textstyle X}$ es un ANR si y sólo si cada subconjunto abierto de ${textstyle X}$ tiene el tipo de homotopy de un complejo CW.
Por Cauty, hay un espacio lineal métrico ${textstyle V}$ (que significa un espacio vectorial topológico con una métrica invariante de traducción) que no es un AR. Uno puede tomar ${textstyle V}$ ser separable y un espacio F (es decir, un espacio lineal métrico completo). (Por el teorema de Dugundji arriba, ${textstyle V}$ no puede ser localmente convex.) Desde ${textstyle V}$ es contractual y no un AR, también no es un ANR. Por el teorema de Cauty arriba, ${textstyle V}$ tiene un subconjunto abierto ${textstyle U}$ que no es homotopy equivalente a un complejo CW. Por lo tanto, hay un espacio habitable ${textstyle U}$ que es estrictamente localmente contractible pero no es homotopy equivalente a un complejo CW. It is not known whether a compact (or locally compact) metrizable space that is strictly locally contractible must be an ANR.