Restricción (matemáticas)

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Función con un dominio más pequeño

En matemáticas, la restricción de una función ${displaystyle f}$ es una nueva función, denotada ${displaystyle fvert _{A}}$ o ${displaystyle f{upharpoonright _{A}},}$ obtenido eligiendo un dominio más pequeño ${displaystyle A}$ para la función original ${displaystyle f.}$ La función ${displaystyle f}$ entonces se dice que ampliación ${displaystyle fvert _{A}.}$

Definición formal

Vamos. ${displaystyle f:Eto F}$ ser una función de un conjunto ${displaystyle E}$ a un conjunto ${displaystyle F.}$ Si un conjunto ${displaystyle A}$ es un subconjunto de ${displaystyle E,}$ entonces el restricción de ${displaystyle f}$ a ${displaystyle A}$ es la función

{displaystyle {f|}_{A}:Ato F}

{displaystyle {f|}_{A}(x)=f(x)}

{displaystyle xin A.}

{displaystyle f}

{displaystyle A}

{displaystyle f,}

{displaystyle A}

Si la función ${displaystyle f}$ se piensa como una relación ${displaystyle (x,f(x))}$ sobre el producto cartesiano ${displaystyle Etimes F,}$ entonces la restricción ${displaystyle f}$ a ${displaystyle A}$ puede ser representado por su gráfico,

{displaystyle G({f|}_{A})={(x,f(x))in G(f):xin A}=G(f)cap (Atimes F),}

donde los pares ${displaystyle (x,f(x))}$ representan pares ordenados en el gráfico ${displaystyle G.}$

Extensiones

Una función ${displaystyle F}$ se dice que es un extensión de otra función ${displaystyle f}$ si ${displaystyle x}$ está en el dominio de ${displaystyle f}$ entonces ${displaystyle x}$ está también en el dominio de ${displaystyle F}$ y ${displaystyle f(x)=F(x).}$ Eso es, si ${displaystyle operatorname {domain} fsubseteq operatorname {domain} F}$ y ${displaystyle F{big vert }_{operatorname {domain} f}=f.}$

A extensión lineal (respectivamente, Extensión continua, etc) de una función ${displaystyle f}$ es una extensión de ${displaystyle f}$ que es también un mapa lineal (respectivamente, un mapa continuo, etc.).

Ejemplos

La restricción de la función no inyectable ${displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {R} xmapsto x^{2}}$ al dominio ${displaystyle mathbb {R} _{+}=[0,infty)}$ es la inyección ${displaystyle f:mathbb {R} _{+}to mathbb {R} xmapsto x^{2}.}$
La función factorial es la restricción de la función gamma a los enteros positivos, con el argumento cambiado por uno: ${displaystyle {Gamma |}_{mathbb {Z} ^{+}}!(n)=(n-1)!}$

Propiedades de las restricciones

Restricting a function ${displaystyle f:Xrightarrow Y}$ a todo su dominio ${displaystyle X}$ devuelve la función original, es decir, ${displaystyle f|_{X}=f.}$
Restricting a function twice is the same as restricting it once, that is, if ${displaystyle Asubseteq Bsubseteq operatorname {dom} f,}$ entonces ${displaystyle left(f|_{B}right)|_{A}=f|_{A}.}$
La restricción de la función de identidad en un conjunto ${displaystyle X}$ a un subconjunto ${displaystyle A}$ de ${displaystyle X}$ es sólo el mapa de la inclusión ${displaystyle A}$ en ${displaystyle X.}$
La restricción de una función continua es continua.

Aplicaciones

Funciones inversas

Para que una función tenga un inverso, debe ser uno a uno. Si una función ${displaystyle f}$ no es uno a uno, puede ser posible definir un parcial inversa de ${displaystyle f}$ restringiendo el dominio. Por ejemplo, la función

{displaystyle f(x)=x^{2}}

{displaystyle mathbb {R} }

{displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}

{displaystyle xin mathbb {R}.}

{displaystyle mathbb {R} _{geq 0}=[0,infty),}

{displaystyle f^{-1}(y)={sqrt {y}}.}

(Si en su lugar restringimos al dominio ${displaystyle (-infty0],}$ entonces el inverso es el negativo de la raíz cuadrada ${displaystyle y.}$ ) Alternativamente, no hay necesidad de restringir el dominio si permitimos que el inverso sea una función multivalorizada.

operadores de selección

En álgebra relacional, una selección (algunas veces llamada restricción para evitar confusión con el uso de SQL de SELECT) es una operación extraña escrita como ${displaystyle sigma _{atheta b}(R)}$ o ${displaystyle sigma _{atheta v}(R)}$ Donde:

${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ son nombres de atributos,
${displaystyle theta }$ es una operación binaria en el conjunto $<math alttext="{displaystyle {},}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">{}c),≤ ≤ ,=,ل ل ,≥ ≥ ,■},{displaystyle { made,leq=,neqgeq},}<img alt="{displaystyle {},}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9d10e28f789b85d30308899e8c3ae7136f0ee86" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.99ex; height:2.843ex;"/>$
${displaystyle v}$ es una constante de valor,
${displaystyle R}$ es una relación.

La selección ${displaystyle sigma _{atheta b}(R)}$ selecciona todos esos tuples en ${displaystyle R}$ para el cual ${displaystyle theta }$ entre las ${displaystyle a}$ y el ${displaystyle b}$ atributo.

La selección ${displaystyle sigma _{atheta v}(R)}$ selecciona todos esos tuples en ${displaystyle R}$ para el cual ${displaystyle theta }$ entre las ${displaystyle a}$ atributo y valor ${displaystyle v.}$

Por lo tanto, el operador de selección se restringe a un subconjunto de toda la base de datos.

El lema del pegado

El lema de pegado es un resultado de la topología que relaciona la continuidad de una función con la continuidad de sus restricciones a subconjuntos.

Vamos. ${displaystyle X,Y}$ ser dos subconjuntos cerrados (o dos subconjuntos abiertos) de un espacio topológico ${displaystyle A}$ tales que ${displaystyle A=Xcup Y,}$ y dejar ${displaystyle B}$ también ser un espacio topológico. Si ${displaystyle f:Ato B}$ es continuo cuando se restringe a ambos ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Y,}$ entonces ${displaystyle f}$ es continuo.

Este resultado permite tomar dos funciones continuas definidas en subconjuntos cerrados (o abiertos) de un espacio topológico y crear una nueva.

Gavillas

Las poleas proporcionan una forma de generalizar restricciones a objetos además de funciones.

En la teoría de hoja, uno asigna un objeto ${displaystyle F(U)}$ en una categoría a cada conjunto abierto ${displaystyle U}$ de un espacio topológico, y requiere que los objetos satisfagan ciertas condiciones. La condición más importante es que hay morfismos de restricción entre cada par de objetos asociados a conjuntos abiertos anidados; es decir, si ${displaystyle Vsubseteq U,}$ entonces hay un morfismo ${displaystyle operatorname {res} _{V,U}:F(U)to F(V)}$ satisfacer las siguientes propiedades, diseñadas para imitar la restricción de una función:

Para cada conjunto abierto ${displaystyle U}$ de ${displaystyle X,}$ el morfismo de restricción ${displaystyle operatorname {res} _{U,U}:F(U)to F(U)}$ es el morfismo de identidad en ${displaystyle F(U).}$
Si tenemos tres juegos abiertos ${displaystyle Wsubseteq Vsubseteq U,}$ entonces el composite ${displaystyle operatorname {res} _{W,V}circ operatorname {res} _{V,U}=operatorname {res} _{W,U}.}$
(Localidad) Si ${displaystyle left(U_{i}right)}$ es una cubierta abierta de un conjunto abierto ${displaystyle U,}$ y si ${displaystyle s,tin F(U)}$ son tales ${displaystyle s{big vert }_{U_{i}}=t{big vert }_{U_{i}}}$ para cada conjunto ${displaystyle U_{i}}$ de la cubierta, entonces ${displaystyle s=t}$ ; y
Si ${displaystyle left(U_{i}right)}$ es una cubierta abierta de un conjunto abierto ${displaystyle U,}$ y si para cada ${displaystyle i}$ a) Sección ${displaystyle x_{i}in Fleft(U_{i}right)}$ se da tal que para cada par ${displaystyle U_{i},U_{j}}$ de la cubierta establece las restricciones ${displaystyle s_{i}}$ y ${displaystyle s_{j}}$ acuerdan las superposiciones: ${displaystyle s_{i}{big vert }_{U_{i}cap U_{j}}=s_{j}{big vert }_{U_{i}cap U_{j}},}$ entonces hay una sección ${displaystyle sin F(U)}$ tales que ${displaystyle s{big vert }_{U_{i}}=s_{i}}$ para cada uno ${displaystyle i.}$

La colección de todos estos objetos se llama A Sheaf . Si solo se satisfacen las dos primeras propiedades, es un pre-Sheaf .

-restricción izquierda y derecha

Más generalmente, la restricción (o restricción de dominio o Restricción izquierda) ${displaystyle Atriangleleft R}$ de una relación binaria ${displaystyle R}$ entre ${displaystyle E}$ y ${displaystyle F}$ puede definirse como una relación que tenga dominio ${displaystyle A,}$ codomain ${displaystyle F}$ y gráfico ${displaystyle G(Atriangleleft R)={(x,y)in F(R):xin A}.}$ Del mismo modo, se puede definir un de la derecha o restricción del alcance ${displaystyle Rtriangleright B.}$ De hecho, uno podría definir una restricción a ${displaystyle n}$ - relaciones, así como subconjuntos entendidos como relaciones, como las del producto cartesiano ${displaystyle Etimes F}$ para las relaciones binarias. Estos casos no encajan en el esquema de cuchillas.

Anti-restricción

El dominio antirrestricción (o substracción de dominio) de una función o relación binaria ${displaystyle R}$ (con dominio ${displaystyle E}$ y codomain ${displaystyle F}$ ) por un conjunto ${displaystyle A}$ puede definirse como ${displaystyle (Esetminus A)triangleleft R}$ ; elimina todos los elementos de ${displaystyle A}$ desde el dominio ${displaystyle E.}$ A veces se denota. ${displaystyle A}$ ⩤ ${displaystyle R.}$ Del mismo modo, el rango antirrestricción (o substracción) de una función o relación binaria ${displaystyle R}$ por un conjunto ${displaystyle B}$ se define como ${displaystyle Rtriangleright (Fsetminus B)}$ ; elimina todos los elementos de ${displaystyle B}$ del codomain ${displaystyle F.}$ A veces se denota. ${displaystyle R}$ ⩥ ${displaystyle B.}$

Más resultados...