Residuo (análisis complejo)

En matemáticas, análisis más específicamente complejo, el residuos es un número complejo proporcional al contorno integral de una función meromorfa a lo largo de un camino que encierra una de sus singularidades. (Más generalmente, los residuos se pueden calcular para cualquier función ${displaystyle fcolon mathbb {C} setminus {a_{k}{k}rightarrow {C}$ que es holomorfa excepto en los puntos discretos {a_k}_k, incluso si algunos de ellos son singularidades esenciales.) Los residuos se pueden calcular fácilmente y, una vez conocido, permiten la determinación de las integrales de contorno general a través del teorema de residuos.

Definición

El residuo de una función meromorfa ${displaystyle f}$ en una singularidad aislada ${displaystyle a}$, a menudo denotado ${displaystyle operatorname {Res} (f,a)}$, ${displaystyle operatorname {Res} _{a}(f)}$, ${displaystyle mathop {fnMiembro {Res} _{z=a}f(z)}$ o ${displaystyle mathop {operatorname {res} _{z=a}f(z)}$, es el valor único ${displaystyle R.$ tales que ${displaystyle f(z)-R/(z-a)}$ tiene un antiderivativo analítico en un disco pinchado ${displaystyle 0 madevert z-avert$.

Alternativamente, los residuos se pueden calcular encontrando expansiones de series de Laurent, y se puede definir el residuo como el coeficiente a₋₁ de una serie de Laurent.

La definición de residuos se puede generalizar a superficies arbitrarias Riemann. Suppose ${displaystyle omega }$ es una forma 1 sobre una superficie Riemann. Vamos ${displaystyle omega }$ ser meromorfo en algún momento ${displaystyle x}$, para que podamos escribir ${displaystyle omega }$ en las coordenadas locales como ${displaystyle f(z);dz}$. Entonces, el residuo de ${displaystyle omega }$ a ${displaystyle x}$ se define como el residuo de ${displaystyle f(z)}$ en el punto correspondiente ${displaystyle x}$.

Ejemplos

Residuo de un monomio

Calcular el residuo de un monomio

${displaystyle oint _{C}z^{k},dz}$

hace que la mayoría de los cálculos de residuos sea fácil de hacer. Puesto que las computaciones integrales del camino son invariantes homotopy, vamos a dejar ${displaystyle C}$ ser el círculo con radio ${displaystyle 1}$. Luego, usando el cambio de coordenadas ${displaystyle zto e^{itheta }$ encontramos que

${displaystyle dzto d(e^{itheta)=ie^{itheta },dtheta }$

por lo tanto, nuestra integral ahora se lee como

${displaystyle oint _{2pi}ie^{i(k+1)theta },dtheta ={begin{cases}2pi i {texto{if }k=-1,$