Representación fundamental

En la teoría de la representación de grupos de Lie y álgebras de Lie, una representación fundamental es una representación irreducible de dimensión finita de un grupo de Lie semisimple. o álgebra de Lie cuyo peso más alto es un peso fundamental. Por ejemplo, el módulo definitorio de un grupo de Lie clásico es una representación fundamental. Cualquier representación irreducible de dimensión finita de un grupo de Lie semisimple o álgebra de Lie se puede construir a partir de las representaciones fundamentales mediante un procedimiento debido a Élie Cartan. Así, en cierto sentido, las representaciones fundamentales son los bloques de construcción elementales para representaciones arbitrarias de dimensión finita.

Ejemplos

• En el caso del grupo lineal general, todas las representaciones fundamentales son productos exteriores del módulo de definición.
• En el caso del grupo unitario especial SU(n), el n− 1 representaciones fundamentales son los productos de cuña ${displaystyle operatorname {} {fn} {fn} {fn}} {fn}}} {cHFF}}} {cH00}} {fn}}} {cHFF}}}}} {fn}} {cHFF}}}} {cHFF}}}} {cHFF}}}}} {}}}}}}} {\\cH}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\cH}cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\cH}cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\cH}cHcH}}}}}}}cH}cH}cH}cH}cH}}}}}}}}}}}}}}}$ que consiste en los tensores alternados, para k= 1, 2,...n− 1.
• La representación de la doble cubierta de un grupo ortogonal impar, el grupo de giro impar, y las dos representaciones medias de la doble cubierta de un grupo ortogonal uniforme, el incluso grupo de espina dorsal, son representaciones fundamentales que no se pueden realizar en el espacio de los tensores.
• La representación conjunta del sencillo grupo Lie de tipo E8 es una representación fundamental.

Explicación

Las representaciones irreductibles de un grupo de Lie compacto simplemente conectado están indexadas por sus pesos más altos. Estos pesos son los puntos de la red en una orthant Q₊ en la red de pesos del grupo de Lie que consta de los pesos integrales dominantes. Se puede probar que existe un conjunto de pesos fundamentales, indexados por los vértices del diagrama de Dynkin, de modo que cualquier peso integral dominante es una combinación lineal entera no negativa de los pesos fundamentales. Las correspondientes representaciones irreductibles son las representaciones fundamentales del grupo de Lie. De la expansión de un peso dominante en términos de los pesos fundamentales se puede tomar un producto tensorial correspondiente de las representaciones fundamentales y extraer una copia de la representación irreducible correspondiente a ese peso dominante.

Otros usos

Fuera de la teoría de Lie, el término representación fundamental a veces se usa de manera vaga para referirse a una representación fiel de dimensión más pequeña, aunque a menudo también se la denomina estándar o < i>definir la representación (un término que se refiere más a la historia, que a tener un significado matemático bien definido).