Representación del espacio de estados

En ingeniería de control, detección de fallas basada en modelos e identificación de sistemas, una representación de espacio de estados es un modelo matemático de un sistema físico especificado como un conjunto de entradas, salidas y variables relacionadas por primer orden (sin incluir segundas derivadas) ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias. Estas variables, denominadas variables de estado, evolucionan con el tiempo de una manera que depende de los valores que tienen en un instante dado y de los valores impuestos externamente de las variables de entrada. Los valores de las variables de salida dependen de los valores de las variables de estado.

El espacio de estados o espacio de fases es el espacio geométrico en el que las variables en los ejes son las variables de estado. El estado del sistema se puede representar como un vector, el vector de estado, dentro del espacio de estados.

Si el sistema dinámico es lineal, invariante y finito-dimensional, entonces las ecuaciones diferenciales y algebraicas pueden ser escritas en forma de matriz. El método del espacio-estado se caracteriza por la algebraización significativa de la teoría del sistema general, lo que hace posible utilizar las estructuras vectorial-matrix Kronecker. La capacidad de estas estructuras se puede aplicar eficientemente a los sistemas de investigación con modulación o sin ella. La representación del espacio-estado (también conocida como el "aspecto de tiempo-dominio") proporciona una manera conveniente y compacta de modelar y analizar sistemas con múltiples entradas y salidas. Con ${displaystyle p}$ insumos y ${displaystyle q}$ productos, de lo contrario tendríamos que escribir ${displaystyle qtimes p}$ Laplace se transforma para codificar toda la información sobre un sistema. A diferencia del enfoque de dominio de frecuencia, el uso de la representación del espacio-estado no se limita a sistemas con componentes lineales y cero condiciones iniciales.

El modelo de espacio de estados se puede aplicar en materias como economía, estadística, informática e ingeniería eléctrica, y neurociencia. En econometría, por ejemplo, los modelos de espacio de estados se pueden utilizar para descomponer una serie de tiempo en tendencia y ciclo, componer indicadores individuales en un índice compuesto, identificar puntos de inflexión del ciclo económico y estimar el PIB utilizando series de tiempo latentes y no observadas. Muchas aplicaciones dependen del filtro de Kalman o de un observador de estado para producir estimaciones de las variables de estado desconocidas actuales utilizando sus observaciones anteriores.

Variables de estado

Las variables del estado interno son el subconjunto más pequeño posible de variables del sistema que pueden representar todo el estado del sistema en cualquier momento dado. El número mínimo de variables estatales requeridas para representar un sistema determinado, ${displaystyle n}$, es generalmente igual al orden de la ecuación diferencial que define el sistema, pero no necesariamente. Si el sistema está representado en forma de función de transferencia, el número mínimo de variables estatales es igual al orden del denominador de la función de transferencia después de haber sido reducido a una fracción adecuada. Es importante entender que la conversión de una realización del espacio-estado a un formulario de función de transferencia puede perder cierta información interna sobre el sistema, y puede proporcionar una descripción de un sistema que es estable, cuando la realización del espacio-estado es inestable en ciertos puntos. En los circuitos eléctricos, el número de variables estatales es a menudo, aunque no siempre, el mismo que el número de elementos de almacenamiento de energía en el circuito como condensadores e inductores. Las variables estatales definidas deben ser linealmente independientes, es decir, ninguna variable estatal puede ser escrita como una combinación lineal de las otras variables estatales, o el sistema no puede ser resuelto.

Sistemas lineales

La representación más general del espacio-estado de un sistema lineal con ${displaystyle p}$ entradas, ${displaystyle q}$ productos y productos ${displaystyle n}$ variables estatales se escriben en el siguiente formulario:

${fnMitbf {fnK} {fnMitbf {cHFF} {cHFF}(t)=mtbf {}(t)+mtbf {B} (t)mbf {u} (t)}$

${displaystyle mathbf {y} (t)=mathbf {C} (t)mathbf {x} (t)+mathbf {D} (t)mathbf {u} (t)}$

donde:

${displaystyle mathbf {x} (cdot)}$ se llama "el vector del estado", ${displaystyle mathbf {x} (t)in mathbb {R} ^{n}$;

${displaystyle mathbf {y} (cdot)}$ se llama "el vector de salida", ${displaystyle mathbf {y} (t)in mathbb {R} ^{q}$;

${displaystyle mathbf {u} (cdot)}$ se llama el vector de entrada (o control) ${displaystyle mathbf {u} (t)in mathbb {R} ^{p}$;

${displaystyle mathbf {A} (cdot)}$ es la matriz "estado (o sistema)", ${displaystyle dim[mathbf {A} (cdot)]=ntimes n}$,

${displaystyle mathbf {B} (cdot)}$ es la " matriz de entrada", ${displaystyle dim[mathbf {B} (cdot)]=ntimes p}$,

${displaystyle mathbf {C} (cdot)}$ es la " matriz de salida", ${displaystyle dim[mathbf {C}]=qtimes n}$,

${displaystyle mathbf {D} (cdot)}$ es la matriz "feedthrough (o feedforward)" (en los casos en que el modelo del sistema no tiene un avance directo, ${displaystyle mathbf {D} (cdot)}$ es la matriz cero), ${displaystyle dim[mathbf {D}]=qtimes p}$,

${fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué?$.

En esta formulación general se permite que todas las matrices sean variables de tiempo (es decir, sus elementos pueden depender del tiempo); sin embargo, en el caso común de LTI, las matrices serán invariantes de tiempo. La variable de tiempo ${displaystyle t}$ puede ser continuo (por ejemplo. ${displaystyle tin mathbb {R}$) o discreto (por ejemplo. ${displaystyle tin mathbb {Z}$). En este último caso, la variable de tiempo ${displaystyle k}$ se utiliza generalmente en lugar de ${displaystyle t}$. Los sistemas híbridos permiten dominios de tiempo que tienen partes continuas y discretas. Dependiendo de las suposiciones hechas, la representación del modelo estatal-espacio puede asumir las siguientes formas:

Tipo de sistema	Modelo estatal y espacial
Tiempo continuo invariable	${displaystyle { dot {mhbf {x}}(t)=mathbf {A} mathbf {x} (t)+mathbf {B} mathbf {u} (t)}$ ${displaystyle mathbf {y} (t)=mathbf {C} mathbf {x} (t)+mathbf {D} mathbf {u} (t)}$
Tiempo continuo-variante	${fnMitbf {fnK} {fnMitbf {cHFF} {cHFF}(t)=mtbf {}(t)+mtbf {B} (t)mbf {u} (t)}$ ${displaystyle mathbf {y} (t)=mathbf {C} (t)mathbf {x} (t)+mathbf {D} (t)mathbf {u} (t)}$
Explicit discrete time-invariant	${displaystyle mathbf {x} (k+1)=mathbf {A} mathbf {x} (k)+mathbf {B} mathbf {u} (k)}$ ${displaystyle mathbf {y} (k)=mathbf {C} mathbf {x} (k)+mathbf {D} mathbf {u} (k)}$
Explicit discrete time-variant	${displaystyle mathbf {x} (k+1)=mathbf {A} (k)mathbf {x} (k)+mathbf {B} (k)mathbf {u} (k)}$ ${displaystyle mathbf {y} (k)=mathbf {C} (k)mathbf {x} (k)+mathbf {D} (k)mathbf {u} (k)}$
Dominio de lugar de tiempo invariable continuo	${displaystyle smathbf {X} (s)-mathbf {x} (0)=mathbf {A} mathbf {X} (s)+mathbf {B} mathbf {U} (s)}$ ${displaystyle mathbf {Y} (s)=mathbf {C} mathbf {X} (s)+mathbf {D} mathbf {U} (s)}$
Z-dominio de tiempo discreto invariante	${displaystyle zmathbf {X} (z)-zmathbf {x} (0)=mathbf {A} mathbf {X} (z)+mathbf {B} mathbf {U} (z)}$ ${displaystyle mathbf {Y} (z)=mathbf {C} mathbf {X} (z)+mathbf {D} mathbf {U} (z)}$

Ejemplo: caso LTI de tiempo continuo

Las características de estabilidad y respuesta natural de un sistema LTI continuo (es decir, lineal con matrices que son constantes con respecto al tiempo) se pueden estudiar a partir de los eigenvalues de la matriz ${displaystyle mathbf {A}$. La estabilidad de un modelo estatal-espacial invariable puede determinarse mirando la función de transferencia del sistema en forma factorizada. Entonces se verá algo así:

${displaystyle {textbf {G}(s)=k{frac {(s-z_{1})(s-z_{2}(s-z_{3})}{(s-p_{1})(s-p_{2})(s-p_{3})} {4}}}}$

El denominador de la función de transferencia es igual al polinomio característico encontrado por tomar el determinante ${displaystyle smathbf {I} -mathbf {A}$,

${displaystyle lambda (s)= vidasmathbf - Mathbf {A} Silencio.$

Las raíces de este polinomio (los valores propios) son los polos de la función de transferencia del sistema (es decir, las singularidades donde la magnitud de la función de transferencia es ilimitada). Estos polos se pueden utilizar para analizar si el sistema es asintóticamente estable o marginalmente estable. Un enfoque alternativo para determinar la estabilidad, que no implica calcular valores propios, es analizar la estabilidad de Lyapunov del sistema.

Los ceros encontrados en el numerador de ${displaystyle {textbf}(s)}$ también se puede utilizar para determinar si el sistema es la fase mínima.

El sistema aún puede ser estable de entrada y salida (ver BIBO estable) aunque no sea internamente estable. Este puede ser el caso si los polos inestables se cancelan con ceros (es decir, si esas singularidades en la función de transferencia son eliminables).

Controlabilidad

La condición de controlabilidad del estado implica que es posible, mediante entradas admisibles, dirigir los estados desde cualquier valor inicial a cualquier valor final dentro de una ventana de tiempo finita. Un modelo de espacio de estados lineal continuo e invariante en el tiempo es controlable si y sólo si

${displaystyle operatorname {begin{bmatrix}mathbf {B} > Mathbf {A} mathbf {B} {A} {2}mathbf {B} < 'cdots > {A} ^{n-1}mathbf {B} end{bmatrix}=n,}$

donde rango es el número de filas linealmente independientes en una matriz y donde n es el número de variables de estado.

Observabilidad

La observabilidad es una medida de qué tan bien se pueden inferir los estados internos de un sistema mediante el conocimiento de sus resultados externos. La observabilidad y controlabilidad de un sistema son duales matemáticos (es decir, como la controlabilidad proporciona que esté disponible una entrada que lleva cualquier estado inicial a cualquier estado final deseado, la observabilidad establece que conocer una trayectoria de salida proporciona suficiente información para predecir el estado inicial del sistema).).

Un modelo de espacio de estados lineal continuo e invariante en el tiempo es observable si y sólo si

${displaystyle operatorname {begin{bmatrix}mathbf {C} \Mathbf {C} mathbf {A} \vdots \Mathbf {C} mathbf {A} ^{n-1}end{bmatrix}=n.}$

Función de transferencia

La "función de transferencia" de un modelo de espacio de estados lineal continuo e invariante en el tiempo se puede derivar de la siguiente manera:

Primero, tomando la transformada de Laplace de

${displaystyle { dot {mhbf {x}}(t)=mathbf {A} mathbf {x} (t)+mathbf {B} mathbf {u} (t)}$

rendimiento

${displaystyle smathbf {X} (s)-mathbf {x} (0)=mathbf {A} mathbf {X} (s)+mathbf {B} mathbf {U} (s).}$

A continuación, simplificamos para ${displaystyle mathbf {X} (s)}$, dar

${displaystyle (smathbf {I} -mathbf {A})mathbf {X} (s)=mathbf {x} (0)+mathbf {B} mathbf {U} (s)}$

y por lo tanto

${displaystyle mathbf {X} (s)=(smathbf {I} -mathbf {A})^{-1}mathbf {x} (0)+(s) {I} -mathbf {A})}mathbf {B} mathbf {U} (s)}$

Sustitución ${displaystyle mathbf {X} (s)}$ en la ecuación de salida

${displaystyle mathbf {Y} (s)=mathbf {C} mathbf {X} (s)+mathbf {D} mathbf {U} (s),}$

dar

${displaystyle mathbf {Y} (s)=mathbf {C} (smathbf {I} -mathbf {A})}mathbf {x} (0)+(s) {I} -mathbf {A})^{-1}mathbf {B} mathbf {U} (s)+mathbf {D} mathbf {U} (s)}$

Asumiendo cero condiciones iniciales ${displaystyle mathbf {x} (0)=mathbf {0}$ y un sistema de salida única (SISO), la función de transferencia se define como la relación de salida y entrada ${displaystyle G(s)=Y(s)/U(s)}$. Sin embargo, para un sistema de salida múltiple (MIMO), esta relación no está definida. Por lo tanto, asumiendo cero condiciones iniciales, la matriz de función de transferencia se deriva de

${displaystyle mathbf {Y} (s)=mathbf {G} (s)mathbf {U} (s)}$

utilizando el método de equiparar los coeficientes que produce

${displaystyle mathbf {G} (s)=mathbf {C} (smathbf {I} -mathbf {A})}mathbf {B} +mathbf {D}$.

En consecuencia, ${displaystyle mathbf {G} (s)}$ es una matriz con la dimensión ${displaystyle qtimes p}$ que contiene funciones de transferencia para cada combinación de salida de entrada. Debido a la simplicidad de esta notación de matriz, la representación del estado-espacio se utiliza comúnmente para sistemas de entrada múltiple, de salida múltiple. La matriz del sistema Rosenbrock proporciona un puente entre la representación del espacio-estado y su función de transferencia.

Realizaciones canónicas

Cualquier función de transferencia dada que sea estrictamente adecuada se puede transferir fácilmente al espacio de estados mediante el siguiente enfoque (este ejemplo es para un sistema de 4 dimensiones, de una sola entrada y una sola salida):

Dada una función de transferencia, expándala para revelar todos los coeficientes tanto en el numerador como en el denominador. Esto debería resultar en la siguiente forma:

${displaystyle {textbf}(s)={frac {n_{1}s^{3}+n_{2}+n_{2}s+n_{4}{4}}{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}}}}}}}$

Los coeficientes ahora se pueden insertar directamente en el modelo de espacio de estados mediante el siguiente enfoque:

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft} {f} {cH0}} {f}cH0} {cH0} {0}cH0} {0}cH0} {0}cH0} {0}b}b}cH0} {cH0}cH0}cH00}cH0}cH0}cH0}cH0}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH0} {cH00}cH00}cH00}cH00} {cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}b}cH00}cH00}cH00}cH00}$

${displaystyle mathbf {y} (t)={begin{bmatrix}n_{4} limitn_{3} limitn_{2} {1}end{bmatrix}mathbf {x} (t).}$

Esta realización del espacio de estados se llama forma canónica controlable porque se garantiza que el modelo resultante será controlable (es decir, debido a que el control ingresa a una cadena de integradores, tiene la capacidad de mover cada estado).

Los coeficientes de la función de transferencia también se pueden utilizar para construir otro tipo de forma canónica

${begin{bmatrix}0 âTMa {dot} {f} {f}= {fncip {bmatrix}0 limit0 {d_{4}1}1}$