Representación de grupo

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En el campo matemático de la teoría de la representación, las representaciones de grupo describen grupos abstractos en términos de transformaciones lineales biyectivas de un espacio vectorial a sí mismo (es decir, automorfismos de espacio vectorial); en particular, se pueden usar para representar elementos de grupo como matrices invertibles, de modo que la operación de grupo se pueda representar mediante la multiplicación de matrices. Las representaciones de grupos son importantes porque permiten que muchos problemas de teoría de grupos se reduzcan a problemas de álgebra lineal, lo cual se entiende bien. También son importantes en física porque, por ejemplo, describen cómo el grupo de simetría de un sistema físico afecta las soluciones de las ecuaciones que describen ese sistema.

El término representación de un grupo también se usa en un sentido más general para referirse a cualquier "descripción" de un grupo como un grupo de transformaciones de algún objeto matemático. Más formalmente, una "representación" significa un homomorfismo del grupo al grupo de automorfismo de un objeto. Si el objeto es un espacio vectorial tenemos una representación lineal. Algunas personas usan realización para la noción general y reservan el término representación para el caso especial de las representaciones lineales. La mayor parte de este artículo describe la teoría de la representación lineal; ver la última sección para generalizaciones.

Ramas de la teoría de la representación de grupos

La teoría de la representación de grupos se divide en subteorías según el tipo de grupo representado. Las diversas teorías son bastante diferentes en los detalles, aunque algunas definiciones y conceptos básicos son similares. Las divisiones más importantes son:

Grupos finitos: las representaciones de grupo son una herramienta muy importante en el estudio de grupos finitos. También surgen en las aplicaciones de la teoría de grupos finitos a la cristalografía ya la geometría. Si el campo de escalares del espacio vectorial tiene la característica p, y si p divide el orden del grupo, entonces esto se llama teoría de representación modular; este caso especial tiene propiedades muy diferentes. Ver Teoría de la representación de grupos finitos.
Grupos compactos o grupos localmente compactos: muchos de los resultados de la teoría de representación de grupos finitos se prueban promediando sobre el grupo. Estas pruebas se pueden trasladar a grupos infinitos reemplazando el promedio con una integral, siempre que se pueda definir una noción aceptable de integral. Esto se puede hacer para grupos localmente compactos, utilizando la medida de Haar. La teoría resultante es una parte central del análisis armónico. La dualidad de Pontryagin describe la teoría de los grupos conmutativos, como una transformada de Fourier generalizada. Ver también: teorema de Peter-Weyl.
Grupos de Lie: muchos grupos de Lie importantes son compactos, por lo que se les aplican los resultados de la teoría de la representación compacta. También se utilizan otras técnicas específicas de los grupos de Lie. La mayoría de los grupos importantes en física y química son grupos de Lie, y su teoría de representación es crucial para la aplicación de la teoría de grupos en esos campos. Consulte Representaciones de grupos de Lie y Representaciones de álgebras de Lie.
Grupos algebraicos lineales (o más generalmente esquemas de grupos afines): estos son los análogos de los grupos de Lie, pero en campos más generales que solo R o C. Aunque los grupos algebraicos lineales tienen una clasificación muy similar a la de los grupos de Lie y dan lugar a las mismas familias de álgebras de Lie, sus representaciones son bastante diferentes (y mucho menos comprendidas). Las técnicas analíticas utilizadas para estudiar los grupos de Lie deben ser reemplazadas por técnicas de geometría algebraica, donde la topología de Zariski relativamente débil causa muchas complicaciones técnicas.
Grupos topológicos no compactos: la clase de grupos no compactos es demasiado amplia para construir una teoría de representación general, pero se han estudiado casos especiales específicos, a veces utilizando técnicas ad hoc. Los grupos de Lie semisimples tienen una teoría profunda, construida sobre el caso compacto. Los grupos de Lie solubles complementarios no se pueden clasificar de la misma manera. La teoría general de los grupos de Lie trata de productos semidirectos de los dos tipos, mediante resultados generales denominados teoría de Mackey, que es una generalización de los métodos de clasificación de Wigner.

La teoría de la representación también depende en gran medida del tipo de espacio vectorial sobre el que actúa el grupo. Se distingue entre representaciones de dimensión finita y de dimensión infinita. En el caso de dimensión infinita, las estructuras adicionales son importantes (por ejemplo, si el espacio es o no un espacio de Hilbert, un espacio de Banach, etc.).

También se debe considerar el tipo de campo sobre el que se define el espacio vectorial. El caso más importante es el campo de los números complejos. Los otros casos importantes son el campo de números reales, campos finitos y campos de números p-ádicos. En general, los campos cerrados algebraicamente son más fáciles de manejar que los no cerrados algebraicamente. La característica del campo también es significativa; muchos teoremas para grupos finitos dependen de la característica del campo que no divide el orden del grupo.

Definiciones

Una representación de un grupo G en un espacio vectorial V sobre un campo K es un homomorfismo de grupo de G a GL(V), el grupo lineal general en V. Es decir, una representación es un mapa. $rho colon Gto mathrm {GL} (V)$

tal que $rho (g_{1}g_{2})=rho (g_{1})rho (g_{2}),qquad {text{para todos}}g_{1},g_{2} En g.$

Aquí V se llama el espacio de representación y la dimensión de V se llama la dimensión de la representación. Es una práctica común referirse a V en sí mismo como la representación cuando el homomorfismo es claro por el contexto.

En el caso de que V sea de dimensión finita n, es común elegir una base para V e identificar GL(V) con GL(n, K), el grupo de n -por- n matrices invertibles en el campo K.

Si G es un grupo topológico y V es un espacio vectorial topológico, una representación continua de G en V es una representación ρ tal que la aplicación Φ: G × V → V definida por Φ(g, v) = ρ (g)(v) es continua.
El núcleo de una representación ρ de un grupo G se define como el subgrupo normal de G cuya imagen bajo ρ es la transformación identidad:

$ker rho =left{gin Gmid rho (g)=mathrm {id} right}.$ Una representación fiel es aquella en la que el homomorfismo G → GL(V) es inyectivo; en otras palabras, uno cuyo núcleo es el subgrupo trivial { e } que consiste solo en el elemento de identidad del grupo.

Dados dos K espacios vectoriales V y W, se dice que dos representaciones ρ: G → GL(V) y π: G → GL(W) son equivalentes o isomorfas si existe un isomorfismo de espacio vectorial α: V → W tal que para todo g en G,

$alpha circ rho (g)circ alpha ^{-1}=pi (g).$

Ejemplos

Considere el número complejo u = e que tiene la propiedad u = 1. El grupo cíclico C ₃ = {1, u, u } tiene una representación ρ en $mathbb{C}^2$ dada por: $rho left(1right)={begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix}}qquad rho left(uright)={begin{bmatrix}1&0\0&u \end{bmatrix}}qquad rho left(u^{2}right)={begin{bmatrix}1&0\0&u^{2}\end{bmatrix}}.$

Esta representación es fiel porque ρ es un mapa uno a uno.

Otra representación para C ₃ en $mathbb{C}^2$ , isomorfa a la anterior, es σ dada por: ${displaystyle sigma left(1right)={begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix}}qquad sigma left(uright)={begin{bmatrix}u&0 \0&1\end{bmatrix}}qquad sigma left(u^{2}right)={begin{bmatrix}u^{2}&0\0&1\end{bmatrix}}.}$

El grupo C ₃ también puede estar fielmente representado $matemáticas {R} ^{2}$ por τ dado por: ${displaystyle tau left(1right)={begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix}}qquad tau left(uright)={begin{bmatrix}a& -b\b&a\end{bmatriz}}qquad tau left(u^{2}right)={begin{bmatriz}a&b\-b&a\end{bmatriz}}}$

donde $a={text{Re}}(u)=-{tfrac {1}{2}},qquad b={text{Im}}(u)={tfrac {sqrt {3}} {2}}.$

Otro ejemplo:

Sea $V$ el espacio de polinomios homogéneos de grado 3 sobre los números complejos en variables ${ estilo de visualización x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}.}$

Luego $S_{3}$ actúa $V$ por permutación de las tres variables.

Por ejemplo, $(12)$ envía ${ estilo de visualización x_ {1}^{3}}$ a ${ estilo de visualización x_ {2}^{3}}$ .

Reducibilidad

Un subespacio W de V que es invariante bajo la acción del grupo se llama subrepresentación. Si V tiene exactamente dos subrepresentaciones, a saber, el subespacio de dimensión cero y V mismo, entonces se dice que la representación es irreducible; si tiene una subrepresentación adecuada de dimensión distinta de cero, se dice que la representación es reducible. La representación de la dimensión cero se considera ni reducible ni irreducible, al igual que el número 1 no se considera ni compuesto ni primo.

Bajo el supuesto de que la característica del campo K no divide el tamaño del grupo, las representaciones de grupos finitos se pueden descomponer en una suma directa de subrepresentaciones irreducibles (ver el teorema de Maschke). Esto es válido en particular para cualquier representación de un grupo finito sobre los números complejos, ya que la característica de los números complejos es cero, que nunca divide el tamaño de un grupo.

En el ejemplo anterior, las dos primeras representaciones dadas (ρ y σ) se pueden descomponer en dos subrepresentaciones unidimensionales (dadas por span{(1,0)} y span{(0,1)}), mientras que la tercera representación (τ) es irreducible.

Generalizaciones

Representaciones teóricas de conjuntos

Una representación teórica de conjuntos (también conocida como acción de grupo o representación de permutación) de un grupo G en un conjunto X viene dada por una función ρ: G → X, el conjunto de funciones de X a X, tal que para todo g ₁, g ₂ en G y todo x en X: $rho (1)[x]=x$ ${displaystyle rho (g_{1}g_{2})[x]=rho (g_{1})[rho (g_{2})[x]],}$

donde $1$ es el elemento identidad de G. Esta condición y los axiomas para un grupo implican que ρ(g) es una biyección (o permutación) para todo g en G. Por lo tanto, podemos definir de manera equivalente una representación de permutación como un homomorfismo de grupo de G al grupo simétrico S _X de X.

Para obtener más información sobre este tema, consulte el artículo sobre acción grupal.

Representaciones en otras categorías

Cada grupo G puede verse como una categoría con un solo objeto; los morfismos en esta categoría son solo los elementos de G. Dada una categoría arbitraria C, una representación de G en C es un funtor de G a C. Tal funtor selecciona un objeto X en C y un homomorfismo de grupo de G a Aut(X), el grupo de automorfismos de X.

En el caso de que C sea Vect _K, la categoría de espacios vectoriales sobre un campo K, esta definición es equivalente a una representación lineal. Del mismo modo, una representación teórica de conjuntos es solo una representación de G en la categoría de conjuntos.

Cuando C es Ab, la categoría de los grupos abelianos, los objetos obtenidos se denominan G -módulos.

Para otro ejemplo, considere la categoría de espacios topológicos, Top. Las representaciones en Top son homomorfismos de G al grupo de homeomorfismos de un espacio topológico X.

Dos tipos de representaciones estrechamente relacionadas con las representaciones lineales son:

representaciones proyectivas: en la categoría de espacios proyectivos. Estos se pueden describir como "representaciones lineales hasta transformaciones escalares".
representaciones afines: en la categoría de espacios afines. Por ejemplo, el grupo euclidiano actúa con afinidad sobre el espacio euclidiano.

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