Representación de grupo

En el campo matemático de la teoría de la representación, las representaciones de grupo describen grupos abstractos en términos de transformaciones lineales biyectivas de un espacio vectorial a sí mismo (es decir, automorfismos de espacio vectorial); en particular, se pueden usar para representar elementos de grupo como matrices invertibles, de modo que la operación de grupo se pueda representar mediante la multiplicación de matrices. Las representaciones de grupos son importantes porque permiten que muchos problemas de teoría de grupos se reduzcan a problemas de álgebra lineal, lo cual se entiende bien. También son importantes en física porque, por ejemplo, describen cómo el grupo de simetría de un sistema físico afecta las soluciones de las ecuaciones que describen ese sistema.

El término representación de un grupo también se usa en un sentido más general para referirse a cualquier "descripción" de un grupo como un grupo de transformaciones de algún objeto matemático. Más formalmente, una "representación" significa un homomorfismo del grupo al grupo de automorfismo de un objeto. Si el objeto es un espacio vectorial tenemos una representación lineal. Algunas personas usan realización para la noción general y reservan el término representación para el caso especial de las representaciones lineales. La mayor parte de este artículo describe la teoría de la representación lineal; ver la última sección para generalizaciones.

La teoría de la representación de grupos se divide en subteorías según el tipo de grupo representado. Las diversas teorías son bastante diferentes en los detalles, aunque algunas definiciones y conceptos básicos son similares. Las divisiones más importantes son:

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