Relaciones Kramers-Kronig

Las relaciones de Kramers-Kronig son relaciones matemáticas bidireccionales que conectan las partes real e imaginaria de cualquier función compleja que sea analítica en el semiplano superior. Las relaciones se utilizan a menudo para calcular la parte real a partir de la parte imaginaria (o viceversa) de funciones de respuesta en sistemas físicos, porque para sistemas estables, la causalidad implica la condición de analiticidad y, a la inversa, la analiticidad implica la causalidad del correspondiente sistema físico estable. . La relación lleva el nombre de Ralph Kronig y Hans Kramers. En matemáticas, estas relaciones se conocen con los nombres de teorema de Sokhotski-Plemelj y transformada de Hilbert.

Formulación

Vamos. ${\displaystyle \chi (\omega)=\chi _{1}(\omega)+i\chi _{2}(\omega)}$ ser una función compleja de la variable compleja ${\displaystyle \omega }$, donde ${\displaystyle \chi _{1}(\omega)}$ y ${\displaystyle \chi _{2}(\omega)}$ son reales. Supongamos que esta función es analítica en el medio plano superior cerrado ${\displaystyle \omega }$ y tiende a ${\displaystyle 0}$ como ${\displaystyle TENEDO\omega ANTE LAS RESPUESTAS$. Las relaciones Kramer-Kronig son dadas por

$${\displaystyle \chi _{1}(\omega)={\frac {1}{\pi ♪♪♪ ################################################################################################################################################################################################################################################################$$

$${\displaystyle \chi _{2}(\omega)=-{\frac {1}{\pi ♪♪♪ ################ {\infty}{\infty {\frac {\chi _{1} {\omega '}{\omega '-\omega }\,d\omega ',}$$

${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\fncipal}}$

Derivación

La prueba comienza con una aplicación del teorema de residuos de Cauchy para la integración compleja. Dada cualquier función analítica ${\displaystyle \chi }$ en el medio plano superior cerrado, la función ${\displaystyle \omega '\mapsto \chi (\omega ')/(\omega '-\omega)}$, donde ${\displaystyle \omega }$ es real, es analítico en el medio plano superior (abierto). En consecuencia, el teorema de residuos establece que

$${\displaystyle\oint {\frac {\fnMiega}{\omega '-\omega }\,d\omega '=0'$$

${\displaystyle \omega '=\omega }$

${\displaystyle Silencio\omega 'sobreviviente'$

${\displaystyle {\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }$

${\displaystyle 1/tención\omega 'pretensión'$

$${\displaystyle 0=\oint {\frac\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }\,d\omega '={\mathcal {\fnK}\fnK} {\fnK}{\infty }{\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }\,d\omega '-i\pi \chi (\omega). }$$

El segundo término de la última expresión se obtiene utilizando la teoría de residuos, más específicamente, el teorema de Sokhotski-Plemelj. Reordenando, llegamos a la forma compacta de las relaciones Kramers-Kronig:

$${\displaystyle \chi (\omega)={\frac {1}{i\pi ♪♪♪ {\fnK} {\fnK}{\infty}{\infty}{\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }\,d\omega '}$$

El soltero ${\displaystyle i}$ en el denominador realiza la conexión entre los componentes reales e imaginarios. Finalmente, división ${\displaystyle \chi (\omega)}$ y la ecuación en sus partes reales e imaginarias para obtener las formas citadas anteriormente.

Interpretación física y forma alternativa

El formalismo Kramers-Kronig se puede aplicar a las funciones de respuesta. En ciertos sistemas físicos lineales, o en campos de ingeniería como el procesamiento de señales, la función de respuesta ${\displaystyle \chi (t-t')}$ describe cómo algunos bienes dependientes del tiempo ${\displaystyle P(t)}$ de un sistema físico responde a una fuerza impulsora ${\displaystyle F(t)}$ a la vez ${\displaystyle t'.}$ Por ejemplo, ${\displaystyle P(t)}$ podría ser el ángulo de un péndulo y ${\displaystyle F(t)}$ la fuerza aplicada de un motor que conduce el movimiento péndulo. La respuesta ${\displaystyle \chi (t-t')}$ debe ser cero para ${\displaystyle t madet}$ ya que un sistema no puede responder a una fuerza antes de que se aplique. Se puede mostrar (por ejemplo, invocando el teorema de Titchmarsh) que esta condición de causalidad implica que la transformación de Fourier ${\displaystyle \chi (\omega)}$ de ${\displaystyle \chi (t)}$ es analítico en el medio plano superior. Además, si el sistema está sujeto a una fuerza oscilatoria con una frecuencia mucho mayor que su frecuencia de resonancia más alta, casi no habrá tiempo para que el sistema responda antes de que el forzamiento haya cambiado de dirección, y por lo tanto la respuesta de frecuencia ${\displaystyle \chi (\omega)}$ convergerán a cero como ${\displaystyle \omega }$ se vuelve muy grande. De estas consideraciones físicas, resulta que ${\displaystyle \chi (\omega)}$ por lo general satisfacer las condiciones necesarias para las relaciones Kramers-Kronig.

La parte imaginaria de una función de respuesta describe cómo un sistema disipa energía, ya que está en fase con la fuerza impulsora. Las relaciones Kramers-Kronig implican que observar la respuesta disipativa de un sistema es suficiente para determinar su respuesta desfasada (reactiva), y viceversa.

Las integrales funcionan desde ${\displaystyle -\infty$ a ${\displaystyle \infty }$, implicando que sabemos la respuesta en frecuencias negativas. Afortunadamente, en la mayoría de los sistemas físicos, la respuesta de frecuencia positiva determina la respuesta de frecuencia negativa porque ${\displaystyle \chi (\omega)}$ es la transformación Fourier de una respuesta de valor real ${\displaystyle \chi (t)}$. Haremos esta suposición de aquí en adelante.

En consecuencia, ${\displaystyle \chi (-\omega)=\chi ^{*}(\omega)}$. Esto significa ${\displaystyle \chi _{1}(\omega)}$ es una función uniforme de frecuencia y ${\displaystyle \chi _{2}(\omega)}$ Es extraño.

Usando estas propiedades, podemos colapsar los rangos de integración para ${\displaystyle [0,\infty]$. Considere la primera relación, que da la parte real ${\displaystyle \chi _{1}(\omega)}$. Transformamos la integral en una de paridad definida multiplicando el numerador y el denominador del integrado por ${\displaystyle \omega '+\omega }$ y separación:

$${\displaystyle \chi _{1}(\omega)={1 \over \pi }{\mathcal ######### _{-\infty }{\infty }{\omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}\,d\omega '+{\omega \over \pi }{\mathcal ######### _{\infty }{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}\,d\omega '}$$

Desde ${\displaystyle \chi _{2}(\omega)}$ es extraño, la segunda integral desaparece, y nos quedamos con

$${\displaystyle \chi _{1}(\omega)={2 \over \pi }{\mathcal {P}\fnK}\fnMiega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}\2}\,d\omega '}$$

La misma derivación para la parte imaginaria da

$${\displaystyle \chi _{2}(\omega)=-{2 \over \pi }{\mathcal {P}\fnK}\cH00\cH00} {\cH00} {\fn0}\mega \chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}\,d\omega '=-{2\omega \over \pi }{\mthcal {P}\fnMiega '\fnMiega '\cH00}\m2}\,d\omega '.$$

Estas son las relaciones Kramers-Kronig en una forma que es útil para funciones de respuesta físicamente realistas.

Prueba relacionada desde el dominio del tiempo

Hu, Hall y Heck dan una prueba relacionada y posiblemente más intuitiva que evita la integración de contornos. Se basa en los hechos que:

• Una respuesta de impulso causal se puede expresar como la suma de una función uniforme y una función extraña, donde la función extraña es la función incluso multiplicada por la función de signo.
• Las partes uniformes e impares de una forma de onda de dominio de tiempo corresponden a las partes reales e imaginarias de su integral Fourier, respectivamente.
• Multiplicación por la función de signo en el dominio del tiempo corresponde a la transformación de Hilbert (es decir, la convolución por el kernel de Hilbert ${\displaystyle 1/\pi \omega }$) en el dominio de frecuencia.

La combinación de las fórmulas proporcionadas por estos hechos produce las relaciones Kramers-Kronig. Esta prueba cubre un terreno ligeramente diferente de la anterior en el sentido de que relaciona las partes real e imaginaria en el dominio de la frecuencia de cualquier función que sea causal en el dominio del tiempo, ofreciendo un enfoque algo diferente de la condición de analiticidad en el semiplano superior de el dominio de la frecuencia.

También está disponible un artículo con una versión ilustrada e informal de esta prueba.

Relación magnitud (ganancia)-fase

La forma convencional de Kramers-Kronig anterior relaciona la parte real y la imaginaria de una función de respuesta compleja. Un objetivo relacionado es encontrar una relación entre la magnitud y la fase de una función de respuesta compleja.

En general, lamentablemente, la fase no se puede predecir únicamente a partir de la magnitud. Un ejemplo simple de esto es un retardo de tiempo puro de tiempo T, que tiene amplitud 1 en cualquier frecuencia independientemente de T, pero tiene una fase que depende de T (específicamente, fase = 2π × T × frecuencia).

Sin embargo, existe una relación única entre amplitud y fase en el caso especial de un sistema de fase mínima, a veces denominada relación ganancia-fase de Bode. Los términos Relaciones de Bayard-Bode y Teorema de Bayard-Bode, basados en los trabajos de Marcel Bayard (1936) y Hendrik Wade Bode (1945), también se utilizan para los Kramer- Relaciones de Kronig en general o la relación amplitud-fase en particular, particularmente en los campos de las telecomunicaciones y la teoría del control.

Aplicaciones en física

Índice de refracción complejo

Las relaciones Kramer-Kronig se utilizan para relacionar las porciones reales e imaginarias para el complejo índice refractivo ${\displaystyle {\fn}=n+i\kappa }$ de un medio, donde ${\displaystyle \kappa }$ es el coeficiente de extinción. Por lo tanto, en efecto, esto también se aplica para la compleja relativa permitibilidad y susceptibilidad eléctrica.

Actividad óptica

Las relaciones Kramers-Kronig establecen una conexión entre la dispersión rotatoria óptica y el dicroísmo circular.

Magnetoóptica

Las relaciones Kramers-Kronig permiten soluciones exactas de problemas de dispersión no triviales, que encuentran aplicaciones en la magnetoóptica.

Espectroscopia electrónica

En espectroscopia de pérdida de energía de electrones, el análisis de Kramers-Kronig permite calcular la dependencia energética de las partes real e imaginaria de la permitividad óptica de la luz de un espécimen, junto con otras propiedades ópticas como el coeficiente de absorción y la reflectividad.

En resumen, midiendo el número de electrones de alta energía (por ejemplo, 200 keV) que pierden una determinada cantidad de energía al atravesar una muestra muy delgada (aproximación de dispersión única), se puede calcular la parte imaginaria de la permitividad a esa energía. Utilizando estos datos con el análisis de Kramers-Kronig, también se puede calcular la parte real de la permitividad (en función de la energía).

Esta medición se realiza con electrones, en lugar de con luz, y se puede realizar con una resolución espacial muy alta. De este modo se podrían, por ejemplo, buscar bandas de absorción ultravioleta (UV) en una muestra de laboratorio de polvo interestelar de menos de 100 nm de diámetro, es decir, demasiado pequeñas para la espectroscopia UV. Aunque la espectroscopia electrónica tiene una resolución de energía peor que la espectroscopia de luz, en el mismo experimento se pueden registrar datos sobre propiedades en los rangos espectrales visible, ultravioleta y de rayos X suaves.

En la espectroscopia de fotoemisión con resolución angular, las relaciones de Kramers-Kronig se pueden utilizar para vincular las partes real e imaginaria de la autoenergía de los electrones. Esto es característico de la interacción de muchos cuerpos que experimenta el electrón en el material. Ejemplos notables se encuentran en los superconductores de alta temperatura, donde se observan torceduras correspondientes a la parte real de la autoenergía en la dispersión de la banda y también se observan cambios en el ancho del MDC correspondientes a la parte imaginaria de la autoenergía.

Dispersión hadrónica

Las relaciones Kramers-Kronig también se utilizan bajo el nombre de "relaciones integrales de dispersión" con referencia a la dispersión hadrónica. En este caso, la función es la amplitud de dispersión. Mediante el uso del teorema óptico, la parte imaginaria de la amplitud de dispersión se relaciona con la sección transversal total, que es una cantidad físicamente mensurable.

Dispersión de electrones

De manera similar a la dispersión hadrónica, las relaciones de Kramers-Kronig se emplean en la dispersión de electrones de alta energía. En particular, entran en la derivación de la regla de la suma de Gerasimov-Drell-Hearn.

Geofísica

Para la propagación de ondas sísmicas, la relación Kramer-Kronig ayuda a encontrar la forma correcta del factor de calidad en un medio atenuante.

Espectroscopia de impedancia electroquímica

La prueba de Kramers-Kronig se utiliza en aplicaciones de baterías y pilas de combustible (espectroscopia dieléctrica) para comprobar la linealidad, la causalidad y la estacionariedad. Dado que en la práctica no es posible obtener datos en todo el rango de frecuencias, como requiere la fórmula de Kramers-Kronig, necesariamente se realizan aproximaciones.

En frecuencias altas (> 1 MHz), generalmente es seguro asumir que la impedancia está dominada por la resistencia óhmica del electrolito, aunque a menudo se observan artefactos de inductancia.

A bajas frecuencias, la prueba KK se puede utilizar para verificar si los datos experimentales son confiables. En la práctica con baterías, los datos obtenidos con experimentos de duración inferior a un minuto normalmente no pasan la prueba para frecuencias inferiores a 10 Hz. Por lo tanto, se debe tener cuidado al interpretar dichos datos.

En la práctica de electroquímica, debido al rango de frecuencia finito de los datos experimentales, se utiliza la relación Z-HIT en lugar de las relaciones de Kramers-Kronig. A diferencia de Kramers-Kronig (que está escrito para un rango de frecuencia infinito), la integración Z-HIT requiere solo un rango de frecuencia finito. Además, Z-HIT es más robusto con respecto al error en Re e Im de impedancia, ya que su precisión depende principalmente de la exactitud de los datos de fase.