Relación reflexiva

Relaciones binarias transitivas v t e
Simétrico Antisymmetric Conectado Bien fundada Has joineds Has meets Reflexivo Irreflexivo Asimétrica Total, Semiconnex Anti- reflexivo Equivalencia relación Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Preorden (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Orden parcial ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total preordenado ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Orden total ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Bien ordenado ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Bien ordenado ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Lattice ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Join-semilattice ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Orden parcial estricta ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Orden débil estricto ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Orden total estricta ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Simétrico Antisymmetric Conectado Bien fundada Has joineds Has meets Reflexivo Irreflexivo Asimétrica Definiciones, para todos a,b{displaystyle a,b} y Sل ل ∅ ∅ :{displaystyle Sneq varnothing:} aRb⇒ ⇒ bRa{displaystyle {begin{aligned}ducaRb\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}}}}} aRbybRa⇒ ⇒ a=b{displaystyle {begin{aligned}aRb{text{ and } {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}} aل ل b⇒ ⇒ aRbobRa{displaystyle {begin{aligned}aneq {} {fn}} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}}} {fn}}}}}} {fn}}}} minSexiste{displaystyle {begin{aligned}min} S\{text{exists}end{aligned}} aAlternativa Alternativa bexiste{displaystyle {begin{aligned}avee b{text{exists}end{aligned}}} a∧ ∧ bexiste{displaystyle {begin{aligned}awedge b\{text{exists}end{aligned}}} aRa{displaystyle aRa} noaRa{displaystyle {text{not }a Ra. aRb⇒ ⇒ nobRa{displaystyle {begin{aligned}aRb Rightarrow Raend{aligned}}
Y indica que la propiedad de la columna es siempre verdad el término de la fila (a la izquierda), mientras que ✗ indica que la propiedad no está garantizada en general (puede, o no, mantener). Por ejemplo, que cada relación de equivalencia es simétrica, pero no necesariamente antisimétrica, se indica por Y en la columna "Simétrica" y ✗ en la columna "Antisimétrica", respectivamente. Todas las definiciones requieren tácitamente la relación homogénea R{displaystyle R. ser transitivo: para todos a,b,c,{displaystyle a,b,c,} si aRb{displaystyle ARb! y bRc{displaystyle bRc} entonces aRc.{displaystyle aRc.} La definición de un término puede requerir propiedades adicionales que no se enumeran en esta tabla.

En matemáticas, una relación binaria R sobre un conjunto X es reflexiva si relaciona todos los elementos de X a sí mismo.

Un ejemplo de una relación reflexiva es la relación "es igual a" en el conjunto de los números reales, ya que todo número real es igual a sí mismo. Se dice que una relación reflexiva tiene la propiedad reflexiva o se dice que posee reflexividad. Junto con la simetría y la transitividad, la reflexividad es una de las tres propiedades que definen las relaciones de equivalencia.

Definiciones

Vamos R{displaystyle R. ser una relación binaria en un conjunto X,{displaystyle X. que por definición es sólo un subconjunto X× × X.{displaystyle Xtimes X.} Para cualquier x,Sí.▪ ▪ X,{displaystyle x,yin X,} la notación xRSí.{displaystyle xRy} significa que ()x,Sí.)▪ ▪ R{displaystyle (x,y)in R} mientras que "no" xRSí.{displaystyle xRy}" significa que ()x,Sí.)∉R.{displaystyle (x,y)not in R.}

La relación R{displaystyle R. se llama reflexivo si xRx{displaystyle xRx} para todos x▪ ▪ X{displaystyle xin X} o equivalente, si IX⊆ ⊆ R{displaystyle operatorname [I] _{X}subseteq R} Donde IX:={}()x,x):x▪ ▪ X}{displaystyle operatorname [I] _{X}:={(x,x)~:~xin X} denota la relación de identidad X.{displaystyle X.} El cierre reflexivo de R{displaystyle R. es el sindicato R∪ ∪ IX,{displaystyle Rcup operatorname {I} _{X},} que puede definirse equivalentemente como el más pequeño (con respecto a ⊆ ⊆ {displaystyle subseteq }) relación reflexiva sobre X{displaystyle X} que es un superset R.{displaystyle R. A relation R{displaystyle R. es reflexivo si es igual a su cierre reflexivo.

El reducción reflexiva o núcleo irreflexivo de R{displaystyle R. es el más pequeño (con respecto a ⊆ ⊆ {displaystyle subseteq }) relación sobre X{displaystyle X} que tiene el mismo cierre reflexivo R.{displaystyle R. Es igual a R∖ ∖ IX={}()x,Sí.)▪ ▪ R:xل ل Sí.}.{displaystyle Rsetminus operatorname [I] _{X}={(x,y)in R~:~xneq y} El núcleo irreflexivo R{displaystyle R. puede, en cierto sentido, ser visto como una construcción que es la "opposita" del cierre reflexivo R.{displaystyle R. Por ejemplo, el cierre reflexivo de la estricta desigualdad canónica <math alttext="{displaystyle .{displaystyle]<img alt=" en los reales R{displaystyle mathbb {R} es la desigualdad habitual sin restricciones ≤ ≤ {displaystyle leq } mientras que la reducción reflexiva ≤ ≤ {displaystyle leq } es <math alttext="{displaystyle ..{displaystyle }<img alt="{displaystyle

Definiciones relacionadas

Hay varias definiciones relacionadas con la propiedad reflexiva. La relación R{displaystyle R. se llama:

Irreflexivo, Anti-reflexivo o Aliorelative

Si no se relaciona ningún elemento a sí mismo; es decir, si no xRx{displaystyle xRx} para todos x▪ ▪ X.{displaystyle xin X.} Una relación es irreflexiva si y sólo si su complemento X× × X{displaystyle Xtimes X} es reflexivo. Una relación asimétrica es necesariamente irreflexiva. Una relación transitiva e irreflexiva es necesariamente asimétrica.

Cuasi-reflexivo izquierdo

Si x,Sí.▪ ▪ X{displaystyle x,yin X} son tales xRSí.,{displaystyle xRy,} entonces necesariamente xRx.{displaystyle xRx.}

Cuasi-reflexivo derecho

Si x,Sí.▪ ▪ X{displaystyle x,yin X} son tales xRSí.,{displaystyle xRy,} entonces necesariamente Sí.RSí..{displaystyle yRy.}

Quasi-reflexive

Si cada elemento que es parte de alguna relación está relacionado con sí mismo. Explícitamente, esto significa que cuando x,Sí.▪ ▪ X{displaystyle x,yin X} son tales xRSí.,{displaystyle xRy,} entonces necesariamente xRx{displaystyle xRx} y Sí.RSí..{displaystyle yRy.} Equivalentemente, una relación binaria es cuasi-reflexiva si y sólo si es cuasi-reflexiva izquierda y quasi-reflexivo derecho. A relation R{displaystyle R. es cuasi-reflexivo si y sólo si su cierre simétrico R∪ ∪ RT{displaystyle Rcup R^{operatorname {T} es izquierda (o derecha) cuasi-reflexiva.

Antisymmetric

Si x,Sí.▪ ▪ X{displaystyle x,yin X} son tales xRSí.ySí.Rx,Sí. entonces necesariamente x=Sí..{displaystyle x=y.}

Coreflexive

Si x,Sí.▪ ▪ X{displaystyle x,yin X} son tales xRSí.,{displaystyle xRy,} entonces necesariamente x=Sí..{displaystyle x=y.} A relation R{displaystyle R. es Coreflexivo si y sólo si su cierre simétrico es antisimétrico.

Una relación reflexiva sobre un conjunto no vacío X{displaystyle X} no puede ser irreflexivo, ni asimétrico (R{displaystyle R. se llama asimétrica si xRSí.{displaystyle xRy} no implica Sí.Rx{displaystyle yRx}), ni antitransitivo (R{displaystyle R. es antitransitivo si xRSí.ySí.RzSí. Rz! no implica xRz{displaystyle xRz}).

Ejemplos

Ejemplos de relaciones reflexivas incluyen:

• "es igual a" (igualdad)
• "es un subconjunto de" (inclusión de conjunto)
• "divide" (divisibilidad)
• "es mayor o igual a"
• "es menos o igual a"

Ejemplos de relaciones irreflexivas incluyen:

• "no es igual a"
• "es coprime a" en los enteros mayores de 1
• "es un subconjunto apropiado de"
• "es mayor que"
• "es menos que"

Un ejemplo de relación irreflexiva, que significa que no relaciona ningún elemento a sí mismo, es la relación "más grande que" (y}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x■Sí.{displaystyle x confianzay}y" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8432c5c4451b66818abae111d41f27d6de8623" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.584ex; height:2.176ex;"/>) en los números reales. No toda relación que no sea reflexiva es irreflexiva; es posible definir relaciones donde algunos elementos están relacionados consigo mismos pero otros no son (es decir, ni todos ni ninguno). Por ejemplo, la relación binaria "el producto de x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y} es incluso" es reflexivo en el conjunto de números, irreflexivo en el conjunto de números impares, y no reflexivo ni irreflexivo en el conjunto de números naturales.

Un ejemplo de relación cuasi-reflexiva R{displaystyle R. es "tiene el mismo límite que" en el conjunto de secuencias de números reales: no cada secuencia tiene un límite, y por lo tanto la relación no es reflexiva, pero si una secuencia tiene el mismo límite que una secuencia, entonces tiene el mismo límite que ella misma. Un ejemplo de una relación cuasi-reflexiva izquierda es una relación euclidiana izquierda, que siempre se deja cuasi-reflexiva pero no necesariamente cuasi-reflexiva derecha, y por lo tanto no necesariamente cuasi-reflexiva.

Un ejemplo de una relación correflexiva es la relación sobre números enteros en la que cada número impar está relacionado consigo mismo y no hay otras relaciones. La relación de igualdad es el único ejemplo de una relación tanto reflexiva como correflexiva, y cualquier relación correflexiva es un subconjunto de la relación de identidad. La unión de una relación correflexiva y una relación transitiva en el mismo conjunto es siempre transitiva.

Número de relaciones reflexivas

El número de relaciones reflexivas sobre un n{displaystyle n}-Element set es 2n2− − n.{displaystyle 2^{n^{2}-n}

Número de n-element binario relations of different types

Miembros	Cualquier	Transitive	Reflexivo	Simétrico	Preorden	Orden parcial	Total preordenado	Orden total	Equivalencia relación
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65.536	3.994	4.096	1.024	355	219	75	24	15
n	2n2		2n2−n	2n()n+1)/2			.. k=0nk!S()n,k){textstyle sum ¡No!	n!	.. k=0nS()n,k){textstyle sum _{k=0} {n} S(n,k)}
OEIS	A002416	A006905	A053763	A006125	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

Tenga en cuenta que S(n, k) se refiere a los números de Stirling del segundo tipo

Lógica filosófica

Los autores de lógica filosófica suelen utilizar una terminología diferente. Las relaciones reflexivas en el sentido matemático se denominan totalmente reflexivas en lógica filosófica, y las relaciones cuasi-reflexivas se denominan reflexivas.