Relación inversa

En matemáticas, la converso de una relación binaria es la relación que ocurre cuando el orden de los elementos se cambia en la relación. Por ejemplo, el contrario de la relación "hijo de" es la relación 'padre de'. En términos formales, si ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle Sí.$ son sets y ${\displaystyle L\subseteq X\times Y}$ es una relación de ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Sí.$ entonces ${\displaystyle L^{\ nombre del operador {T}$ es la relación definida de modo que ${\displaystyle yL^{\fnMimbre de operador [T] }x}$ si ${\displaystyle xLy.}$ En la notación de configuración,

${\displaystyle L^{\ nombre del operador {T}=\{(y,x)\in Y\times X:(x,y)\in L\}$

Puesto que una relación puede ser representada por una matriz lógica, y la matriz lógica de la relación conversa es la transposición del original, la relación conversa también se llama la relación transpose. También se ha llamado opuesto o dual de la relación original, inverso de la relación original, o recíproco ${\displaystyle L^{\circ }$ de la relación ${\displaystyle L.}$

Otras notaciones para la relación conversa incluyen ${\displaystyle L^{\operatorname {C},L^{-1},{\breve {L},L^{\circ }$ o ${\displaystyle L^{\vee }$

La notación es análoga a la de una función inversa. Aunque muchas funciones no tienen una inversa, cada relación tiene una inversa única. La operación unaria que mapea una relación con la relación inversa es una involución, por lo que induce la estructura de un semigrupo con involución en las relaciones binarias de un conjunto o, más generalmente, induce una categoría de daga en la categoría de relaciones como se detalla a continuación. . Como operación unaria, tomar la inversa (a veces llamada conversión o transposición) conmuta con las operaciones relacionadas con el orden del cálculo de relaciones, es decir, conmuta con unión, intersección y complemento.

Ejemplos

Para las relaciones habituales (quizás estrictas o parciales) de orden, el converso es el orden ingenuamente esperado "opposite", por ejemplos, ${\displaystyle {\leq ^{\fnMicrosoftware {\fnMicrosoft Sans Serif}= {\fnMicrosoft Sans Serif}$

Una relación puede ser representada por una matriz lógica como $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1 tendría1 tendría1}\0 restante1}}}$$

Luego la relación conversa está representada por su matriz transpose: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1 tendrían un doble0\1}}}$$

El contrario de las relaciones de parentesco se llama: "${\displaystyle A}$ es un niño ${\displaystyle B}$"tiene sentido"${\displaystyle B}$ es un padre de ${\displaystyle A}$"${\displaystyle A}$ es un sobrino o sobrina de ${\displaystyle B}$"tiene sentido"${\displaystyle B}$ es un tío o tía de ${\displaystyle A}$". La relación "${\displaystyle A}$ es un hermano de ${\displaystyle B}$" es su propio converso, ya que es una relación simétrica.

Propiedades

En el monoide de las endorelaciones binarias en un conjunto (con la operación binaria en las relaciones siendo la composición de las relaciones), la relación transversal no satisface la definición de un inverso de la teoría del grupo, es decir, si ${\displaystyle L.$ es una relación arbitraria ${\displaystyle X.$ entonces ${\displaystyle L\circ L^{\operatorname {T}$ ¿Sí? no igual a la relación de identidad ${\displaystyle X}$ en general. La relación conversa satisface los axiomas de un semigrupo con involución: ${\displaystyle \left(L^{\operatorname {T}\right)^{\fnMiembro del operador {T}=L}$ y ${\displaystyle (L\circ R)^{\operatorname {T}=R^{\fnMimbre de operador {T}\circ L^{\fnMicrosoft} {T}$

Dado que generalmente se pueden considerar relaciones entre diferentes conjuntos (que forman una categoría en lugar de un monoide, es decir, la categoría de relaciones Rel), en este contexto la relación inversa se ajusta a los axiomas de una daga. categoría (también conocida como categoría con involución). Una relación igual a su inversa es una relación simétrica; en el lenguaje de las categorías daga, es autoadjunto.

Además, el semigrupo de endorelaciones en un conjunto es también una estructura parcialmente ordenada (con inclusión de relaciones como conjuntos) y, en realidad, un cuantal involutivo. De manera similar, la categoría de relaciones heterogéneas, Rel, también es una categoría ordenada.

En el cálculo de relaciones, la conversión (la operación unaria de tomar la relación inversa) conmuta con otras operaciones binarias de unión e intersección. La conversión conmuta también con la operación unaria de complementación así como con la toma de suprema e ínfima. La conversión también es compatible con el ordenamiento de las relaciones por inclusión.

Si una relación es reflexiva, irreflexiva, simétrica, antisimétrica, asimétrica, transitiva, conexa, tricotómica, de orden parcial, de orden total, de orden débil estricto, de preorden total (orden débil) o una relación de equivalencia, su recíproca también lo es. .

Inversas

Si ${\displaystyle I}$ representa la relación de identidad, luego una relación ${\displaystyle R.$ puede tener un inverso como sigue: ${\displaystyle R.$ se llama

derecho-invertible

si existe una relación ${\displaystyle X.$ llamado derecho inverso de ${\displaystyle R,}$ que satisfice ${\displaystyle R\circo X=I.$

izquierda-invertible

si existe una relación ${\displaystyle Sí.$ llamado izquierda inversa de ${\displaystyle R,}$ que satisfice ${\displaystyle Y\circ R=I.}$

invertible

si es invertible a la derecha e invertible a la izquierda.

Para una relación homogénea invertible ${\displaystyle R,}$ all right and left inverses coin; este conjunto único se llama su inverso y es denotado por ${\displaystyle R^{-1}$ En este caso, ${\displaystyle R^{-1}=R^{\ nombre del operador {T}$ sostiene.

Relación inversa de una función

Una función es invertible si y sólo si su relación inversa es una función, en cuyo caso la relación inversa es la función inversa.

La relación conversa de una función ${\displaystyle f:X\to Sí.$ es la relación ${\displaystyle f^{-1}\subseteq Y\times X}$ definido por el ${\displaystyle \operatorname {graph} \,f^{-1}=\{(y,x)\in Y\times X:y=f(x)\}.}$

Esto no es necesariamente una función: Una condición necesaria es que ${\displaystyle f}$ ser inyectable, ya que si no ${\displaystyle f^{-1}$ es multivalorado. Esta condición es suficiente para ${\displaystyle f^{-1}$ ser una función parcial, y está claro que ${\displaystyle f^{-1}$ entonces es una función (total) si y sólo si ${\displaystyle f}$ es subjetivo. En ese caso, significa si ${\displaystyle f}$ es bijetivo, ${\displaystyle f^{-1}$ puede ser llamado función inversa de ${\displaystyle f.}$

Por ejemplo, la función ${\displaystyle f(x)=2x+2}$ tiene la función inversa ${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {x}{2}-1.}$

Sin embargo, la función ${\displaystyle g(x)=x^{2}$ tiene la relación inversa ${\displaystyle g^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}}}$ que no es una función, siendo multivalorado.

Composición con relación

Utilizando la composición de relaciones, lo inverso puede componerse con la relación original. Por ejemplo, la relación de subconjunto compuesta con su inverso es siempre la relación universal:

VALA QUIBEN ∅ ⊂ A ∩B ⇔B Ø A QUI RESPECTO ⊂ B QUIEREN ⊃ B. Del mismo modo,

Para U = universo, A ∪ B ⊂ U Alternativa A U U cilla B Alternativa A ⊂ B.

Considere ahora la relación de membresía del conjunto y su recíproco.

${\displaystyle A\ni z\in B\Leftrightarrow z\in A\cap B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset.}$

Así ${\displaystyle A\ni \in B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset.}$ La composición opuesta ${\displaystyle \in \ni}$ es la relación universal.

Las composiciones se utilizan para clasificar las relaciones según el tipo: para una relación Q, cuando la relación de identidad en el rango de Q contiene Q >^TQ, entonces Q se llama univalente. Cuando la relación de identidad en el dominio de Q está contenida en Q Q^T, entonces Q se llama total. Cuando Q es univalente y total, entonces es una función. Cuando Q^T es univalente, entonces Q se denomina inyectivo. Cuando Q^T es total, Q se denomina sobreyectivo.

Si Q es univalente, entonces QQ^T es una relación de equivalencia en el dominio de Q, consulte Relación transitiva#Propiedades relacionadas.