Relación giromagnética

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Relación del momento magnético al impulso angular

En física, la relación giromagnética (también conocida a veces como relación magnetogírica en otras disciplinas) de una partícula o sistema es la relación entre su momento magnético y su momento angular, y a menudo se denota con el símbolo γ, gamma. Su unidad SI es el radian por segundo por tesla (rad⋅s⁻¹⋅T⁻¹) o, equivalentemente, el culombio por kilogramo (C⋅kg⁻¹).

El término "relación giromagnética" se utiliza a menudo como sinónimo de una cantidad diferente pero estrechamente relacionada, el factor g. El factor $g$ sólo se diferencia de la relación giromagnética en que no tiene dimensiones.

Para un cuerpo giratorio clásico

Considere un cuerpo cargado no conductor que gira alrededor de un eje de simetría. Según las leyes de la física clásica, tiene un momento dipolar magnético debido al movimiento de la carga y un momento angular debido al movimiento de la masa que surge de su rotación. Se puede demostrar que mientras su carga, densidad de masa y flujo estén distribuidos de manera idéntica y rotacionalmente simétrica, su relación giromagnética es

{displaystyle gamma ={frac {q}{2m}}}

Donde ${displaystyle {q}}$ es su carga y ${displaystyle {m}}$ es su masa.

La derivación de esta relación es la siguiente. Basta demostrar esto para un anillo circular infinitamente estrecho dentro del cuerpo, ya que el resultado general se deriva entonces de una integración. Supongamos que el anillo tiene radio $r$ , área $A = πr 2$ , masa $m$ , carga $q$ y momento angular $L = mvr . Entonces la magnitud del momento dipolar magnético es$

{displaystyle mu =IA={frac {qv}{2pi r}},pi r^{2}={frac {q}{2m}},mvr={frac {q}{2m}}L~.}

Para un electron aislado

Un electrón aislado tiene un momento angular y un momento magnético resultantes de su espín. Si bien el espín de un electrón a veces se visualiza como una rotación literal alrededor de un eje, no se puede atribuir a una masa distribuida de manera idéntica a la carga. La relación clásica anterior no se cumple, lo que da un resultado incorrecto mediante el valor absoluto del factor g del electrón, que se denota $g e.$ :

{displaystyle gamma _{mathrm {e} }={frac {-e}{2m_{mathrm {e} }}},|g_{mathrm {e} }|={frac {g_{mathrm {e} }mu _{mathrm {B} }}{hbar }},,}

μ B

La relación giromagnética debida al espín del electrón es el doble que la debida a la órbita de un electrón.

En el marco de la mecánica cuántica relativista,

{displaystyle g_{mathrm {e} }=-2left(1+{frac {alpha }{,2pi,}}+cdots right)~,}

{displaystyle alpha }

g = 2

g

{displaystyle g_{mathrm {e} }=-2.002,319,304,361,18(27).}

La relación electromagnética es

{displaystyle gamma _{mathrm {e} }=mathrm {-1.760,859,630,23(53)times 10^{11},rad{cdot }s^{-1}{cdot }T^{-1}} }

{displaystyle {frac {gamma _{mathrm {e} }}{2pi }}=mathrm {-28,024.951,4242(85),MHz{cdot }T^{-1}}.}

El electron $g$ -factor y $γ$ están en excelente acuerdo con la teoría; ver Pruebas de precisión de QED para detalles.

El factor giromagnético no es consecuencia de la relatividad

Dado que de la ecuación de Dirac se deriva un factor giromagnético igual a 2, es un error frecuente pensar que un factor g 2 es una consecuencia de la relatividad; No lo es. El factor 2 se puede obtener a partir de la linealización tanto de la ecuación de Schrödinger como de la ecuación relativista de Klein-Gordon (que conduce a la de Dirac). En ambos casos se obtiene un espinor de 4 y para ambas linealizaciones se encuentra que el factor g es igual a 2; Por tanto, el factor 2 es consecuencia del acoplamiento mínimo y del hecho de tener el mismo orden de derivadas para el espacio y el tiempo.

Giro físico 1/2 partículas que no pueden describirse mediante la ecuación de Dirac medida lineal satisfacen la ecuación de Klein-Gordon medida extendida por la $g$ $e / 4 σ μν F μν$ término según,

{displaystyle left[,left(partial ^{mu },u+i,e,A^{mu }right),left(partial _{mu }+i,e,A_{mu }right)+g,{frac {e}{,4,}},sigma ^{mu nu },F_{mu nu }+m^{2},right];psi;=;0~,quad gneq 2~.}

Aquí, $1 / 2 σ μν y F μν representan los generadores del grupo Lorentz en Dirac. espacio y el tensor electromagnético respectivamente, mientras que A μ es el tensor electromagnético de cuatro potenciales.. Un ejemplo de tal partícula es el espín 1 / 2 compañero para girar 3 / 2 en el D (½,1) \oplus D (1,½) espacio de representación del grupo Lorentz. Se ha demostrado que esta partícula se caracteriza por g = - + 2 / 3 y, en consecuencia, comportarse como un fermión verdaderamente cuadrático.$

Para un núcleo

Los protones, los neutrones y muchos núcleos tienen espín nuclear, lo que da lugar a una relación giromagnética como la anterior. La relación se escribe convencionalmente en términos de masa y carga del protón, incluso para neutrones y otros núcleos, en aras de la simplicidad y la coherencia. La fórmula es:

{displaystyle gamma _{text{n}}={frac {e}{,2m_{text{p}},}},g_{rm {n}}=g_{rm {n}},{frac {,mu _{mathrm {N} },}{hbar }}~,}

Donde ${displaystyle mu _{mathrm {N} }}$ es el magnetón nuclear, y ${displaystyle g_{rm {n}}}$ es el factor g del núcleo o núcleo en cuestión. La relación ${displaystyle,{frac {gamma _{n}}{,2pi,g_{rm {n}},}},,}$ iguales ${displaystyle mu _{mathrm {N} }/h}$ , es 7.622593285(47) MHz/T.

La relación giromagnética de un núcleo desempeña un papel en la resonancia magnética nuclear (RMN) y la resonancia magnética (IRM). Estos procedimientos se basan en el hecho de que la magnetización masiva debida a los espines nucleares precede en un campo magnético a una velocidad llamada frecuencia de Larmor, que es simplemente el producto de la relación giromagnética por la intensidad del campo magnético. Con este fenómeno, el signo de $γ$ determina el sentido (en sentido horario o antihorario) de la precesión.

Los núcleos más comunes, como ¹H y ¹³C, tienen relaciones giromagnéticas positivas. En la siguiente tabla se dan valores aproximados para algunos núcleos comunes.

Nucleus	${displaystyle gamma _{n}}$ (10)⁶ rad⋅s⁻¹⋅T⁻¹)	${displaystyle gamma _{n}/(2pi)}$ (MHz⋅T⁻¹)
1H	267.52218744(11)	42.577478518(18)
¹H (en H₂O)	267.5153151(29)	42.57638474(46)
2H	41.065	6.536
3H	285.3508	45.415
³Él	−203.7894569(24)	−32.43409942(38)
⁷Li	103.962	16.546
13C	67.2828	10.7084
¹⁴N	19.331	3.077
¹⁵N	−27.116	−4.316
17O	−36.264	5,772
¹⁹F	251.815	40.078
²³Na	70.761	11.262
²⁷Al	69.763	11.103
²⁹Si	−53.190	−8.465
31P	108.291	17.235
⁵⁷Fe	8.681	1.382
⁶³Cu	71.118	11.319
⁶⁷Zn	16.767	2.669
¹²⁹Xe	−73.997	−11.777

Precesión de Larmor

Cualquier sistema libre con una relación giromagnética constante, como un sistema rígido de cargas, un núcleo o un electrón, cuando se coloca en un campo magnético externo $B$ (medido en teslas) que no esté alineado con su momento magnético, precederá a una frecuencia $f$ (medido en hercios), que es proporcional al campo externo:

{displaystyle f={frac {gamma }{2pi }}B.}

Por este motivo, los valores de $γ$ / 2 $π$ , en unidades de hercios por tesla (Hz/T), a menudo se citan en lugar de $γ$ .

Derivación heurística

La derivación de esta relación es la siguiente: Primero debemos demostrar que el par que resulta de someter un momento magnético ${displaystyle mathbf {m} }$ a un campo magnético ${displaystyle mathbf {B} }$ es ${displaystyle,{boldsymbol {mathrm {T} }}=mathbf {m} times mathbf {B},.}$ La identidad de la forma funcional de los campos eléctricos y magnéticos estacionarios ha llevado a definir la magnitud del momento de la dipole magnética igualmente así como ${displaystyle m=Ipi r^{2}}$ , o de la siguiente manera, imitando el momento $p$ de una dipola eléctrica: El dipolo magnético puede ser representado por una aguja de una brújula con cargas magnéticas ficticias ${displaystyle pm q_{rm {m}}}$ en los dos polos y la distancia vectorial entre los polos ${displaystyle mathbf {d} }$ bajo la influencia del campo magnético de la tierra ${displaystyle,mathbf {B},.}$ Por mecánica clásica el par en esta aguja es ${displaystyle,{boldsymbol {mathrm {T} }}=q_{rm {m}}(mathbf {d} times mathbf {B}),.}$ Pero como se dijo anteriormente ${displaystyle,q_{rm {m}}mathbf {d} =Ipi r^{2}{hat {mathbf {d} }}=mathbf {m},,}$ Así que la fórmula deseada aparece. ${displaystyle {hat {mathbf {d} }}}$ es el vector de distancia unidad.

El modelo del electrón giratorio que utilizamos en la derivación tiene una analogía evidente con un giroscopio. Para cualquier cuerpo giratorio la tasa de cambio del impulso angular ${displaystyle,mathbf {J},}$ iguala el par aplicado ${displaystyle mathbf {T} }$ :

{displaystyle {frac {dmathbf {J} }{dt}}=mathbf {T} ~.}

Note como ejemplo la precesión de un giroscopio. La atracción gravitacional de la tierra aplica una fuerza o torsión al giroscopio en la dirección vertical, y el vector de impulso angular a lo largo del eje del giroscopio gira lentamente alrededor de una línea vertical a través del pivote. En el lugar del giroscopio imagina una esfera girando alrededor del eje y con su centro en el pivote del giroscopio, y a lo largo del eje del giroscopio dos vectores opuestomente dirigidos ambos originados en el centro de la esfera, hacia arriba ${displaystyle mathbf {J} }$ y hacia abajo ${displaystyle mathbf {m}.}$ Reemplazar la gravedad con una densidad de flujo magnético ${displaystyle,mathbf {B} ~.}$

${displaystyle {frac {,operatorname {d} mathbf {J},}{,operatorname {d} t,}}}$ representa la velocidad lineal del pico de la flecha ${displaystyle,mathbf {J},}$ en un círculo cuyo radio es ${displaystyle,Jsin {phi },,}$ Donde ${displaystyle,phi,}$ es el ángulo entre ${displaystyle,mathbf {J},}$ y el vertical. De ahí la velocidad angular de la rotación de la columna es

{displaystyle omega =2pi,f={frac {1}{,J,sin {phi },}},left|{frac {,{rm {{d},mathbf {J},}}}{,{rm {{d},t,}}}}right|={frac {,left|mathbf {T} right|,}{,J,sin {phi },}}={frac {,left|mathbf {m} times mathbf {B} right|,}{,J,sin {phi },}}={frac {,m,Bsin {phi },}{,J,sin {phi },}}={frac {,m,B,}{J}}=gamma,B~.}

En consecuencia, ${displaystyle f={frac {gamma }{,2pi,}},B~.quad {text{q.e.d.}}}$

Esta relación también explica una aparente contradicción entre los dos términos equivalentes, relación giromagnética versus relación magnetogírica: mientras que es una relación de una propiedad magnética (es decir, momento dipolar) a una propiedad gírica (rotacional, del griego: γύρος, "giro") (es decir, momento angular), también es, al mismo tiempo, una relación entre la frecuencia de precesión angular (otra propiedad gírica) $ω = 2 πf$ y el campo magnético.

La frecuencia de precesión angular tiene un significado físico importante: es la frecuencia angular del ciclotrón, la frecuencia de resonancia de un plasma ionizado bajo la influencia de un campo magnético estático finito, cuando se superpone un campo electromagnético de alta frecuencia.

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