Relación finita

En matemáticas, una relación finita sobre conjuntos X₁,..., X_n es un subconjunto del producto cartesiano X ₁ × ⋯ × X_n; es decir, es un conjunto de n-tuplas (x₁,..., x_n) que consta de elementos x_i en X_i. Normalmente, la relación describe una posible conexión entre los elementos de una tupla n. Por ejemplo, la relación "x es divisible por y y z" consiste en el conjunto de 3 tuplas tales que cuando se sustituyen por x, y y z, respectivamente, hacen que la oración sea verdadera.

El entero no negativo n que da el número de "lugares" en la relación se denomina aridad, adicidad o grado de la relación. Una relación con n "lugares" se denomina de diversas formas una relación n-aria, una relación n-ádica o una relación de grado n. Las relaciones con un número finito de lugares se denominan relaciones finitas (o simplemente relaciones si el contexto es claro). También es posible generalizar el concepto a relaciones infinitas con secuencias infinitas.

Una relación n-aria sobre conjuntos X₁,..., X _n es un elemento del conjunto de potencia de X ₁ × ⋯ × X_n.

Las relaciones 0-arias cuentan solo con dos miembros: el que siempre se cumple y el que nunca se cumple. Esto se debe a que solo hay una tupla 0, la tupla vacía (). A veces son útiles para construir el caso base de un argumento de inducción.

Las relaciones unarias pueden verse como una colección de miembros (como la colección de premios Nobel) que tienen alguna propiedad (como la de haber recibido el premio Nobel).

Las relaciones binarias son la forma de relaciones finitarias más comúnmente estudiada. Cuando X₁ = X₂ se llama relación homogénea, por ejemplo:

• Igualdad y desigualdad, denotada por signos como = y se realiza en declaraciones como "5", o
• Divisibilidad, denotada por el signo tención en declaraciones como "13 vidas143".

De lo contrario, es una relación heterogénea, por ejemplo:

• Establecer la membresía, denotado por el signo Iberia en declaraciones como "1 ¬ N".

Ejemplo

Considere la relación ternaria R "x piensa que a y le gusta z" sobre el conjunto de personas P = {Alice, Bob, Charles, Denise}, definido por:

R = {(Alice, Bob, Denise), (Charles, Alice, Bob), (Charles, Charles, Alice), (Denise, Denise, Denise)}.

R se puede representar de manera equivalente mediante la siguiente tabla:

Aquí, cada fila representa un triple de R, es decir, hace una declaración de la forma "x piensa que y le gusta z". Por ejemplo, la primera fila dice que "Alice cree que a Bob le gusta Denise". Todas las filas son distintas. El orden de las filas es insignificante pero el orden de las columnas es significativo.

La tabla anterior también es un ejemplo simple de una base de datos relacional, un campo con una teoría arraigada en el álgebra relacional y aplicaciones en la gestión de datos. Los informáticos, los lógicos y los matemáticos, sin embargo, tienden a tener diferentes concepciones de lo que es una relación general y en qué consiste. Por ejemplo, las bases de datos están diseñadas para manejar datos empíricos, que por definición son finitos, mientras que en matemáticas también se consideran relaciones con aridad infinita (es decir, relación infinita).

Definiciones

Cuando dos objetos, cualidades, clases o atributos, vistos juntos por la mente, se ven bajo alguna conexión, esa conexión se llama una relación.

—Augustus De Morgan

La primera definición de relaciones encontradas en matemáticas es:

Definición 1

An n- relación R sobre conjuntos X₁, ⋯, X_n es un subconjunto del producto cartesiano X₁ × X_n.

La segunda definición de relaciones hace uso de un modismo que es común en matemáticas, estipulando que "tal y cual es una n-tupla" para asegurar que tal o cual objeto matemático esté determinado por la especificación de objetos matemáticos con n elementos. En el caso de una relación R sobre n conjuntos, hay n + 1 cosas para especificar, a saber, los n conjuntos más un subconjunto de su producto cartesiano. En el idioma, esto se expresa diciendo que R es una tupla (n + 1).

Definición 2

An n- relación R sobre conjuntos X₁, ⋯, X_n es unn + 1)-tuple ()X₁, ⋯, X_n, G) Donde G es un subconjunto del producto cartesiano X₁ × X_n llamado Gráfico de R.

Como regla general, la definición que mejor se adapte a la aplicación en cuestión se elegirá para ese propósito, y si alguna vez es necesario distinguir entre las dos definiciones, entonces una entidad que satisfaga la segunda definición puede llamarse incrustado o relación incluida.

Ambas declaraciones (x₁, ⋯, x_n) ∈ R (bajo la primera definición) y (x₁, ⋯, x_n) ∈ G (bajo la segunda definición) leer & #34;x₁, ⋯, x_n son R relacionado con" y se denotan usando la notación de prefijo por Rx₁⋯x_n y usando la notación de postfijo por x₁⋯x _nR. En el caso de que R sea una relación binaria, esas declaraciones también se denotan mediante notación infija mediante x₁ Rx₂.

Las siguientes consideraciones se aplican bajo cualquiera de las definiciones:

• El set X_i se llama iT dominio de R. Bajo la primera definición, la relación no determina una secuencia determinada de dominios. En el caso en que R es una relación binaria, X₁ también se llama simplemente el dominio o Conjunto de salida de R, y X₂ también se llama el codomain o conjunto de destino de R.
• Cuando los elementos de X_i son relaciones, X_i se llama dominio nosimple de R.
• El conjunto de Оx_i ▪ X_i para el cual existe ()x₁, ⋯, x_{i − 1}, x_{i + 1}, ⋯, x_n) X₁ × X_{i − 1} × X_{i + 1} × X_n tales que Rx₁⋯x_{i − 1}x_ix_{i + 1}⋯x_n se llama iT dominio de la definición o dominio activo de R. En el caso en que R es una relación binaria, su primer dominio de definición también se llama simplemente el dominio de la definición o dominio activo de R, y su segundo dominio de definición también se llama el codomain de definición o codomain activo de R.
• Cuando el idominio de la definición R es igual a X_i, R se dice que total on X_i. En el caso en que R es una relación binaria, cuando R total en X₁, también se dice que es izquierda-total o serie, y cuando R total en X₂, también se dice que es correcto-total o surjetivo.
• Cuando Оx ОSí. ▪ X_i. Оz ▪ X_j. xR_ijz ∧ Sí. R_ijz ⇒ x = Sí., donde i ▪ I, j ▪ J, R_ij = π_ij R, y {}I, J} es una partición de {1,... n}, R se dice que único on {}X_i}_{i ▪ I}, y {}X_i}_{i ▪ J} se llama una clave primaria de R. En el caso en que R es una relación binaria, cuando R es único en {X₁}, también se dice que es izquierda-unique o inyección, y cuando R es único en {X₂}, también se dice que es correcto-unique o funcional.
• Cuando todo X_i son el mismo conjunto X, es más simple referirse a R como n- Relación X, llamado a relación homogénea. De lo contrario R se llama relación heterogénea.
• Cuando alguno de X_i está vacío, el producto cartesiano definido está vacío, y la única relación sobre tal secuencia de dominios es la relación vacía R = ∅. Por lo tanto, es comúnmente estipulado que todos los dominios no son vacíos.

Sea un dominio booleano B un conjunto de dos elementos, por ejemplo, B = {0, 1}, cuyos elementos se pueden interpretar como valores lógicos, normalmente 0 = false y 1 = true. La función característica de R, denotada por χ_R, es la función con valores booleanos χ _R: X₁ × ⋯ × X_n → B, definido por χ_R((x₁, ⋯, x_n)) = 1 si Rx₁⋯x_n y χ_R(( x₁, ⋯, x_n)) = 0 de lo contrario.

En matemáticas aplicadas, informática y estadística, es común referirse a una función con valores booleanos como un predicado n-ario. Desde el punto de vista más abstracto de la lógica formal y la teoría de modelos, la relación R constituye un modelo lógico o una estructura relacional, que sirve como una de muchas interpretaciones posibles de algún símbolo de predicado n-ario.

Debido a que las relaciones surgen en muchas disciplinas científicas, así como en muchas ramas de las matemáticas y la lógica, existe una variación considerable en la terminología. Aparte de la extensión de la teoría de conjuntos de un concepto o término relacional, el término "relación" también puede usarse para referirse a la entidad lógica correspondiente, ya sea la comprensión lógica, que es la totalidad de las intensiones o propiedades abstractas compartidas por todos los elementos en la relación, o bien los símbolos que denotan estos elementos e intensiones. Además, algunos escritores de la última persuasión introducen términos con connotaciones más concretas (como "estructura relacional" para la extensión de la teoría de conjuntos de un concepto relacional dado).

Historia

El lógico Augustus De Morgan, en un trabajo publicado alrededor de 1860, fue el primero en articular la noción de relación en algo parecido a su sentido actual. También enunció los primeros resultados formales en la teoría de las relaciones (sobre De Morgan y las relaciones, véase Merrill 1990).

Charles Peirce, Gottlob Frege, Georg Cantor, Richard Dedekind y otros propusieron la teoría de las relaciones. Muchas de sus ideas, especialmente sobre las relaciones denominadas órdenes, se resumieron en Los principios de las matemáticas (1903) donde Bertrand Russell hizo libre uso de estos resultados.

En 1970, Edgar Codd propuso un modelo relacional para bases de datos, anticipándose así al desarrollo de los sistemas de gestión de bases de datos.