Relación de madeja

Las relaciones de madeja son una herramienta matemática utilizada para estudiar los nudos. Una pregunta central en la teoría matemática de los nudos es si dos diagramas de nudos representan el mismo nudo. Una forma de responder la pregunta es usar polinomios de nudo, que son invariantes del nudo. Si dos diagramas tienen polinomios diferentes, representan nudos diferentes. En general, lo contrario no se cumple.

Las relaciones de madeja a menudo se usan para dar una definición simple de polinomios de nudos. Una relación de madeja da una relación lineal entre los valores de un polinomio de nudo en una colección de tres enlaces que difieren entre sí solo en una pequeña región. Para algunos polinomios de nudo, como los polinomios de Conway, Alexander y Jones, las relaciones de madeja relevantes son suficientes para calcular el polinomio de forma recursiva.

Definición

Una relación de madeja requiere tres diagramas de vínculos que sean idénticos excepto en un cruce. Los tres diagramas deben exhibir las tres posibilidades que podrían ocurrir para los dos segmentos de línea en ese cruce, una de las líneas podría pasar debajo, la misma línea podría estar sobre o la dos líneas podrían no cruzarse en absoluto. Los diagramas de enlace deben ser considerados porque un solo cambio de madeja puede alterar un diagrama de representar un nudo a uno que representa un enlace y viceversa. Dependiendo del polinomio de nudos en cuestión, los enlaces (o enredos) que aparecen en una relación de madeja pueden estar orientados o no.

Los tres diagramas están etiquetados de la siguiente manera. Gire el diagrama de tres enlaces para que las direcciones en el cruce en cuestión sean aproximadamente hacia el norte. Un diagrama tendrá noroeste sobre noreste, está etiquetado como L₋. Otro tendrá noreste sobre noroeste, es L₊. Al diagrama restante le falta ese cruce y está etiquetado como L₀.

(El etiquetado es independiente de la dirección en la medida en que sigue siendo el mismo si todas las direcciones se invierten. Por lo tanto, los polinomios en nudos no dirigidos se definen sin ambigüedades mediante este método. Sin embargo, las direcciones en enlaces son un elemento vital detalle para retener cuando uno recurre a través de un cálculo polinomial.)

También es sensato pensar en un sentido generativo, tomando un diagrama de enlace existente y "parcheando" para hacer los otros dos, siempre y cuando los parches se apliquen con direcciones compatibles.

Para definir recursivamente un polinomio de nudo (vínculo), se fija una función F y para cualquier terna de diagramas y sus polinomios etiquetados como se indica arriba,

F()L− − ,L0,L+)=0{displaystyle F{Big (}L_{-},L_{0},L_{+}{Big)}=0}

o más pedantemente

F()L− − ()x),L0()x),L+()x),x)=0{displaystyle F{Big (}L_{-}(x),L_{0}(x),L_{+}(x),x{Big)}=0} para todos x{displaystyle x}

(Encontrar una F que produzca polinomios independientes de las secuencias de cruces utilizadas en una recursión no es un ejercicio trivial).

De manera más formal, se puede considerar que una relación de madeja define el núcleo de un mapa de cocientes a partir del álgebra plana de enredos. Tal mapa corresponde a un polinomio de nudos si todos los diagramas cerrados se llevan a algún (polinomio) múltiplo de la imagen del diagrama vacío.

Ejemplo

En algún momento a principios de la década de 1960, Conway mostró cómo calcular el polinomio de Alexander usando relaciones de madeja. Como es recursivo, no es tan directo como el método matricial original de Alexander; por otro lado, partes del trabajo realizado para un nudo se aplicarán a otros. En particular, la red de diagramas es la misma para todos los polinomios relacionados con la madeja.

Dejar funcionar P desde diagramas de enlace a la serie Laurent en x{displaystyle {sqrt {x}} Ser tales que P()unknot)=1{displaystyle P({rm {unknot})=1} y un triple de diagramas de relacion de esqueína ()L− − ,L0,L+){displaystyle (L_{-},L_{0},L_{+}} satisfice la ecuación

P()L− − )=()x− − 1/2− − x1/2)P()L0)+P()L+){displaystyle P(L_{-})=(x^{-1/2}-x^{1/2})P(L_{0})+P(L_{+})}

Luego, P asigna un nudo a uno de sus polinomios de Alexander.

En este ejemplo, calculamos el polinomio Alexander del nudo cinquefoil (), el nudo alternado con cinco cruces en su diagrama mínimo. En cada etapa exhibimos una relación que implica un enlace más complejo y dos diagramas más simples. Tenga en cuenta que el enlace más complejo está a la derecha en cada paso inferior excepto el último. Por conveniencia, deja A = x^1/2−−x^1/2.

To begin, we create two new diagrams by patching one of the cinquefoil 's crossings (highlighted in yellow) so

P()) A × P()) + P())

El primer diagrama es en realidad un trébol; el segundo diagrama son dos nudos con cuatro cruces. Parcheando este último

P()) A × P()) + P())

da, de nuevo, un trébol, y dos desnudos con dos cruces (el enlace de Hopf [1]). Parchar el trébol

P()) A × P()) + P())

da el desanudado y, de nuevo, el enlace Hopf. Parcheando el enlace Hopf

P()) A × P()) + P())

da un enlace con 0 cruces (unlink) y un unknot. El desvinculo requiere un poco de astucia:

P()) A × P()) + P())

Cálculos

Ahora tenemos suficientes relaciones para calcular los polinomios de todos los enlaces que hemos encontrado, y podemos usar las ecuaciones anteriores en orden inverso para trabajar hasta el nudo de cinco hojas. El cálculo se describe en la siguiente tabla, donde ? denota la cantidad desconocida que estamos resolviendo en cada relación:

nombre nudo	diagramas	P (diagrama)
		ecuación de esqueleto	?	P en su totalidad
no		definido como 1		x→1
un enlace		1=A?+ 1	0	x→0
Enlace Hopf		¿0=A1+?	-A	x→x1/2-x1/2−
trefoil		1=A(-A)+?	1+A2	x→x−1-1+x
4 cruces		-A=A(1+A2¿)+?	-A(2+A2)	x→-x−3/2+x1/2−-x1/2+x3/2
cinquefoil		1+A2=A(-A(2+A)2¿)+?	1+3A2+A4	x→x−2-x−1+1-x+x2

Así, el polinomio de Alexander para un cincofoil es P(x) = x⁻² -x⁻¹ +1 -x +x².