Regularización dimensional

En física teórica, la regularización dimensional es un método introducido por Giambiagi y Bollini, así como, de forma independiente y más exhaustiva, por 't Hooft y Veltman para regularizar integrales en la evaluación de Feynman. diagramas; en otras palabras, asignándoles valores que son funciones meromórficas de un parámetro complejo d, la continuación analítica del número de dimensiones espacio-temporales.

La regularización dimensional escribe una integral de Feynman como una integral dependiendo de la dimensión del espacio-tiempo d y las distancias al cuadrado (x_{i< /sub>−xj)² de los puntos del espacio-tiempo xi,... apareciendo en él. En el espacio euclidiano, la integral a menudo converge para −Re(d) suficientemente grande y puede continuar analíticamente desde esta región hasta una función meromórfica definida para todo d complejo. En general, habrá un polo en el valor físico (generalmente 4) de d, que debe cancelarse mediante renormalización para obtener cantidades físicas. Etingof (1999) demostró que la regularización dimensional está matemáticamente bien definida, al menos en el caso de campos euclidianos masivos, utilizando el polinomio de Bernstein-Sato para llevar a cabo la continuación analítica.}

Aunque el método se comprende mejor cuando se restan los polos y d se reemplaza una vez más por 4, también ha dado lugar a algunos éxitos cuando se toma d para aproximar otro valor entero donde la teoría parece estar fuertemente acoplada, como en el caso del punto fijo de Wilson-Fisher. Un paso más es tomarse en serio la interpolación a través de dimensiones fraccionarias. Esto ha llevado a algunos autores a sugerir que la regularización dimensional se puede utilizar para estudiar la física de cristales que macroscópicamente parecen fractales.

Se ha argumentado que la regularización Zeta y la regularización dimensional son equivalentes ya que utilizan el mismo principio de utilizar la continuación analítica para que una serie o integral converja.

Ejemplo: potencial de una línea cargada infinita

Considere una línea cargada infinita con densidad de carga ${\displaystyle s}$, y calculamos el potencial de una distancia de punto ${\displaystyle x}$ lejos de la línea. Las divergencias integrales:

$${\displaystyle V(x)=A\int _{-\infty {x^{2}+y^{2}}}$$

${\displaystyle A=s/(4\pi\epsilon _{0}).}$

Dado que la línea cargada tiene simetría esférica 1-dimensional " esférica " (que en 1-dimensión es solo la simetría de espejo), podemos reescribir la integral para explotar la simetría esférica:

$${\displaystyle \int _{-\infty ¿Qué? {x^{2}+y^{2}}=\int ¿Por qué? ¿Por qué?$$

${\displaystyle x_{0}$

${\displaystyle \mathbb {R} {} {}}}$

${\displaystyle S^{1}$

Ahora generalizamos esto en la dimensión ${\displaystyle d}$. El volumen de una esfera d es ${\displaystyle {\frac {2\pi}{d/2}{\Gamma (d/2)}}$, donde ${\displaystyle "Gamma"$ es la función gamma. Ahora la integral se convierte

$${\fnMicroc {2\fnMicrosoft {\fnMicrosoft} ^{d/2}{\Gamma (d/2)}\int ¿Qué?$$

${\displaystyle d=1-\epsilon }$

${\displaystyle \int _{0}{\infty }{\frac {}{d-1}dr}{\sqrt {(x/x_{0})}{2}}\sim \int _{c} {\infty }r^{d-2}dr={\frac}}}}}}\sim \int {1}{d-1}c^{d-1}=\epsilon ^{-1}c^{-\epsilon }$

${\displaystyle c=\Theta (x/x_{0}}$

${\displaystyle V(x)\sim (x_{0}/x)^{\epsilon }/\epsilon }$

${\displaystyle V'(x)\sim x^{-1}$

Ejemplo

Suponga que uno desea regularizar dimensionalmente una integral de bucle que es logarítmicamente divergente en cuatro dimensiones, como

${\displaystyle I= 'int {\frac {4}p}{2\pi)} {\frac {1}{\left(p^{2}+m^{2}\right)}}}}} {2}}}}}}$

Primero, escriba el integral en un número general no entero de dimensiones ${\displaystyle d=4-\varepsilon }$, donde ${\displaystyle \varepsilon }$ más tarde será tomado para ser pequeño,

$${\displaystyle I=\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi)}{\frac {1}{\left(p^{2}+m^{2}\right)}}}}} {\c\cH0}$$

${\displaystyle p^{2}$

$${\displaystyle \int d^{d}p\,f(p^{2})={\frac {2\pi ^{d/2}{\Gamma (d/2)}}\int _{0}{\infty }dp\,p^{d-1}f(p^{2}). }$$

${\displaystyle d=3}$

${\textstyle \int ¿Por qué?$

$${\displaystyle I=\int ¿Por qué? ¿Qué? Gamma \left ({\frac {4-\varepsilon }{2}\right)}{\frac {p^{3-\varepsilon {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}}={\frac {2^{\varepsilon -4}\pi ^{\frac {\varepsilon {\fnMicroc {\pi\varepsilon }{2}}\derecho)\ Gamma \left(1-{\frac {\varepsilon {\fnMicrosoft Sans Serif} #={\frac {1}{8\pi ^{2}\varepsilon {\fnMicroc {2}{4\pi}}+\gamma\right)+{\mathcal {}(\varepsilon). }$$

${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$

${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$