Regresión semiparamétrica

En estadística, la regresión semiparamétrica incluye modelos de regresión que combinan modelos paramétricos y no paramétricos. A menudo se utilizan en situaciones en las que el modelo totalmente no paramétrico puede no funcionar bien o cuando el investigador desea utilizar un modelo paramétrico pero no se conoce la forma funcional con respecto a un subconjunto de los regresores o la densidad de los errores. Los modelos de regresión semiparamétrica son un tipo particular de modelado semiparamétrico y, dado que los modelos semiparamétricos contienen un componente paramétrico, se basan en supuestos paramétricos y pueden estar mal especificados y ser inconsistentes, al igual que un modelo totalmente paramétrico.

Se han propuesto y desarrollado muchos métodos de regresión semiparamétrica diferentes. Los métodos más populares son los modelos parcialmente lineales, de índice y de coeficientes variables.

Un modelo parcialmente lineal viene dado por

${\displaystyle Y...$

Donde ${\displaystyle Y...$ es la variable dependiente, ${\displaystyle X_{i}$ es un ${\displaystyle p\times 1}$ vector de variables explicativas, ${\displaystyle \beta }$ es un ${\displaystyle p\times 1}$ vector de parámetros desconocidos ${\displaystyle Z_{i}\in \operatorname {R} } {q}$. La parte paramétrica del modelo parcialmente lineal es dada por el vector del parámetro ${\displaystyle \beta }$ mientras que la parte no paramétrica es la función desconocida ${\displaystyle g\left(Z_{i}\right)}$. Se supone que los datos son i.i.d. con ${\displaystyle E\left(u_{i}SobrevivirX_{i},Z_{i}\right)=0}$ y el modelo permite un proceso de error heteroskedastico condicionalmente ${\displaystyle E\left(u_{i}{2}Principex,z\right)=\sigma ^{2}\left(x,z\right)}$ de forma desconocida. Este tipo de modelo fue propuesto por Robinson (1988) y ampliado para manejar covariados categóricos por Racine y Li (2007).

Este método se aplica mediante la obtención de un ${\displaystyle {\sqrt {n}}$ estimación constante de ${\displaystyle \beta }$ y luego conducir un estimador ${\displaystyle g\left(Z_{i}\right)}$ de la regresión no paramétrica ${\displaystyle Y... }$ on ${\displaystyle z}$ usando un método adecuado de regresión no paramétrica.

Un modelo de índice único toma la forma

${\displaystyle Y=g\left(X'\beta _{0}\right)+u,\,}$

Donde ${\displaystyle Sí.$, ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle \beta ¿Qué?$ se definen como anteriores y el término de error ${\displaystyle u}$ satisfizo ${\displaystyle E\left(u habitX\right)=0}$. El modelo de índice único toma su nombre de la parte paramétrica del modelo ${\displaystyle x'\beta }$ que es scalar índice único. La parte no paramétrica es la función desconocida ${\displaystyle g\left(\cdot \right)}$.

El método modelo de índice único desarrollado por Ichimura (1993) es el siguiente. Considerar la situación ${\displaystyle y}$ es continuo. Dado un formulario conocido para la función ${\displaystyle g\left(\cdot \right)}$, ${\displaystyle \beta ¿Qué?$ se podría estimar utilizando el método de mínimos cuadrados no lineales para minimizar la función

${\displaystyle \sum _{i=1}\left(Y_{i}-g\left(X'_{i}\beta \right)\right)^{2}$

Desde la forma funcional ${\displaystyle g\left(\cdot \right)}$ no se sabe, necesitamos estimarlo. Para un valor determinado ${\displaystyle \beta }$ una estimación de la función

${\displaystyle G\left(X'_{i}\beta\right)=E\left(Y_{i} pacienciaX'_{i}\beta\right)=E\left[g\left(X'_{i}\beta _{o}\right)$

usando el método del núcleo. Ichimura (1993) propone estimar ${\displaystyle g\left(X'_{i}\beta \right)}$ con

${\displaystyle {\hat {G}_{-i}\left(X'_{i}\beta \right),\,}$

el estimador de núcleo no paramétrico de licencia-uno-fuera ${\displaystyle G\left(X'_{i}\beta \right)}$.

Si la variable dependiente ${\displaystyle y}$ es binario y ${\displaystyle X_{i}$ y ${\displaystyle U_{i}$ se supone que son independientes, Klein y Spady (1993) proponen una técnica para estimar ${\displaystyle \beta }$ usando métodos de probabilidad máxima. La función de probabilidad de registro es dada por

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\i} {\i} {\i}\i}\left(X'_{i}\i}\i}\beta\i})\sum _{i} {\i}{i}{i} {\i}{i} {\i} {\i} {\i} {\i}}}}}}}}}}}}}{i}}}}}{i}{i}{i}}}}\i}}}}}}\i} {\i}\i}}}}}}}\i}\i}\i}\i}\i}}\i}}}}\i}}}}\i}\i}\i}\i}\i}\i}\i}\i}\i}}\i}}\i}}}\i}\i}\i}\i}\i}\i}}\i}\$

Donde ${\displaystyle {\hat {g}_{-i}\left(X'_{i}\beta\right)}$ es el estimador de licencia.

Hastie y Tibshirani (1993) proponen un modelo de coeficientes suaves dado por

${\displaystyle Y_{i}=\alpha \left(Z_{i}\right)+X'_{i}\beta \left(Z_{i}\right)+u_{i}=\left(1+X'_{i}\right)\left({\begin{array}{c}\alpha \left(Z_{i}\right)\\beta \left(Z_{i}\end{array}\right)+u_{i}=W'_{i}\gamma ¿Qué?$

Donde ${\displaystyle X_{i}$ es un ${\displaystyle k\times 1}$ vectores y ${\displaystyle \beta \left(z\right)}$ es un vector de funciones suaves no especificadas ${\displaystyle z}$.

${\displaystyle \gamma \left(\cdot \right)}$ se puede expresar como

${\displaystyle \gamma \left(Z_{i}\right)=\left(E\left) [W_{i}W'_{i}\right]\right)^{-1}E\left[W_{i}Y_{i}SobrevivirZ_{i}\right].$

• Regresión no paramétrica
• Grado efectivo de libertad

• Robinson, P.M. (1988). "Root-n Regreso semiparamétrico persistente". Econometrica. 56 (4). La Sociedad Econométrica: 931–954. doi:10.2307/1912705. JSTOR 1912705.
• Li, Qi; Racine, Jeffrey S. (2007). No paramétrica Econometría: Teoría y práctica. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12161-1.
• Racine, J.S.; Qui, L. (2007). "Un Estimador de kernel parcialmente lineal para datos Categorísticos". Manuscrito inédito, Mcmaster University.
• Ichimura, H. (1993). "Plazas mínimas semiparamétricas (SLS) y Estimación de SLS ponderada de Modelos de Índice Único". Journal of Econometrics. 58 (1–2): 71–120. doi:10.1016/0304-4076(93)90114-K.
• Klein, R. W.; R. H. Spady (1993). "Un estimador semiparamétrico eficiente para los modelos de respuesta binaria". Econometrica. 61 2). La Sociedad Econométrica: 387–421. CiteSeerX 10.1.1.318.4925. doi:10.2307/2951556. JSTOR 2951556.
• Hastie, T.; R. Tibshirani (1993). "Varying-Coefficient Models". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 55: 757–796.