Regla utilitaria

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En la elección social y la investigación de operaciones, la regla utilitaria (también llamada regla de la suma máxima) es una regla que dice que, entre todas las alternativas posibles, la sociedad debe elegir la alternativa que maximiza la suma de las utilidades de todos los individuos en la sociedad. Es una representación matemática formal de la filosofía utilitaria.

Definición

Sea $X$ un conjunto de posibles 'estados del mundo' o 'alternativas'. La sociedad desea elegir un solo estado de $X$ . Por ejemplo, en una elección de un solo ganador, $X$ puede representar al conjunto de candidatos; en un entorno de asignación de recursos, $X$ puede representar todas las asignaciones posibles del recurso.

Sea $yo$ un conjunto finito, que representa una colección de individuos. Para cada $yo en yo$ , ${displaystyle u_{i}:Xlongrightarrow mathbb {R} }$ sea una función de utilidad, que describa la cantidad de felicidad que un individuo i obtiene de cada estado posible.

Una regla de elección social es un mecanismo que utiliza los datos ${displaystyle (u_{i})_{ien I}}$ para seleccionar algunos elementos de los $X$ que son "mejores" para la sociedad (la cuestión de qué significa "mejor" es el problema básico de la teoría de la elección social).

La regla utilitaria selecciona un elemento $xen X$ que maximiza la suma utilitaria ${displaystyle U(x):=sum_{iin I}u_{i}(x).}$

Funciones de utilidad tangibles

La regla utilitaria es fácil de interpretar e implementar cuando las funciones u _i representan alguna forma de utilidad tangible y medible. Por ejemplo:

Considere un problema de asignación de madera entre constructores. Las funciones de utilidad pueden representar su poder productivo: ${ estilo de visualización u_ {i} (y_ {i})}$ es la cantidad de edificios que el agente $i$ puede construir utilizando $y_{yo}$ unidades de madera. La regla utilitaria luego asigna la madera de una manera que maximiza el número de edificios.
Considere un problema de asignación de un medicamento raro entre los pacientes. Las funciones de utilidad pueden representar su posibilidad de recuperación: ${ estilo de visualización u_ {i} (y_ {i})}$ es la probabilidad de que el agente $i$ se recupere al recibir $y_{yo}$ dosis del medicamento. La regla utilitaria luego asigna el medicamento de una manera que maximiza el número esperado de sobrevivientes.

Funciones de utilidad abstractas

Cuando las funciones u _i representan alguna forma abstracta de "felicidad", la regla utilitaria se vuelve más difícil de interpretar. Para que la fórmula anterior tenga sentido, se debe suponer que las funciones de utilidad ${displaystyle (u_{i})_{ien I}}$ son cardinales e interpersonalmente comparables a un nivel cardinal.

La noción de que los individuos tienen funciones de utilidad cardinales no es tan problemática. La utilidad cardinal se ha asumido implícitamente en la teoría de la decisión desde el análisis de Daniel Bernoulli de la paradoja de San Petersburgo. Frank P. Ramsey, Bruno de Finetti, von Neumann y Morgenstern y Leonard Savage desarrollaron teorías matemáticas rigurosas de la utilidad cardinal (con aplicación a la toma de decisiones arriesgadas). Sin embargo, en estas teorías, la función de utilidad de una persona sólo está bien definida hasta un "reajuste de escala afín". Por lo tanto, si la función de utilidad ${displaystyle u_{i}:Xlongrightarrow mathbb {R} }$ es una descripción válida de sus preferencias, y si ${displaystyle r_{i},s_{i}en mathbb {R} }$ son dos constantes con 0}">, entonces la función de utilidad 'reescalada' ${displaystyle v_{i}(x):=s_{i},u_{i}(x)+r_{i}}$ es una descripción igualmente válida de sus preferencias. Si definimos un nuevo paquete de funciones de utilidad ${displaystyle (v_{i})_{ien I}}$ usando posiblemente diferente ${displaystyle r_{i}en mathbb {R} }$ y 0}">para todos $yo en yo$ , y luego consideramos la suma utilitaria ${displaystyle V(x):=sum_{iin I}v_{i}(x),}$

entonces, en general, el maximizador de no $V$ será el mismo que el maximizador de. Así, en cierto sentido, la elección social utilitaria clásica no está bien definida dentro del modelo estándar de utilidad cardinal utilizado en la teoría de la decisión, a menos que se especifique un mecanismo para 'calibrar' las funciones de utilidad de los diferentes individuos. $tu$

Utilitarismo relativo

El utilitarismo relativo propone un mecanismo de calibración natural. Para cada $yo en yo$ , suponga que los valores ${displaystyle m_{i}:= min _{xin X},u_{i}(x)quad {text{y}}quad M_{i}:= max _{xen X},u_{i}(x)}$

están bien definidos. (Por ejemplo, esto siempre será cierto si $X$ es finito, o si $X$ es un espacio compacto y $tu_{yo}$ es una función continua). Luego define ${displaystyle w_{i}(x):= {frac {u_{i}(x)-m_{i}}{M_{i}-m_{i}}}}$

$xen X$ para todos Por lo tanto, ${displaystyle w_{i}:Xlongrightarrow mathbb {R} }$ es una función de utilidad 'reescalada' que tiene un valor mínimo de 0 y un valor máximo de 1. La regla de elección social utilitaria relativa selecciona el elemento en $X$ el que maximiza la suma utilitaria ${displaystyle W(x):=sum_{iin I}w_{i}(x).}$

Como función de elección social abstracta, el utilitarismo relativo ha sido analizado por Cao (1982), Dhillon (1998), Karni (1998), Dhillon y Mertens (1999), Segal (2000), Sobel (2001) y Pivato (2008). (Cao (1982) se refiere a ella como la "solución de Thomson modificada".)

La regla utilitaria y la eficiencia de Pareto

Toda elección eficiente en el sentido de Pareto es necesariamente utilitaria. Esto se debe a que cada mejora de Pareto necesariamente aumenta la suma de las utilidades. Pero la elección utilitaria no es la única eficiente en el sentido de Pareto. De hecho, cada opción utilitaria ponderada (que maximiza una suma ponderada de utilidades) es óptima en el sentido de Pareto, siempre que los pesos de todos los individuos sean positivos.

La regla utilitaria en contextos específicos

En el contexto de la votación, la regla utilitaria conduce a varios métodos de votación:

La votación por rango (también llamada votación por puntaje o votación utilitaria) implementa la regla del utilitarismo relativo al permitir que los votantes expresen explícitamente sus utilidades para cada alternativa en una escala normalizada común.
La votación utilitaria implícita trata de aproximarse a la regla utilitaria mientras permite que los votantes expresen solo clasificaciones ordinales sobre los candidatos.
Una regla de votación relacionada es el método de Nanson.

En el contexto de la asignación de recursos, la regla utilitaria conduce a:

Una regla particular para la división de un solo recurso homogéneo;
Varias reglas y algoritmos para el corte de torta utilitario: dividir un recurso heterogéneo;
Una regla particular para la asignación justa de artículos.

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