Regla integral de Leibniz

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Diferenciación bajo la fórmula de signo integral

En cálculo, la regla integral de Leibniz para la diferenciación bajo el signo integral establece que para una integral de la forma

{displaystyle int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t),dt,}

<math alttext="{displaystyle -infty <a(x),b(x)- - JUEGO JUEGO c)a()x),b()x)c)JUEGO JUEGO {displaystyle -infty ya(x),b(x) <img alt="{displaystyle -infty <a(x),b(x)

{displaystyle x,}

{displaystyle {begin{aligned}&{frac {d}{dx}}left(int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t),dtright)\&=f{big (}x,b(x){big)}cdot {frac {d}{dx}}b(x)-f{big (}x,a(x){big)}cdot {frac {d}{dx}}a(x)+int _{a(x)}^{b(x)}{frac {partial }{partial x}}f(x,t),dtend{aligned}}}

{displaystyle {tfrac {partial }{partial x}}}

{displaystyle f(x,t)}

{displaystyle x}

En el caso especial en que las funciones ${displaystyle a(x)}$ y ${displaystyle b(x)}$ son constantes ${displaystyle a(x)=a}$ y ${displaystyle b(x)=b}$ con valores que no dependen ${displaystyle x,}$ esto simplifica:

{displaystyle {frac {d}{dx}}left(int _{a}^{b}f(x,t),dtright)=int _{a}^{b}{frac {partial }{partial x}}f(x,t),dt.}

Si ${displaystyle a(x)=a}$ es constante y ${displaystyle b(x)=x}$ , que es otra situación común (por ejemplo, en la prueba de la fórmula de integración reiterada de Cauchy), la regla integral de Leibniz se convierte en:

{displaystyle {frac {d}{dx}}left(int _{a}^{x}f(x,t),dtright)=f{big (}x,x{big)}+int _{a}^{x}{frac {partial }{partial x}}f(x,t),dt,}

Este importante resultado puede, bajo ciertas condiciones, usarse para intercambiar los operadores integral y diferencial parcial, y es particularmente útil en la diferenciación de transformadas integrales. Un ejemplo de ello es la función generadora de momentos en la teoría de la probabilidad, una variación de la transformada de Laplace, que se puede diferenciar para generar los momentos de una variable aleatoria. La aplicación de la regla integral de Leibniz es esencialmente una cuestión de intercambio de límites.

Forma general: diferenciación bajo el signo integral

Theorem — Vamos. ${displaystyle f(x,t)}$ ser una función tal que ambos ${displaystyle f(x,t)}$ y su derivación parcial ${displaystyle f_{x}(x,t)}$ son continuos ${displaystyle t}$ y ${displaystyle x}$ en algunas regiones de la ${displaystyle xt}$ -plano, incluyendo ${displaystyle a(x)leq tleq b(x),}$ ${displaystyle x_{0}leq xleq x_{1}.}$ Suponga también que las funciones ${displaystyle a(x)}$ y ${displaystyle b(x)}$ son continuos y ambos tienen derivados continuos para ${displaystyle x_{0}leq xleq x_{1}.}$ Entonces, por ${displaystyle x_{0}leq xleq x_{1},}$

{displaystyle {frac {d}{dx}}left(int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t),dtright)=f{big (}x,b(x){big)}cdot {frac {d}{dx}}b(x)-f{big (}x,a(x){big)}cdot {frac {d}{dx}}a(x)+int _{a(x)}^{b(x)}{frac {partial }{partial x}}f(x,t),dt.}

El lado derecho también puede ser escrito usando la notación de Lagrange como: ${textstyle f(x,b(x)),b^{prime }(x)-f(x,a(x)),a^{prime }(x)+displaystyle int _{a(x)}^{b(x)}f_{x}(x,t),dt.}$

Las versiones más fuertes del teorema sólo requieren que el derivado parcial exista casi en todas partes, y no que sea continuo. Esta fórmula es la forma general de la regla integral de Leibniz y puede derivarse usando el teorema fundamental del cálculo. El (primero) teorema fundamental del cálculo es sólo el caso particular de la fórmula anterior donde ${displaystyle a(x)=ain mathbb {R} }$ es constante, ${displaystyle b(x)=x,}$ y ${displaystyle f(x,t)=f(t)}$ no depende de ${displaystyle x.}$

Si tanto el límite superior como el inferior se toman como constantes, entonces la fórmula toma la forma de una ecuación de operador:

{displaystyle {mathcal {I}}_{t}partial _{x}=partial _{x}{mathcal {I}}_{t}}

{displaystyle partial _{x}}

{displaystyle x}

{displaystyle {mathcal {I}}_{t}}

{displaystyle t}

Los siguientes tres teoremas básicos sobre el intercambio de límites son esencialmente equivalentes:

el intercambio de una derivación y una integral (diferenciación bajo el signo integral; es decir, la regla integral de Leibniz);
el cambio de orden de derivados parciales;
el cambio de orden de integración (integración bajo el signo integral; es decir, el teorema de Fubini).

Caso tridimensional y dependiente del tiempo

Una regla integral de Leibniz para una superficie bidimensional que se mueve en un espacio tridimensional es

{displaystyle {frac {d}{dt}}iint _{Sigma (t)}mathbf {F} (mathbf {r}t)cdot dmathbf {A} =iint _{Sigma (t)}left(mathbf {F} _{t}(mathbf {r}t)+left[nabla cdot mathbf {F} (mathbf {r}t)right]mathbf {v} right)cdot dmathbf {A} -oint _{partial Sigma (t)}left[mathbf {v} times mathbf {F} (mathbf {r}t)right]cdot dmathbf {s}}

donde:

$F () r, t)$ es un campo vectorial en la posición espacial $r$ a la vez $t$ ,
$.$ es una superficie atada por la curva cerrada $\partial$ ,
$d A$ es un elemento vectorial de la superficie $.$ ,
$d s$ es un elemento vectorial de la curva $\partial$ ,
$v$ es la velocidad de movimiento de la región $.$ ,
$\cdot$ es la divergencia vectorial,
$\times$ es el producto de la cruz vectorial,
Las dobles integrales son integrales de superficie sobre la superficie $.$ , y la línea integral está sobre la curva de unión $\partial$ .

Dimensiones superiores

La regla integral de Leibniz se puede extender a integrales multidimensionales. En dos y tres dimensiones, esta regla se conoce mejor en el campo de la dinámica de fluidos como teorema del transporte de Reynolds:

{displaystyle {frac {d}{dt}}int _{D(t)}F(mathbf {x}t),dV=int _{D(t)}{frac {partial }{partial t}}F(mathbf {x}t),dV+int _{partial D(t)}F(mathbf {x}t)mathbf {v} _{b}cdot dmathbf {Sigma }}

Donde ${displaystyle F(mathbf {x}t)}$ es una función de escalar, $D () t)$ y $\partial D () t)$ denota una región conexa de tiempo R³ y su límite, respectivamente, ${displaystyle mathbf {v} _{b}}$ es la velocidad euleria del límite (ver coordenadas lagrangian y eulerian) y $d . = n DS$ es el componente normal de la unidad del elemento superficial.

El enunciado general de la regla integral de Leibniz requiere conceptos de geometría diferencial, específicamente formas diferenciales, derivadas exteriores, productos de cuña y productos interiores. Con esas herramientas, la regla integral de Leibniz en n dimensiones es

{displaystyle {frac {d}{dt}}int _{Omega (t)}omega =int _{Omega (t)}i_{mathbf {v} }(d_{x}omega)+int _{partial Omega (t)}i_{mathbf {v} }omega +int _{Omega (t)}{dot {omega }},}

Ω(t)

⋅p

{displaystyle mathbf {v} ={frac {partial mathbf {x} }{partial t}}}

{displaystyle i_{mathbf {v} }}

{displaystyle mathbf {v} }

d_x⋅⋅

{displaystyle {dot {omega }}}

⋅

Sin embargo, todas estas identidades pueden derivarse de una afirmación muy general sobre los derivados de Lie:

{displaystyle left.{frac {d}{dt}}right|_{t=0}int _{operatorname {im} _{psi _{t}}(Omega)}omega =int _{Omega }{mathcal {L}}_{Psi }omega}

Aquí, el conjunto ambiente en el que la forma diferencial ${displaystyle omega }$ las vidas incluyen espacio y tiempo.

${displaystyle Omega }$ es la región de integración (un submanifold) en un instante dado (no depende de ${displaystyle t}$ , ya que su parametrización como submanifold define su posición a tiempo),
${displaystyle {mathcal {L}}}$ es el derivado de Lie,
${displaystyle Psi }$ es el campo vectorial espacial obtenido de añadir el campo vectorial unitario en la dirección del tiempo al campo vectorial puramente espacial ${displaystyle mathbf {v} }$ de las fórmulas anteriores (es decir, ${displaystyle Psi }$ es la velocidad espacial de ${displaystyle Omega }$ ),
${displaystyle psi _{t}}$ es un difeomorfismo del grupo de un parámetro generado por el flujo de ${displaystyle Psi }$ , y
${displaystyle {text{im}}_{psi _{t}}(Omega)}$ es la imagen de ${displaystyle Omega }$ bajo tal diffeomorfismo.

Algo notable sobre esta forma, es que puede explicar el caso cuando ${displaystyle Omega }$ cambia su forma y tamaño a lo largo del tiempo, ya que tales deformaciones están completamente determinada por ${displaystyle Psi }$ .

Declaración de la teoría de la medida

Vamos. ${displaystyle X}$ ser un subconjunto abierto ${displaystyle mathbf {R} }$ , y ${displaystyle Omega }$ ser un espacio de medida. Suppose ${displaystyle fcolon Xtimes Omega to mathbf {R} }$ satisface las siguientes condiciones:

${displaystyle f(x,omega)}$ es una función integradora de Lebesgue ${displaystyle omega }$ para cada uno ${displaystyle xin X}$ .
Para casi todo ${displaystyle omega in Omega }$ el derivado parcial ${displaystyle f_{x}}$ existe para todos ${displaystyle xin X}$ .
Hay una función integradora ${displaystyle theta colon Omega to mathbf {R} }$ tales que ${displaystyle |f_{x}(x,omega)|leq theta (omega)}$ para todos ${displaystyle xin X}$ y casi todos ${displaystyle omega in Omega }$ .

Entonces, para todos ${displaystyle xin X}$ ,

{displaystyle {frac {d}{dx}}int _{Omega }f(x,omega),domega =int _{Omega }f_{x}(x,omega),domega.}

La prueba se basa en el teorema de la convergencia dominada y el teorema del valor medio (detalles a continuación).

Pruebas

Prueba de formulario básico

Primero probamos el caso de límites constantes de integración a y b.

Usamos el teorema de Fubini para cambiar el orden de integración. Para cada $x$ y $h$ , de modo que $h > 0$ y tanto $x$ como $x + h$ están dentro de $[x 0, x 1]$ , tenemos:

{displaystyle int _{x}^{x+h}int _{a}^{b}f_{x}(x,t),dt,dx=int _{a}^{b}int _{x}^{x+h}f_{x}(x,t),dx,dt=int _{a}^{b}left(f(x+h,t)-f(x,t)right),dt=int _{a}^{b}f(x+h,t),dt-int _{a}^{b}f(x,t),dt}

Tenga en cuenta que las integrales presentes están bien definidas desde entonces ${displaystyle f_{x}(x,t)}$ es continuo en el rectángulo cerrado ${displaystyle [x_{0},x_{1}]times [a,b]}$ y por lo tanto también uniformemente continuo allí; así sus integrales por ♪ o dx son continuos en la otra variable y también integrados por ella (esencialmente esto es porque para funciones uniformemente continuas, se puede pasar el límite a través del signo de integración, como se explica a continuación).

Por lo tanto:

{displaystyle {frac {int _{a}^{b}f(x+h,t),dt-int _{a}^{b}f(x,t),dt}{h}}={frac {1}{h}}int _{x}^{x+h}int _{a}^{b}f_{x}(x,t),dt,dx={frac {F(x+h)-F(x)}{h}}}

Donde hemos definido:

{displaystyle F(u)equiv int _{x_{0}}^{u}int _{a}^{b}f_{x}(x,t),dt,dx}

x₀x₀x

F es diferente con derivados ${textstyle int _{a}^{b}f_{x}(x,t),dt}$ , así podemos tomar el límite donde $h$ enfoques cero. Para el lado izquierdo este límite es:

{displaystyle {frac {d}{dx}}int _{a}^{b}f(x,t),dt}

Para el lado derecho, obtenemos:

{displaystyle F'(x)=int _{a}^{b}f_{x}(x,t),dt}

{displaystyle {frac {d}{dx}}int _{a}^{b}f(x,t),dt=int _{a}^{b}f_{x}(x,t),dt}

Otra prueba utilizando el teorema de convergencia acotada

Si las integrales que nos ocupan son integrales de Lebesgue, podemos usar el teorema de convergencia acotada (válido para estas integrales, pero no para las integrales de Riemann) para demostrar que el límite puede pasar por el signo de la integral.

Tenga en cuenta que esta prueba es más débil en el sentido de que solo muestra que f_x(x,t) es integrable de Lebesgue, pero no es integrable de Riemann. En la prueba anterior (más fuerte), si f(x,t) es integrable de Riemann, entonces también lo es f_x(x,t) (y por lo tanto obviamente también es integrable de Lebesgue).

Dejar

{displaystyle u(x)=int _{a}^{b}f(x,t),dt.}

()1)

Según la definición de derivada,

{displaystyle u'(x)=lim _{hto 0}{frac {u(x+h)-u(x)}{h}}.}

()2)

Sustituye la ecuación (1) en la ecuación (2). La diferencia de dos integrales es igual a la integral de la diferencia, y 1/h es una constante, entonces

{displaystyle {begin{aligned}u'(x)&=lim _{hto 0}{frac {int _{a}^{b}f(x+h,t),dt-int _{a}^{b}f(x,t),dt}{h}}\&=lim _{hto 0}{frac {int _{a}^{b}left(f(x+h,t)-f(x,t)right),dt}{h}}\&=lim _{hto 0}int _{a}^{b}{frac {f(x+h,t)-f(x,t)}{h}},dt.end{aligned}}}

Ahora mostramos que el límite se puede pasar por el signo integral.

Afirmamos que el paso del límite bajo el signo integral es válido según el teorema de convergencia acotada (un corolario del teorema de convergencia dominada). Para cada δ > 0, considere el cociente de diferencias

{displaystyle f_{delta }(x,t)={frac {f(x+deltat)-f(x,t)}{delta }}.}

tzxxδ

{displaystyle f_{delta }(x,t)=f_{x}(z,t).}

f_xxtf_xxt

{displaystyle t}

{displaystyle f_{delta }(x,t)}

f_x

El argumento anterior muestra que por cada secuencia {δ_n} → 0, la secuencia ${displaystyle {f_{delta _{n}}(x,t)}}$ está unido uniformemente y converge punto a punto f_x. El teorema de convergencia atado declara que si una secuencia de funciones en un conjunto de medidas finitas está ligada uniformemente y converge de forma puntual, entonces el paso del límite bajo la integral es válido. En particular, el límite e integral puede ser intercambiado por cada secuencia {δ_n} → 0. Por consiguiente, el límite δ → 0 se puede pasar a través del signo integral.

Formulario de límites variables

Para una función de valor real continua g de una variable real, y las funciones diferenciables de valor real ${displaystyle f_{1}}$ y ${displaystyle f_{2}}$ de una variable real,

{displaystyle {frac {d}{dx}}left(int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t),dtright)=gleft(f_{2}(x)right){f_{2}'(x)}-gleft(f_{1}(x)right){f_{1}'(x)}.}

Esto se deriva de la regla de la cadena y del Primer Teorema Fundamental del Cálculo. Define

{displaystyle G(x)=int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t),dt,}

{displaystyle Gamma (x)=int _{0}^{x}g(t),dt.}

{displaystyle g}

Entonces, ${displaystyle G(x)}$ puede ser escrito como una composición: ${displaystyle G(x)=(Gamma circ f_{2})(x)-(Gamma circ f_{1})(x)}$ . La Regla de la Cadena implica entonces que

{displaystyle G'(x)=Gamma 'left(f_{2}(x)right)f_{2}'(x)-Gamma 'left(f_{1}(x)right)f_{1}'(x).}

{displaystyle Gamma '(x)=g(x)}

{displaystyle G'(x)=gleft(f_{2}(x)right){f_{2}'(x)}-gleft(f_{1}(x)right){f_{1}'(x)}.}

Nota: Esta forma puede resultar particularmente útil si la expresión que se va a diferenciar tiene la forma:

{displaystyle int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t),dt}

{displaystyle h(x)}

{displaystyle {frac {d}{dx}}left(int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t),dtright)={frac {d}{dx}}left(h(x)int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t),dtright)=h'(x)int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t),dt+h(x){frac {d}{dx}}left(int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t),dtright)}

Forma general con límites variables

Establecer

{displaystyle varphi (alpha)=int _{a}^{b}f(x,alpha),dx,}

abαabαα

{displaystyle {begin{aligned}Delta varphi &=varphi (alpha +Delta alpha)-varphi (alpha)\[4pt]&=int _{a+Delta a}^{b+Delta b}f(x,alpha +Delta alpha),dx-int _{a}^{b}f(x,alpha),dx\[4pt]&=int _{a+Delta a}^{a}f(x,alpha +Delta alpha),dx+int _{a}^{b}f(x,alpha +Delta alpha),dx+int _{b}^{b+Delta b}f(x,alpha +Delta alpha),dx-int _{a}^{b}f(x,alpha),dx\[4pt]&=-int _{a}^{a+Delta a}f(x,alpha +Delta alpha),dx+int _{a}^{b}[f(x,alpha +Delta alpha)-f(x,alpha)],dx+int _{b}^{b+Delta b}f(x,alpha +Delta alpha),dx.end{aligned}}}

Una forma del teorema de valor medio, ${textstyle int _{a}^{b}f(x),dx=(b-a)f(xi)}$ , donde a c) . c) b, se puede aplicar a las primeras y últimas integrales de la fórmula para Δφ supra, resultando en

{displaystyle Delta varphi =-Delta af(xi _{1},alpha +Delta alpha)+int _{a}^{b}[f(x,alpha +Delta alpha)-f(x,alpha)],dx+Delta bf(xi _{2},alpha +Delta alpha).}

Dividir por Δα y dejar que Δα → 0. Observe ξ₁ → a y ξ₂ → b. Podemos pasar el límite por el signo integral:

{displaystyle lim _{Delta alpha to 0}int _{a}^{b}{frac {f(x,alpha +Delta alpha)-f(x,alpha)}{Delta alpha }},dx=int _{a}^{b}{frac {partial }{partial alpha }}f(x,alpha),dx,}

{displaystyle {frac {dvarphi }{dalpha }}=int _{a}^{b}{frac {partial }{partial alpha }}f(x,alpha),dx+f(b,alpha){frac {db}{dalpha }}-f(a,alpha){frac {da}{dalpha }}.}

Prueba alternativa de la forma general con límites variables, usando la regla de la cadena

La forma general de la Regla Integral de Leibniz con límites variables puede derivarse como consecuencia de la forma básica de la Regla Integral de Leibniz, la regla de cadena multivariable y el Primer Teorema Fundamental del Cálculo. Suppose ${displaystyle f}$ se define en un rectángulo en el ${displaystyle x-t}$ avión, para ${displaystyle xin [x_{1},x_{2}]}$ y ${displaystyle tin [t_{1},t_{2}]}$ . Además, asuma ${displaystyle f}$ y el derivado parcial ${textstyle {frac {partial f}{partial x}}}$ son ambas funciones continuas en este rectángulo. Suppose ${displaystyle a,b}$ son funciones de valor real diferenciables definidas ${displaystyle [x_{1},x_{2}]}$ , con valores en ${displaystyle [t_{1},t_{2}]}$ (es decir, por cada ${displaystyle xin [x_{1},x_{2}],a(x),b(x)in [t_{1},t_{2}]}$ ). Ahora, listo

{displaystyle F(x,y)=int _{t_{1}}^{y}f(x,t),dt,qquad {text{for}}~xin [x_{1},x_{2}]~{text{and}}~yin [t_{1},t_{2}]}

{displaystyle G(x)=int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t),dt,quad {text{for}}~xin [x_{1},x_{2}]}

Entonces, por las propiedades de las Integrales Definidas, podemos escribir

{displaystyle {begin{aligned}G(x)&=int _{t_{1}}^{b(x)}f(x,t),dt-int _{t_{1}}^{a(x)}f(x,t),dt\[4pt]&=F(x,b(x))-F(x,a(x))end{aligned}}}

Desde las funciones ${displaystyle F,a,b}$ son todos diferenciables (ver la observación al final de la prueba), por la Regla de Cadena Multivariable, sigue que ${displaystyle G}$ es diferente, y su derivado es dado por la fórmula:

{displaystyle G'(x)=left({frac {partial F}{partial x}}(x,b(x))+{frac {partial F}{partial y}}(x,b(x))b'(x)right)-left({frac {partial F}{partial x}}(x,a(x))+{frac {partial F}{partial y}}(x,a(x))a'(x)right)}

Ahora, nota eso por cada ${displaystyle xin [x_{1},x_{2}]}$ , y por cada ${displaystyle yin [t_{1},t_{2}]}$ , tenemos eso ${textstyle {frac {partial F}{partial x}}(x,y)=int _{t_{1}}^{y}{frac {partial f}{partial x}}(x,t),dt}$ , porque al tomar el derivado parcial con respecto a ${displaystyle x}$ de ${displaystyle F}$ , estamos manteniendo ${displaystyle y}$ fijada en la expresión ${textstyle int _{t_{1}}^{y}f(x,t),dt}$ ; así se aplica la forma básica de la Regla Integral de Leibniz con límites constantes de integración. A continuación, por el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, tenemos que ${textstyle {frac {partial F}{partial y}}(x,y)=f(x,y)}$ ; porque al tomar el derivado parcial con respecto a ${displaystyle y}$ de ${displaystyle F}$ , la primera variable ${displaystyle x}$ es fijo, por lo que el teorema fundamental puede ser aplicado.

Sustituir estos resultados en la ecuación para ${displaystyle G'(x)}$ arriba da:

{displaystyle {begin{aligned}G'(x)&=left(int _{t_{1}}^{b(x)}{frac {partial f}{partial x}}(x,t),dt+f(x,b(x))b'(x)right)-left(int _{t_{1}}^{a(x)}{dfrac {partial f}{partial x}}(x,t),dt+f(x,a(x))a'(x)right)\[2pt]&=f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+int _{a(x)}^{b(x)}{frac {partial f}{partial x}}(x,t),dt,end{aligned}}}

Hay un punto técnico en la prueba anterior que vale la pena señalar: aplicar la Regla de la Cadena a ${displaystyle G}$ requiere ${displaystyle F}$ ya sea diferente. Aquí es donde usamos nuestras suposiciones sobre ${displaystyle f}$ . Como se mencionó anteriormente, los derivados parciales de ${displaystyle F}$ son dados por las fórmulas ${textstyle {frac {partial F}{partial x}}(x,y)=int _{t_{1}}^{y}{frac {partial f}{partial x}}(x,t),dt}$ y ${textstyle {frac {partial F}{partial y}}(x,y)=f(x,y)}$ . Desde ${textstyle {dfrac {partial f}{partial x}}}$ es continua, su integral es también una función continua, y desde ${displaystyle f}$ es también continuo, estos dos resultados muestran que ambos los derivados parciales de ${displaystyle F}$ son continuos. Puesto que la continuidad de los derivados parciales implica diferenciabilidad de la función, ${displaystyle F}$ es realmente diferente.

Forma tridimensional dependiente del tiempo

At time t la superficie de la OPS en la Figura 1 contiene un conjunto de puntos dispuestos alrededor de un centroide ${displaystyle mathbf {C} (t)}$ . La función ${displaystyle mathbf {F} (mathbf {r}t)}$ puede ser escrito como

{displaystyle mathbf {F} (mathbf {C} (t)+mathbf {r} -mathbf {C} (t),t)=mathbf {F} (mathbf {C} (t)+mathbf {I}t),}

{displaystyle mathbf {I} }

{displaystyle mathbf {C} (t)}

{displaystyle {frac {d}{dt}}left(iint _{Sigma (t)}dmathbf {A} _{mathbf {r} }cdot mathbf {F} (mathbf {r}t)right)=iint _{Sigma }dmathbf {A} _{mathbf {I} }cdot {frac {d}{dt}}mathbf {F} (mathbf {C} (t)+mathbf {I}t),}

{displaystyle {frac {d}{dt}}mathbf {F} (mathbf {C} (t)+mathbf {I}t)=mathbf {F} _{t}(mathbf {C} (t)+mathbf {I}t)+mathbf {vcdot nabla F} (mathbf {C} (t)+mathbf {I}t)=mathbf {F} _{t}(mathbf {r}t)+mathbf {v} cdot nabla mathbf {F} (mathbf {r}t),}

{displaystyle mathbf {v} ={frac {d}{dt}}mathbf {C} (t).}

Esta ecuación expresa la derivada material del campo, es decir, la derivada con respecto a un sistema de coordenadas unido a la superficie en movimiento. Una vez encontrada la derivada, las variables se pueden volver al marco de referencia original. Notamos que (ver artículo sobre curl)

{displaystyle nabla times left(mathbf {v} times mathbf {F} right)=(nabla cdot mathbf {F} +mathbf {F} cdot nabla)mathbf {v} -(nabla cdot mathbf {v} +mathbf {v} cdot nabla)mathbf {F}}

\partial

{displaystyle {frac {d}{dt}}left(iint _{Sigma (t)}mathbf {F} (mathbf {r}t)cdot dmathbf {A} right)=iint _{Sigma (t)}{big (}mathbf {F} _{t}(mathbf {r}t)+left(mathbf {Fcdot nabla } right)mathbf {v} +left(nabla cdot mathbf {F} right)mathbf {v} -(nabla cdot mathbf {v})mathbf {F} {big)}cdot dmathbf {A} -oint _{partial Sigma (t)}left(mathbf {v} times mathbf {F} right)cdot dmathbf {s}.}

El signo de la integral de línea se basa en la regla de la mano derecha para la elección de la dirección del elemento de línea ds. Para establecer este signo, por ejemplo, supongamos que el campo F apunta en la dirección z positiva y que la superficie Σ es una porción de la dirección xy. >-plano con perímetro ∂Σ. Adoptamos la normal a Σ para que esté en la dirección z positiva. El recorrido positivo de ∂Σ se realiza entonces en sentido antihorario (regla de la mano derecha con el pulgar a lo largo del eje z). Entonces la integral del lado izquierdo determina un flujo positivo de F a través de Σ. Supongamos que Σ se traslada en la dirección x positiva a una velocidad v. Un elemento del límite de Σ paralelo al eje y, digamos ds, barre un área vt × ds en el tiempo t. Si integramos alrededor del límite ∂Σ en sentido antihorario, vt × ds apunta en negativo Dirección z en el lado izquierdo de ∂Σ (donde ds apunta hacia abajo), y en la z positiva >-dirección en el lado derecho de ∂Σ (donde ds apunta hacia arriba), lo cual tiene sentido porque Σ se mueve hacia la derecha, agregando área a la derecha y perdiendo está a la izquierda. Sobre esa base, el flujo de F aumenta a la derecha de ∂Σ y disminuye a la izquierda. Sin embargo, el producto escalar $v \times F \cdot d s = - F \times v \cdot d s = - F \cdot v \times d s$ . En consecuencia, el signo de la integral de recta se toma como negativo.

Si v es una constante,

{displaystyle {frac {d}{dt}}iint _{Sigma (t)}mathbf {F} (mathbf {r}t)cdot dmathbf {A} =iint _{Sigma (t)}{big (}mathbf {F} _{t}(mathbf {r}t)+left(nabla cdot mathbf {F} right)mathbf {v} {big)}cdot dmathbf {A} -oint _{partial Sigma (t)}left(mathbf {v} times mathbf {F} right)cdot ,dmathbf {s}}

Derivación alternativa

Lema. Se tiene:

{displaystyle {frac {partial }{partial b}}left(int _{a}^{b}f(x),dxright)=f(b),qquad {frac {partial }{partial a}}left(int _{a}^{b}f(x),dxright)=-f(a).}

Demostración. De la demostración del teorema fundamental del cálculo,

{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial }{partial b}}left(int _{a}^{b}f(x),dxright)&=lim _{Delta bto 0}{frac {1}{Delta b}}left[int _{a}^{b+Delta b}f(x),dx-int _{a}^{b}f(x),dxright]\[6pt]&=lim _{Delta bto 0}{frac {1}{Delta b}}int _{b}^{b+Delta b}f(x),dx\[6pt]&=lim _{Delta bto 0}{frac {1}{Delta b}}left[f(b)Delta b+Oleft(Delta b^{2}right)right]\[6pt]&=f(b),end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial }{partial a}}left(int _{a}^{b}f(x),dxright)&=lim _{Delta ato 0}{frac {1}{Delta a}}left[int _{a+Delta a}^{b}f(x),dx-int _{a}^{b}f(x),dxright]\[6pt]&=lim _{Delta ato 0}{frac {1}{Delta a}}int _{a+Delta a}^{a}f(x),dx\[6pt]&=lim _{Delta ato 0}{frac {1}{Delta a}}left[-f(a)Delta a+Oleft(Delta a^{2}right)right]\[6pt]&=-f(a).end{aligned}}}

Supongamos que a y b son constantes y que f(x) implica un parámetro α que es constante en la integración pero puede variar para formar diferentes integrales. Supongamos que f(x, α) es una función continua de x y α > en el conjunto compacto {(x, α): α₀ ≤ α ≤ α₁ y a ≤ x ≤ b}, y que el La derivada parcial f_α(x, α) existe y es continua. Si se define:

{displaystyle varphi (alpha)=int _{a}^{b}f(x,alpha),dx,}

{displaystyle varphi }

{displaystyle {frac {dvarphi }{dalpha }}=int _{a}^{b}{frac {partial }{partial alpha }}f(x,alpha),dx.}

Según el teorema de Heine-Cantor es uniformemente continuo en ese conjunto. En otras palabras, para cualquier ε > 0 existe Δα tal que para todos los valores de x en [a, b],

<math alttext="{displaystyle |f(x,alpha +Delta alpha)-f(x,alpha)|Silenciof()x,α α +Δ Δ α α )- - f()x,α α )Silencioc)ε ε .{displaystyle Silenciof(x,alpha +Delta alpha)-f(x,alpha) arrestadovarepsilon.} <img alt="{displaystyle |f(x,alpha +Delta alpha)-f(x,alpha)|

Por otro lado,

{displaystyle {begin{aligned}Delta varphi &=varphi (alpha +Delta alpha)-varphi (alpha)\[6pt]&=int _{a}^{b}f(x,alpha +Delta alpha),dx-int _{a}^{b}f(x,alpha),dx\[6pt]&=int _{a}^{b}left(f(x,alpha +Delta alpha)-f(x,alpha)right),dx\[6pt]&leq varepsilon (b-a).end{aligned}}}

Por lo tanto, φ(α) es una función continua.

Del mismo modo si ${displaystyle {frac {partial }{partial alpha }}f(x,alpha)}$ existe y es continuo, entonces para todos ε ■ 0 existe Δα tal que:

<math alttext="{displaystyle forall xin [a,b],quad left|{frac {f(x,alpha +Delta alpha)-f(x,alpha)}{Delta alpha }}-{frac {partial f}{partial alpha }}right|О О x▪ ▪ [a,b],Silenciof()x,α α +Δ Δ α α )− − f()x,α α )Δ Δ α α − − ∂ ∂ f∂ ∂ α α Silencioc)ε ε .{displaystyle forall xin [a,b],quad left WordPress{frac {f(x,alpha +Delta alpha)-f(x,alpha)}{Delta alpha }-{frac {partial f}{partial alpha Está bien.<img alt="{displaystyle forall xin [a,b],quad left|{frac {f(x,alpha +Delta alpha)-f(x,alpha)}{Delta alpha }}-{frac {partial f}{partial alpha }}right|

Por lo tanto,

{displaystyle {frac {Delta varphi }{Delta alpha }}=int _{a}^{b}{frac {f(x,alpha +Delta alpha)-f(x,alpha)}{Delta alpha }},dx=int _{a}^{b}{frac {partial f(x,alpha)}{partial alpha }},dx+R,}

<math alttext="{displaystyle |R|SilencioRSilencioc)∫ ∫ abε ε dx=ε ε ()b− − a).{displaystyle TENRIA EN SUPERSIÓNint _{a}varepsilon ,dx=varepsilon (b-a).}<img alt="{displaystyle |R|

Ahora, ε → 0 como Δα → 0, entonces

{displaystyle lim _{{Delta alpha }to 0}{frac {Delta varphi }{Delta alpha }}={frac {dvarphi }{dalpha }}=int _{a}^{b}{frac {partial }{partial alpha }}f(x,alpha),dx.}

Esta es la fórmula que nos propusimos probar.

Ahora, supongamos

{displaystyle int _{a}^{b}f(x,alpha),dx=varphi (alpha),}

abαabαα

{displaystyle {begin{aligned}Delta varphi &=varphi (alpha +Delta alpha)-varphi (alpha)\[6pt]&=int _{a+Delta a}^{b+Delta b}f(x,alpha +Delta alpha),dx-int _{a}^{b}f(x,alpha),dx\[6pt]&=int _{a+Delta a}^{a}f(x,alpha +Delta alpha),dx+int _{a}^{b}f(x,alpha +Delta alpha),dx+int _{b}^{b+Delta b}f(x,alpha +Delta alpha),dx-int _{a}^{b}f(x,alpha),dx\[6pt]&=-int _{a}^{a+Delta a}f(x,alpha +Delta alpha),dx+int _{a}^{b}[f(x,alpha +Delta alpha)-f(x,alpha)],dx+int _{b}^{b+Delta b}f(x,alpha +Delta alpha),dx.end{aligned}}}

Una forma del teorema de valor medio, ${textstyle int _{a}^{b}f(x),dx=(b-a)f(xi),}$ Donde a c) . c) b, se puede aplicar a las primeras y últimas integrales de la fórmula para Δφ supra, resultando en

{displaystyle Delta varphi =-Delta a,f(xi _{1},alpha +Delta alpha)+int _{a}^{b}[f(x,alpha +Delta alpha)-f(x,alpha)],dx+Delta b,f(xi _{2},alpha +Delta alpha).}

Dividiendo por Δα, dejando Δα → 0, notando ξ₁ → a y ξ₂ → b y usando la derivación anterior para

{displaystyle {frac {dvarphi }{dalpha }}=int _{a}^{b}{frac {partial }{partial alpha }}f(x,alpha),dx}

{displaystyle {frac {dvarphi }{dalpha }}=int _{a}^{b}{frac {partial }{partial alpha }}f(x,alpha),dx+f(b,alpha){frac {partial b}{partial alpha }}-f(a,alpha){frac {partial a}{partial alpha }}.}

Ésta es la forma general de la regla integral de Leibniz.

Ejemplos

Ejemplo 1: Límites fijos

Considere la función

{displaystyle varphi (alpha)=int _{0}^{1}{frac {alpha }{x^{2}+alpha ^{2}}},dx.}

La función bajo el signo integral no es continua en el punto (x, α) = (0, 0), y la función φ(α) tiene una discontinuidad en α = 0 porque φ(α) se aproxima a ± π/2 como α → 0^±.

Si derivamos φ(α) con respecto a α bajo el signo integral, obtenemos

{displaystyle {frac {d}{dalpha }}varphi (alpha)=int _{0}^{1}{frac {partial }{partial alpha }}left({frac {alpha }{x^{2}+alpha ^{2}}}right),dx=int _{0}^{1}{frac {x^{2}-alpha ^{2}}{(x^{2}+alpha ^{2})^{2}}}dx=left.-{frac {x}{x^{2}+alpha ^{2}}}right|_{0}^{1}=-{frac {1}{1+alpha ^{2}}},}

ααα

{displaystyle varphi (alpha)={begin{cases}0,&alpha =0,\-arctan({alpha })+{frac {pi }{2}},&alpha neq 0.end{cases}}}

Ejemplo 2: Límites variables

Un ejemplo con límites variables:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {d}{dx}}int _{sin x}^{cos x}cosh t^{2},dt&=cosh left(cos ^{2}xright){frac {d}{dx}}(cos x)-cosh left(sin ^{2}xright){frac {d}{dx}}(sin x)+int _{sin x}^{cos x}{frac {partial }{partial x}}(cosh t^{2}),dt\[6pt]&=cosh(cos ^{2}x)(-sin x)-cosh(sin ^{2}x)(cos x)+0\[6pt]&=-cosh(cos ^{2}x)sin x-cosh(sin ^{2}x)cos x.end{aligned}}}

Aplicaciones

Evaluación de integrales definidas

La fórmula

{displaystyle {frac {d}{dx}}left(int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t),dtright)=f{big (}x,b(x){big)}cdot {frac {d}{dx}}b(x)-f{big (}x,a(x){big)}cdot {frac {d}{dx}}a(x)+int _{a(x)}^{b(x)}{frac {partial }{partial x}}f(x,t),dt}

Ejemplo 3

Considere

{displaystyle varphi (alpha)=int _{0}^{pi }ln left(1-2alpha cos(x)+alpha ^{2}right),dx,qquad |alpha |neq 1.}

Ahora,

{displaystyle {begin{aligned}{frac {d}{dalpha }}varphi (alpha)&=int _{0}^{pi }{frac {-2cos(x)+2alpha }{1-2alpha cos(x)+alpha ^{2}}}dx\[6pt]&={frac {1}{alpha }}int _{0}^{pi }left(1-{frac {1-alpha ^{2}}{1-2alpha cos(x)+alpha ^{2}}}right)dx\[6pt]&=left.{frac {pi }{alpha }}-{frac {2}{alpha }}left{arctan left({frac {1+alpha }{1-alpha }}tan left({frac {x}{2}}right)right)right}right|_{0}^{pi }.end{aligned}}}

As ${displaystyle x}$ varias de ${displaystyle 0}$ a ${displaystyle pi }$ , tenemos

<math alttext="{displaystyle {begin{cases}{frac {1+alpha }{1-alpha }}tan left({frac {x}{2}}right)geq 0,&|alpha |1.end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">{}1+α α 1− − α α #⁡ ⁡ ()x2)≥ ≥ 0,Silencioα α Silencioc)1,1+α α 1− − α α #⁡ ⁡ ()x2)≤ ≤ 0,Silencioα α Silencio■1.{displaystyle {begin{cases}{frac {1+alfa }{1-alpha }tan left({frac {x}{2}right)geq 0, limitándosealpha ANTETENse1,{frac {1+alpha }{1-alpha }tan left({frac {x}{2}right)leq 0, limitándosealpha 贸 confianza1.end{cases}}<img alt="{displaystyle {begin{cases}{frac {1+alpha }{1-alpha }}tan left({frac {x}{2}}right)geq 0,&|alpha |1.end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0565d6bbca11b99ab555f81c7ce9b52a3dcd1388" style="vertical-align: -3.338ex; width:29.186ex; height:7.843ex;"/>

Por lo tanto,

<math alttext="{displaystyle left.arctan left({frac {1+alpha }{1-alpha }}tan left({frac {x}{2}}right)right)right|_{0}^{pi }={begin{cases}{frac {pi }{2}},&|alpha |1.end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">arctan⁡ ⁡ ()1+α α 1− − α α #⁡ ⁡ ()x2))Silencio0π π ={}π π 2,Silencioα α Silencioc)1,− − π π 2,Silencioα α Silencio■1.{displaystyle left.arctan left({frac {1+alfa {fnMicrosoft Sans Serif}derechoso)derechoso. }={begin{cases}{frac {pi }{2}} {begin{cases}{frac {pi }{2}}}} {fnuncióalpha TENIDO1.end{cases}}<img alt="{displaystyle left.arctan left({frac {1+alpha }{1-alpha }}tan left({frac {x}{2}}right)right)right|_{0}^{pi }={begin{cases}{frac {pi }{2}},&|alpha |1.end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec8afc888e803780b1ee646a228988023baf49b" style="vertical-align: -2.671ex; width:46.561ex; height:6.509ex;"/>

Por lo tanto,

<math alttext="{displaystyle {frac {d}{dalpha }}varphi (alpha)={begin{cases}0,&|alpha |1.end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ddα α φ φ ()α α )={}0,Silencioα α Silencioc)1,2π π α α ,Silencioα α Silencio■1.{displaystyle {frac}{dalpha }varphi (alpha)={begin{cases}0, limitándose a viviralpha 1,\{frac {2pi }{alpha }} }, Pulso permanentealpha Silencio.<img alt="{displaystyle {frac {d}{dalpha }}varphi (alpha)={begin{cases}0,&|alpha |1.end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10cdfeea08a82bb39bd929a4a7e1c452dcb8ba20" style="vertical-align: -2.671ex; width:27.208ex; height:6.509ex;"/>

Integrar ambas partes con respecto a ${displaystyle alpha }$ , tenemos:

<math alttext="{displaystyle varphi (alpha)={begin{cases}C_{1},&|alpha |1.end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">φ φ ()α α )={}C1,Silencioα α Silencioc)1,2π π In⁡ ⁡ Silencioα α Silencio+C2,Silencioα α Silencio■1.{displaystyle varphi (alpha)={begin{cases}C_{1}, pacientealpha TENIDO1,2piln ANTEalpha tención+C_{2}, viviendoalpha Silencio.<img alt="{displaystyle varphi (alpha)={begin{cases}C_{1},&|alpha |1.end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c0c4c87807a1f9dd04c4346bc1efe3d31ecc2cf" style="vertical-align: -2.505ex; width:34.614ex; height:6.176ex;"/>

${displaystyle C_{1}=0}$ de la evaluación ${displaystyle varphi (0)}$ :

{displaystyle varphi (0)=int _{0}^{pi }ln(1),dx=int _{0}^{pi }0,dx=0.}

Para determinar ${displaystyle C_{2}}$ de la misma manera, debemos tener que sustituir un valor ${displaystyle alpha }$ superior a 1 en ${displaystyle varphi (alpha)}$ . Esto es algo incómodo. En cambio, sustituimos ${textstyle alpha ={frac {1}{beta }}}$ , donde $<math alttext="{displaystyle |beta |Silencioβ β Silencioc)1{displaystyle Silenciobeta <img alt="{displaystyle |beta |$ . Entonces,

{displaystyle {begin{aligned}varphi (alpha)&=int _{0}^{pi }left(ln left(1-2beta cos(x)+beta ^{2}right)-2ln |beta |right)dx\[6pt]&=int _{0}^{pi }ln left(1-2beta cos(x)+beta ^{2}right),dx-int _{0}^{pi }2ln |beta |dx\[6pt]&=0-2pi ln |beta |\[6pt]&=2pi ln |alpha |.end{aligned}}}

Por lo tanto, ${displaystyle C_{2}=0}$

La definición de ${displaystyle varphi (alpha)}$ ya está completo:

<math alttext="{displaystyle varphi (alpha)={begin{cases}0,&|alpha |1.end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">φ φ ()α α )={}0,Silencioα α Silencioc)1,2π π In⁡ ⁡ Silencioα α Silencio,Silencioα α Silencio■1.{displaystyle varphi (alpha)={begin{cases}0, limitándose a viviralpha 1,2piln ¦ Silencio.<img alt="{displaystyle varphi (alpha)={begin{cases}0,&|alpha |1.end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dfc763ce6eaeee72d8db1b27a13e9c0e0dd1842" style="vertical-align: -2.505ex; width:29.058ex; height:6.176ex;"/>

La discusión anterior, por supuesto, no se aplica cuando ${displaystyle alpha =pm 1}$ , ya que las condiciones de diferenciabilidad no se cumplen.

Ejemplo 4

0.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">I=∫ ∫ 0π π /21()a#2⁡ ⁡ x+bpecado2⁡ ⁡ x)2dx,a,b■0.{displaystyle mathbf {I} =int _{0}{pi /2}{frac {1}{(acos ^{2}x+bsin ^{2}x)}}},dx,qquad a,b confía0.}0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afca58a13fe071f2de6098f96675eea39e4e00c7" style="vertical-align: -2.838ex; width:47.613ex; height:6.843ex;"/>

Primero calculamos:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {J} &=int _{0}^{pi /2}{frac {1}{acos ^{2}x+bsin ^{2}x}}dx\[6pt]&=int _{0}^{pi /2}{frac {frac {1}{cos ^{2}x}}{a+b{frac {sin ^{2}x}{cos ^{2}x}}}}dx\[6pt]&=int _{0}^{pi /2}{frac {sec ^{2}x}{a+btan ^{2}x}}dx\[6pt]&={frac {1}{b}}int _{0}^{pi /2}{frac {1}{left({sqrt {frac {a}{b}}}right)^{2}+tan ^{2}x}},d(tan x)\[6pt]&=left.{frac {1}{sqrt {ab}}}arctan left({sqrt {frac {b}{a}}}tan xright)right|_{0}^{pi /2}\[6pt]&={frac {pi }{2{sqrt {ab}}}}.end{aligned}}}

Los límites de la integración son independientes de ${displaystyle a}$ , tenemos:

{displaystyle {frac {partial mathbf {J} }{partial a}}=-int _{0}^{pi /2}{frac {cos ^{2}x}{left(acos ^{2}x+bsin ^{2}xright)^{2}}},dx}

Por otro lado:

{displaystyle {frac {partial mathbf {J} }{partial a}}={frac {partial }{partial a}}left({frac {pi }{2{sqrt {ab}}}}right)=-{frac {pi }{4{sqrt {a^{3}b}}}}.}

Al equiparar estas dos relaciones se obtiene

{displaystyle int _{0}^{pi /2}{frac {cos ^{2}x}{left(acos ^{2}x+bsin ^{2}xright)^{2}}},dx={frac {pi }{4{sqrt {a^{3}b}}}}.}

De manera similar, persiguiendo ${displaystyle {frac {partial mathbf {J} }{partial b}}}$ rendimientos

{displaystyle int _{0}^{pi /2}{frac {sin ^{2}x}{left(acos ^{2}x+bsin ^{2}xright)^{2}}},dx={frac {pi }{4{sqrt {ab^{3}}}}}.}

La suma de los dos resultados produce

{displaystyle mathbf {I} =int _{0}^{pi /2}{frac {1}{left(acos ^{2}x+bsin ^{2}xright)^{2}}},dx={frac {pi }{4{sqrt {ab}}}}left({frac {1}{a}}+{frac {1}{b}}right),}

{displaystyle mathbf {I} }

Esta derivación puede ser generalizada. Note que si definimos

{displaystyle mathbf {I} _{n}=int _{0}^{pi /2}{frac {1}{left(acos ^{2}x+bsin ^{2}xright)^{n}}},dx,}

{displaystyle (1-n)mathbf {I} _{n}={frac {partial mathbf {I} _{n-1}}{partial a}}+{frac {partial mathbf {I} _{n-1}}{partial b}}}

Dado ${displaystyle mathbf {I} _{1}}$ , esta fórmula de reducción integral se puede utilizar para calcular todos los valores de ${displaystyle mathbf {I} _{n}}$ para $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■1{displaystyle n confía1}1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>$ . Integrales como ${displaystyle mathbf {I} }$ y ${displaystyle mathbf {J} }$ también se puede manejar utilizando la sustitución Weierstrass.

Ejemplo 5

Aquí consideramos la integral

<math alttext="{displaystyle mathbf {I} (alpha)=int _{0}^{pi /2}{frac {ln(1+cos alpha cos x)}{cos x}},dx,qquad 0<alpha I()α α )=∫ ∫ 0π π /2In⁡ ⁡ ()1+#⁡ ⁡ α α #⁡ ⁡ x)#⁡ ⁡ xdx,0c)α α c)π π .{displaystyle mathbf {I} (alpha)=int _{0}{pi /2}{frac {ln(1+cos alpha cos x)}{cos x},dx,qquad 0 interpretadoalpha - No.<img alt="{displaystyle mathbf {I} (alpha)=int _{0}^{pi /2}{frac {ln(1+cos alpha cos x)}{cos x}},dx,qquad 0<alpha

Diferenciando bajo la integral con respecto a ${displaystyle alpha }$ , tenemos

{displaystyle {begin{aligned}{frac {d}{dalpha }}mathbf {I} (alpha)&=int _{0}^{pi /2}{frac {partial }{partial alpha }}left({frac {ln(1+cos alpha cos x)}{cos x}}right),dx\[6pt]&=-int _{0}^{pi /2}{frac {sin alpha }{1+cos alpha cos x}},dx\&=-int _{0}^{pi /2}{frac {sin alpha }{left(cos ^{2}{frac {x}{2}}+sin ^{2}{frac {x}{2}}right)+cos alpha left(cos ^{2}{frac {x}{2}}-sin ^{2}{frac {x}{2}}right)}},dx\[6pt]&=-{frac {sin alpha }{1-cos alpha }}int _{0}^{pi /2}{frac {1}{cos ^{2}{frac {x}{2}}}}{frac {1}{{frac {1+cos alpha }{1-cos alpha }}+tan ^{2}{frac {x}{2}}}},dx\[6pt]&=-{frac {2sin alpha }{1-cos alpha }}int _{0}^{pi /2}{frac {{frac {1}{2}}sec ^{2}{frac {x}{2}}}{{frac {2cos ^{2}{frac {alpha }{2}}}{2sin ^{2}{frac {alpha }{2}}}}+tan ^{2}{frac {x}{2}}}},dx\[6pt]&=-{frac {2left(2sin {frac {alpha }{2}}cos {frac {alpha }{2}}right)}{2sin ^{2}{frac {alpha }{2}}}}int _{0}^{pi /2}{frac {1}{cot ^{2}{frac {alpha }{2}}+tan ^{2}{frac {x}{2}}}},dleft(tan {frac {x}{2}}right)\[6pt]&=-2cot {frac {alpha }{2}}int _{0}^{pi /2}{frac {1}{cot ^{2}{frac {alpha }{2}}+tan ^{2}{frac {x}{2}}}},dleft(tan {frac {x}{2}}right)\[6pt]&=-2arctan left(tan {frac {alpha }{2}}tan {frac {x}{2}}right){bigg |}_{0}^{pi /2}\[6pt]&=-alpha.end{aligned}}}

Por lo tanto:

{displaystyle mathbf {I} (alpha)=C-{frac {alpha ^{2}}{2}}.}

Pero... ${textstyle mathbf {I} left({frac {pi }{2}}right)=0}$ por definición ${textstyle C={frac {pi ^{2}}{8}}}$ y

{displaystyle mathbf {I} (alpha)={frac {pi ^{2}}{8}}-{frac {alpha ^{2}}{2}}.}

Ejemplo 6

Aquí consideramos la integral

{displaystyle int _{0}^{2pi }e^{cos theta }cos(sin theta),dtheta.}

Introducimos una nueva variable φ y reescribimos la integral como

{displaystyle f(varphi)=int _{0}^{2pi }e^{varphi cos theta }cos(varphi sin theta),dtheta.}

Cuando φ = 1 esto equivale a la integral original. Sin embargo, esta integral más general puede ser diferenciada con respecto a ${displaystyle varphi }$ :

{displaystyle {begin{aligned}{frac {df}{dvarphi }}&=int _{0}^{2pi }{frac {partial }{partial varphi }}left(e^{varphi cos theta }cos(varphi sin theta)right),dtheta \[6pt]&=int _{0}^{2pi }e^{varphi cos theta }left(cos theta cos(varphi sin theta)-sin theta sin(varphi sin theta)right),dtheta.end{aligned}}}

Ahora, arreglar φ, y considerar el campo vectorial en ${displaystyle mathbf {R} ^{2}}$ definidas por ${displaystyle mathbf {F} (x,y)=(F_{1}(x,y),F_{2}(x,y)):=(e^{varphi x}sin(varphi y),e^{varphi x}cos(varphi y))}$ . Además, elija la parametrización positiva del círculo de unidad ${displaystyle S^{1}}$ dado por ${displaystyle mathbf {r} colon [0,2pi)to mathbf {R} ^{2}}$ , ${displaystyle mathbf {r} (theta):=(cos thetasin theta)}$ Así que ${displaystyle mathbf {r} '(t)=(-sin thetacos theta)}$ . Entonces la parte superior final es precisamente

{displaystyle {begin{aligned}&int _{0}^{2pi }e^{varphi cos theta }left(cos theta cos(varphi sin theta)-sin theta sin(varphi sin theta)right),dtheta \[6pt]={}&int _{0}^{2pi }(e^{varphi cos theta }sin(varphi sin theta),e^{varphi cos theta }cos(varphi sin theta))cdot (-sin thetacos theta),dtheta \[6pt]={}&int _{0}^{2pi }mathbf {F} (mathbf {r} (theta))cdot mathbf {r} '(theta),dtheta \[6pt]={}&oint _{S^{1}}mathbf {F} (mathbf {r})cdot dmathbf {r} =oint _{S^{1}}F_{1},dx+F_{2},dy,end{aligned}}}

{displaystyle mathbf {F} }

{displaystyle S^{1}}

{displaystyle iint _{D}{frac {partial F_{2}}{partial x}}-{frac {partial F_{1}}{partial y}},dA,}

{displaystyle D}

{displaystyle df/dvarphi }

fφ

{displaystyle f}

{displaystyle varphi =0}

{displaystyle f(0)=int _{0}^{2pi }1,dtheta =2pi.}

Por lo tanto, la integral original también es igual ${displaystyle 2pi }$ .

Otros problemas para resolver

Hay innumerables otras integrales que se pueden resolver utilizando la técnica de diferenciación bajo el signo integral. Por ejemplo, en cada uno de los casos siguientes, la integral original puede ser reemplazada por una integral similar con un nuevo parámetro ${displaystyle alpha }$ :

{displaystyle {begin{aligned}int _{0}^{infty }{frac {sin x}{x}},dx&to int _{0}^{infty }e^{-alpha x}{frac {sin x}{x}}dx,\[6pt]int _{0}^{pi /2}{frac {x}{tan x}},dx&to int _{0}^{pi /2}{frac {tan ^{-1}(alpha tan x)}{tan x}}dx,\[6pt]int _{0}^{infty }{frac {ln(1+x^{2})}{1+x^{2}}},dx&to int _{0}^{infty }{frac {ln(1+alpha ^{2}x^{2})}{1+x^{2}}}dx\[6pt]int _{0}^{1}{frac {x-1}{ln x}},dx&to int _{0}^{1}{frac {x^{alpha }-1}{ln x}}dx.end{aligned}}}

La primera integral, la integral Dirichlet, es absolutamente convergente para positivo α pero sólo condicionalmente convergente cuando ${displaystyle alpha =0}$ . Por lo tanto, la diferenciación bajo el signo integral es fácil de justificar cuando $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">α α ■0{displaystyle alpha œ0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd4f784b6e8bb68fa774213ceacbab2d97825dc" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;"/>$ , pero demostrando que la fórmula resultante sigue siendo válida cuando ${displaystyle alpha =0}$ requiere un trabajo cuidadoso.

Serie infinita

La versión teórica de la medida de la diferenciación bajo el signo integral también se aplica a la suma (finita o infinita) al interpretar la suma como una medida de conteo. Un ejemplo de aplicación es el hecho de que las series de potencias son diferenciables en su radio de convergencia.

Ecuaciones de Euler-Lagrange

La regla integral de Leibniz se utiliza en la derivación de la ecuación de Euler-Lagrange en cálculo variacional.

En la cultura popular

La diferenciación bajo el signo integral se menciona en las memorias más vendidas del fallecido físico Richard Feynman ¡Seguramente está bromeando, Sr. Feynman! en el capítulo " Una caja de herramientas diferente". Describe cómo lo aprendió, mientras estaba en la escuela secundaria, a partir de un texto antiguo, Cálculo avanzado (1926), de Frederick S. Woods (que era profesor de matemáticas en el Instituto Tecnológico de Massachusetts). La técnica no se enseñaba con frecuencia cuando Feynman recibió más tarde su educación formal en cálculo, pero utilizando esta técnica, Feynman pudo resolver problemas de integración que de otro modo serían difíciles a su llegada a la escuela de posgrado en la Universidad de Princeton:

Una cosa que nunca aprendí fue la integración del contorno. Había aprendido a hacer integrales por varios métodos mostrados en un libro que mi profesor de física de secundaria el Sr. Bader me había dado. Un día me dijo que me quedara después de clase. "Feynman," dijo, "hablas demasiado y haces demasiado ruido. Sé por qué. Estás aburrido. Así que voy a darte un libro. Subes allá atrás, en la esquina, y estudias este libro, y cuando sabes todo lo que hay en este libro, puedes hablar de nuevo". Así que cada clase de física, no prestaba atención a lo que estaba pasando con la Ley de Pascal, o lo que estuvieran haciendo. Estaba en la parte de atrás con este libro: "Cálculo avanzado", de Woods. Bader sabía que había estudiado "Calculus for the Practical Man" un poco, así que me dio los verdaderos trabajos, era para un curso de secundaria o superior en la universidad. Tenía serie Fourier, funciones Bessel, determinantes, funciones elípticas, todo tipo de cosas maravillosas que no sabía nada. Ese libro también mostró cómo diferenciar los parámetros bajo el signo integral, es una operación determinada. Resulta que no se enseña mucho en las universidades; no lo enfatizan. Pero cogí cómo usar ese método, y usé esa maldita herramienta una y otra vez. Así que porque yo era autodidacta usando ese libro, tenía métodos peculiares de hacer integrales. El resultado fue, cuando los chicos del MIT o Princeton tuvieron problemas para hacer una cierta integral, fue porque no pudieron hacerlo con los métodos estándar que habían aprendido en la escuela. Si fuera integración de contorno, lo habrían encontrado; si fuera una simple expansión de serie, lo habrían encontrado. Luego vengo y trato de diferenciar bajo el signo integral, y a menudo funcionó. Así que tengo una gran reputación por hacer integrales, sólo porque mi caja de herramientas era diferente de todos los demás, y habían probado todas sus herramientas en él antes de darme el problema.

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