Regla de simpson

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Método de integración numérica

La regla de Simpson se puede derivar aproximando al componente f ()x) (en azul) por el interpolador cuadrático P()x) (en rojo).

Una animación que muestra cómo la regla de Simpson aproxima la función con una parabola y la reducción del error con menor tamaño del paso

Una animación que muestra cómo la aproximación de reglas de Simpson mejora con más tiras.

En integración numérica, las reglas de Simpson son varias aproximaciones para integrales definidas, nombradas así por Thomas Simpson (1710–1761).

La más básica de estas reglas, llamada regla de 1/3 de Simpson, o simplemente regla de Simpson, dice

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxapprox {frac {b-a}{6}}left[f(a)+4fleft({frac {a+b}{2}}right)+f(b)right].}

En alemán y algunos otros idiomas, lleva el nombre de Johannes Kepler, quien lo derivó en 1615 después de verlo utilizado para barriles de vino (regla del barril, Keplersche Fassregel). La igualdad aproximada en la regla se vuelve exacta si $f$ es un polinomio hasta el tercer grado inclusive.

Si se aplica la regla de 1/3 a n subdivisiones iguales del rango de integración [a, b], se obtiene el compuesto La regla del 1/3 de Simpson. Los puntos dentro del rango de integración reciben ponderaciones alternas 4/3 y 2/3.

La regla 3/8 de Simpson, también llamada segunda regla de Simpson, requiere una evaluación de función más dentro del rango de integración y proporciona límites de error más bajos, pero no mejora orden del error.

Si se aplica la regla de 3/8 a n subdivisiones iguales del rango de integración [a, b], se obtiene el compuesto La regla de los 3/8 de Simpson.

Las reglas de 1/3 y 3/8 de Simpson son dos casos especiales de fórmulas cerradas de Newton-Cotes.

En arquitectura naval y estimación de la estabilidad del buque, existe también la tercera regla de Simpson, que no tiene especial importancia en el análisis numérico general, ver reglas de Simpson (estabilidad del buque).

Regla de 1/3 de Simpson

La regla de 1/3 de Simpson, también llamada simplemente regla de Simpson, es un método de integración numérica propuesto por Thomas Simpson. Se basa en una interpolación cuadrática. La regla del 1/3 de Simpson es la siguiente:

{displaystyle {begin{aligned}int _{a}^{b}f(x),dx&approx {frac {1}{3}}hleft[f(a)+4fleft({frac {a+b}{2}}right)+f(b)right]\&={frac {b-a}{6}}left[f(a)+4fleft({frac {a+b}{2}}right)+f(b)right],end{aligned}}}

{displaystyle h=(b-a)/2}

El error en aproximar una parte integral de la regla de Simpson para $n=2$ es

{displaystyle -{frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(xi)=-{frac {(b-a)^{5}}{2880}}f^{(4)}(xi),}

xi

a

b

El error es asintoticamente proporcional a ${displaystyle (b-a)^{5}}$ . Sin embargo, las derivaciones anteriores sugieren un error proporcional a ${displaystyle (b-a)^{4}}$ . La regla de Simpson gana un pedido extra porque los puntos en los que se evalúa el integrado se distribuyen simétricamente en el intervalo ${displaystyle [a, b]}$ .

Puesto que el término de error es proporcional al cuarto derivado de $f$ a $xi$ , esto muestra que la regla de Simpson proporciona resultados exactos para cualquier polinomio $f$ de grado tres o menos, ya que el cuarto derivado de tal polinomio es cero en todos los puntos. Otra manera de ver este resultado es observar que cualquier polinomio cúbico interpolador puede expresarse como la suma del polinomio cuadrático interpolador único más un polinomio cúbico a escala arbitraria que desaparece en los tres puntos del intervalo, y la parte integral de este segundo término desaparece porque es extraño dentro del intervalo.

Si el segundo derivado $f''$ existe y es convexo en el intervalo ${displaystyle (a, b)}$ , entonces

{displaystyle (b-a)fleft({frac {a+b}{2}}right)+{frac {1}{3}}left({frac {b-a}{2}}right)^{3}f''left({frac {a+b}{2}}right)leq int _{a}^{b}f(x),dxleq {frac {b-a}{6}}left[f(a)+4fleft({frac {a+b}{2}}right)+f(b)right].}

Derivaciones

Interpolación cuadrática

Una derivación reemplaza al componented $f(x)$ por el polinomio cuadrático (es decir, parabola) $P(x)$ que toma los mismos valores $f(x)$ en los puntos finales $a$ y $b$ y el punto medio ${displaystyle m=(a+b)/2}$ . Uno puede utilizar la interpolación polinomio Lagrange para encontrar una expresión para este polinomio,

{displaystyle P(x)=f(a){frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}

{displaystyle int _{a}^{b}P(x),dx={frac {b-a}{6}}left[f(a)+4fleft({frac {a+b}{2}}right)+f(b)right].}

{displaystyle h=(b-a)/2}

{displaystyle int _{a}^{b}P(x),dx={frac {1}{3}}hleft[f(a)+4fleft({frac {a+b}{2}}right)+f(b)right].}

1/3

Promediar el punto medio y las reglas trapezoidales

Otra derivación construye la regla de Simpson a partir de dos aproximaciones más simples: la regla del punto medio

{displaystyle M=(b-a)fleft({frac {a+b}{2}}right)}

{displaystyle T={frac {1}{2}}(b-a){big (}f(a)+f(b){big)}.}

Los errores en estas aproximaciones son

{displaystyle {frac {1}{24}}(b-a)^{3}f''(a)+O{big (}(b-a)^{4}{big)}}

{displaystyle -{frac {1}{12}}(b-a)^{3}f''(a)+O{big (}(b-a)^{4}{big)}}

{displaystyle O{big (}(b-a)^{4}{big)}}

{displaystyle (b-a)^{4}}

{displaystyle O{big (}(b-a)^{4}{big)}}

{displaystyle {frac {2M+T}{3}}.}

Usando otra aproximación (por ejemplo, la regla trapezoidal con el doble de puntos), es posible tomar un promedio ponderado adecuado y eliminar otro término de error. Este es el método de Romberg.

Coeficientes indeterminados

La tercera derivación parte del ansatz

{displaystyle {frac {1}{b-a}}int _{a}^{b}f(x),dxapprox alpha f(a)+beta fleft({frac {a+b}{2}}right)+gamma f(b).}

Los coeficientes $α$ , $β$ y $γ$ pueden fijarse mediante requiriendo que esta aproximación sea exacta para todos los polinomios cuadráticos. Esto produce la regla de Simpson. (Esta derivación es esencialmente una versión menos rigurosa de la derivación de interpolación cuadrática, donde se ahorra un esfuerzo de cálculo significativo al adivinar la forma funcional correcta).

Regla del 1/3 de Simpson compuesto

Si el intervalo de integración $[a,b]$ es en algún sentido "pequeño", luego la regla de Simpson con $n=2$ las subintervalaciones proporcionarán una aproximación adecuada a la integral exacta. Por "pequeña" queremos decir que la función que se integra es relativamente suave a lo largo del intervalo $[a,b]$ . Para tal función, un suave interpolador cuadrático como el utilizado en la regla de Simpson dará buenos resultados.

Sin embargo, es a menudo el caso de que la función que estamos tratando de integrar no es lisa a lo largo del intervalo. Por lo general, esto significa que o bien la función es altamente oscilante o carece de derivados en ciertos puntos. En estos casos, la regla de Simpson puede dar resultados muy pobres. Una forma común de manejar este problema es rompiendo el intervalo $[a,b]$ en $2}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■2{displaystyle n confiado2}2" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e71ac55b9fbf1e9f341b946cda63d61d3ef2cd" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>$ pequeños subintervalos. La regla de Simpson se aplica a cada subintervalo, con los resultados resumidos para producir una aproximación para el integral durante todo el intervalo. Este tipo de enfoque se denomina el composite la regla 1/3 de Simpson, o simplemente composite la regla de Simpson.

Supongamos que el intervalo $[a,b]$ se divide en $n$ subintervalos, con $n$ un número igual. Entonces, la regla compuesta de Simpson es dada por

Dividir el intervalo $[a,b]$ en $n$ subintervalos de longitud ${displaystyle h=(b-a)/n}$ e introducción de los puntos $x_i = a + ih$ para $0leq ileq n$ (en particular, $x_0 = a$ y ${displaystyle x_{n}=b}$ ), tenemos

{displaystyle {begin{aligned}int _{a}^{b}f(x),dx&approx {frac {1}{3}}hsum _{i=1}^{n/2}{big [}f(x_{2i-2})+4f(x_{2i-1})+f(x_{2i}){big ]}\&={frac {1}{3}}h{big [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+dots +2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n}){big ]}\&={frac {1}{3}}hleft[f(x_{0})+4sum _{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1})+2sum _{i=1}^{n/2-1}f(x_{2i})+f(x_{n})right].end{aligned}}}

n=2

El error cometido por la regla compuesta de Simpson es

{displaystyle -{frac {1}{180}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(xi),}

xi

a

b

{displaystyle h=(b-a)/n}

{displaystyle {frac {1}{180}}h^{4}(b-a)max _{xi in [a,b]}left|f^{(4)}(xi)right|.}

Esta formulación divide el intervalo $[a,b]$ en subintervalos de igual longitud. En la práctica, a menudo es ventajoso utilizar subintervalos de diferentes longitudes y concentrar los esfuerzos en los lugares donde el integrado es menos bien comportado. Esto conduce al método adaptativo de Simpson.

Regla de los 3/8 de Simpson

La regla 3/8 de Simpson, también llamada segunda regla de Simpson, es otro método de integración numérica propuesto por Thomas Simpson. Se basa en una interpolación cúbica en lugar de una interpolación cuadrática. La regla de los 3/8 de Simpson es la siguiente:

{displaystyle {begin{aligned}int _{a}^{b}f(x),dx&approx {frac {3}{8}}hleft[f(a)+3fleft({frac {2a+b}{3}}right)+3fleft({frac {a+2b}{3}}right)+f(b)right]\&={frac {b-a}{8}}left[f(a)+3fleft({frac {2a+b}{3}}right)+3fleft({frac {a+2b}{3}}right)+f(b)right],end{aligned}}}

{displaystyle h=(b-a)/3}

El error de este método es

{displaystyle -{frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(xi)=-{frac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(xi),}

xi

a

b

Otra generalización de este concepto para la interpolación con polinomios de grado arbitrario son las fórmulas de Newton-Cotes.

Regla de los 3/8 de Simpson compuesta

{displaystyle {begin{aligned}int _{a}^{b}f(x),dx&approx {frac {3}{8}}hsum _{i=1}^{n/3}{big [}f(x_{3i-3})+3f(x_{3i-2})+3f(x_{3i-1})+f(x_{3i}){big ]}\&={frac {3}{8}}h{big [}f(x_{0})+3f(x_{1})+3f(x_{2})+2f(x_{3})+3f(x_{4})+3f(x_{5})+2f(x_{6})+dots +2f(x_{n-3})+3f(x_{n-2})+3f(x_{n-1})+f(x_{n}){big ]}\&={frac {3}{8}}hleft[f(x_{0})+3sum _{i=1, 3nmid i}^{n-1}f(x_{i})+2sum _{i=1}^{n/3-1}f(x_{3i})+f(x_{n})right].end{aligned}}}

Mientras que el resto de la regla se muestra como ${displaystyle -{frac {1}{80}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(xi),}$ sólo podemos usar esto si $n$ es un múltiple de tres. La regla 1/3 se puede utilizar para los subintervalos restantes sin cambiar el orden del término de error (en cambio, la regla 3/8 se puede utilizar con una regla 1/3 compuesta para subintervalos numerados impares).

Regla de Simpson extendida alternativa

Esta es otra formulación de la regla de Simpson compuesta: en lugar de aplicar la regla de Simpson a los segmentos separados de la integral que se va a aproximar, la regla de Simpson se aplica a los segmentos superpuestos, lo que da como resultado

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxapprox {frac {1}{48}}hleft[17f(x_{0})+59f(x_{1})+43f(x_{2})+49f(x_{3})+48sum _{i=4}^{n-4}f(x_{i})+49f(x_{n-3})+43f(x_{n-2})+59f(x_{n-1})+17f(x_{n})right].}

La fórmula anterior se obtiene combinando la regla compuesta de 1/3 de Simpson con la que consiste en usar la regla de 3/8 de Simpson en los subintervalos extremos y la regla de 1/3 de Simpson en los subintervalos restantes. El resultado se obtiene entonces tomando la media de las dos fórmulas.

Reglas de Simpson en el caso de picos estrechos

En la tarea de estimación del área completa de funciones similares a picos angostos, las reglas de Simpson son mucho menos eficientes que la regla trapezoidal. Es decir, la regla compuesta de 1/3 de Simpson requiere 1,8 veces más puntos para lograr la misma precisión que la regla trapezoidal. La regla compuesta de 3/8 de Simpson es aún menos precisa. La integración por la regla de 1/3 de Simpson se puede representar como un promedio ponderado con 2/3 del valor proveniente de la integración por la regla trapezoidal con paso h y 1/3 del valor proveniente de la integración por la regla del rectángulo con el paso 2h. La precisión se rige por el segundo término (paso de 2h). Promediar las sumas compuestas de la regla de 1/3 de Simpson con marcos correctamente desplazados produce las siguientes reglas:

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxapprox {frac {1}{24}}hleft[-f(x_{-1})+12f(x_{0})+25f(x_{1})+24sum _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n})-f(x_{n+1})right],}

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxapprox {frac {1}{24}}hleft[9f(x_{0})+28f(x_{1})+23f(x_{2})+24sum _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1})+9f(x_{n})right],}

Estas reglas son muy similares a la regla extendida alternativa de Simpson. Los coeficientes dentro de la mayor parte de la región que se está integrando son uno con coeficientes no unitarios solo en los bordes. Estas dos reglas se pueden asociar con la fórmula de Euler-MacLaurin con el término de la primera derivada y se denominan Primer orden Reglas de integración de Euler-MacLaurin. Las dos reglas presentadas anteriormente difieren solo en la forma en que se calcula la primera derivada en el extremo de la región. El término de la primera derivada en las reglas de integración de Euler-MacLaurin representa la integral de la segunda derivada, que es igual a la diferencia de las primeras derivadas en los bordes de la región de integración. Es posible generar reglas de Euler-Maclaurin de orden superior agregando una diferencia de derivadas 3, 5, etc. con coeficientes, como se define en la fórmula de Euler-MacLaurin.

Regla de Simpson compuesta para datos espaciados irregularmente

(feminine)

Para algunas aplicaciones, el intervalo de integración ${displaystyle I=[a,b]}$ necesita dividirse en intervalos desiguales – quizás debido a un muestreo desigual de datos, o puntos de datos perdidos o dañados. Supongamos que dividimos el intervalo $I$ en incluso número $N$ de subintervalos de anchos $h_{k}$ . Entonces la regla compuesta de Simpson es dada por

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dx=sum _{i=0}^{N/2-1}{frac {h_{2i}+h_{2i+1}}{6}}left[left(2-{frac {h_{2i+1}}{h_{2i}}}right)f_{2i}+{frac {(h_{2i}+h_{2i+1})^{2}}{h_{2i}h_{2i+1}}}f_{2i+1}+left(2-{frac {h_{2i}}{h_{2i+1}}}right)f_{2i+2}right],}

{displaystyle f_{k}=fleft(a+sum _{i=0}^{k-1}h_{i}right)}

k

I

En caso de número imparable $N$ de subintervalos, la fórmula anterior se utiliza hasta el segundo a último intervalo, y el último intervalo se maneja por separado agregando el siguiente al resultado:

{displaystyle alpha f_{N}+beta f_{N-1}-eta f_{N-2},}

{displaystyle {begin{aligned}alpha &={frac {2h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6(h_{N-2}+h_{N-1})}},\[1ex]beta &={frac {h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6h_{N-2}}},\[1ex]eta &={frac {h_{N-1}^{3}}{6h_{N-2}(h_{N-2}+h_{N-1})}}.end{aligned}}}

Ejemplo de aplicación en Python

desde collections.abc importación Secuenciadef simpson_nonuniform()x: Secuencia[flotador] f: Secuencia[flotador]) - flotador: " Regla de Simpson para datos irregularmente espaciados.:param x: Puntos de muestreo para los valores de función:param f: Valores de función en los puntos de muestreo:retorno: aproximación para la integral See ``scipy.integrate.simpson`` and the underlying ``_basic_simpson` para una implementación más performant utilizando la transmisión de numpy. " N = Len()x) - 1 h = [x[i + 1] - x[i] para i dentro rango()0, N) afirmación N ■ 0 resultado = 0,0 para i dentro rango()1, N, 2): h0, h1 = h[i - 1] h[i] hph, hdh, hmh = h1 + h0, h1 / h0, h1 * h0 resultado += ()hph / 6) * () ()2 - hdh) * f[i - 1] + ()hph#2 / hmh) * f[i] + ()2 - 1 / hdh) * f[i + 1] ) si N % 2 == 1: h0, h1 = h[N - 2] h[N - 1] resultado += f[N] * ()2 * h1 # 2 + 3 * h0 * h1) / ()6 * ()h0 + h1) resultado += f[N - 1] * ()h1 # 2 + 3 * h1 * h0) / ()6 * h0) resultado -= f[N - 2] * h1 # 3 / ()6 * h0 * ()h0 + h1) retorno resultado

Ejemplo de aplicación en R

SimpsonInt . función()fx, dx) {} n . longitud()dx) h . diff()dx) Parasi()expresos = {} longitud()fx) == n Todos()h >= 0) }) res . 0 para ()i dentro seq()1L, n - 2L, 2L) {} hph . h[i] + h[i + 1L] hdh . h[i + 1L] / h[i] res . res + hph / 6 * ()2 - hdh) * fx[i] + hph ^ 2 / ()h[i] * h[i + 1L]) * fx[i + 1L] + ()2 - 1 / hdh) * fx[i + 2L]) } si ()n %% 2 == 0) {} hph . h[n - 1L] + h[n - 2L] 3h . 3 * h[n - 1L] * h[n - 2L] 6h2 . 6 * h[n - 2L] h1sq . h[n - 1L] ^ 2 res . res + ()2 * h1sq + 3h) / ()6 * hph) * fx[n] + ()h1sq + 3h) / 6h2 * fx[n - 1L] - ()h1sq * h[n - 1L]) / ()6h2 * hph) * fx[n - 2L] } res}

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