Regla de poder

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Método de diferenciación de polinomios de un solo término

En cálculo, el regla de poder se utiliza para diferenciar funciones de la forma $f(x) = x^r$ , siempre $r$ es un número real. Dado que la diferenciación es una operación lineal en el espacio de funciones diferenciables, los polinomios también se pueden diferenciar utilizando esta regla. La regla de potencia se basa en la serie Taylor ya que relaciona una serie de energía con los derivados de una función.

Enunciado de la regla de la potencia

Vamos $f$ ser una función satisfactoria ${displaystyle f(x)=x^{r}}$ para todos $x$ , donde $rin {mathbb {R}}$ . Entonces,

{displaystyle f'(x)=rx^{r-1},.}

La regla de la potencia para la integración establece que

int! x^r , dx=frac{x^{r+1}}{r+1}+C

para cualquier número real $r neq -1$ . Puede derivarse invirtiendo la regla de poder para la diferenciación. En esta ecuación C es cualquier constante.

Pruebas

Prueba para exponentes reales

Para empezar, debemos elegir una definición de trabajo del valor $f(x) = x^r$ , donde $r$ es cualquier número real. Aunque es factible definir el valor como el límite de una secuencia de poderes racionales que se acercan al poder irracional cuando nos encontramos con tal poder, o como el límite mínimo superior de un conjunto de poderes racionales menos que el poder dado, este tipo de definición no es susceptible de diferenciación. Por lo tanto, es preferible utilizar una definición funcional, que generalmente se toma para ser $x^r = exp(rln x) = e^{rln x}$ para todos los valores $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x■0{displaystyle x confianza0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d24be5f0eb4a9173da6038badc8659546021d0" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;"/>$ , donde $exp$ es la función exponencial natural y $e$ Es el número de Euler. Primero, podemos demostrar que el derivado de $f(x)=e^{x}$ es $f'(x) = e^x$ .

Si $f(x)=e^{x}$ , entonces $ln (f(x)) = x$ , donde $ln$ es la función logaritmo natural, la función inversa de la función exponencial, como lo demuestra Euler. Puesto que las dos últimas funciones son iguales a todos los valores $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x■0{displaystyle x confianza0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d24be5f0eb4a9173da6038badc8659546021d0" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;"/>$ , sus derivados también son iguales, siempre que existan derivados, así que tenemos, por la regla de la cadena,

{displaystyle {frac {1}{f(x)}}cdot f'(x)=1}

{displaystyle f'(x)=f(x)=e^{x}}

f(x) = e^{rln x}

{displaystyle f'(x)={frac {r}{x}}e^{rln x}={frac {r}{x}}x^{r}}

rx^{r-1}

Cuando $<math alttext="{displaystyle xx.0{displaystyle x realizadas0} <img alt="x$ , podemos usar la misma definición con $x^r = ((-1)(-x))^r = (-1)^r(-x)^r$ , donde ahora tenemos $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">− − x■0{displaystyle -x confianza0} 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6091718d574abc88a7c8570b3ccb0e779e7b2a47" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.399ex; height:2.343ex;"/>$ . Esto conduce necesariamente al mismo resultado. Note eso porque $(-1)^r$ no tiene una definición convencional cuando $r$ no es un número racional, las funciones de poder irracional no están bien definidas para bases negativas. Además, como poderes racionales de −1 con incluso denominadores (en términos más bajos) no son números reales, estas expresiones son sólo valor real para los poderes racionales con denominadores extraños (en términos más bajos).

Por último, siempre que la función sea diferente $x=0$ , el límite de definición para el derivado es:

{displaystyle lim _{hto 0}{frac {h^{r}-0^{r}}{h}}}

r

1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■1{displaystyle r] 1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ea016da928cdc74478976d798c3d307d64cc2fb" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/>

h^r

<math alttext="{displaystyle hh.0{displaystyle h realizadas0} <img alt="h

La exclusión de la expresión $0^{0}$ (el caso x = 0) de nuestro esquema de exponenciación se debe a que la función $f(x, y) = x^y$ no tiene límite a (0,0), ya $x^{0}$ enfoques 1 como x enfoques 0, mientras $0^y$ enfoques 0 como y Por lo tanto, sería problemático atribuirle cualquier valor particular, ya que el valor contradiría uno de los dos casos, dependiendo de la aplicación. Es tradicionalmente dejado sin definir.

Pruebas para exponentes enteros

Prueba por inducción (números naturales)

Vamos $nin mathbb{N}$ . Es necesario probar que ${displaystyle {frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}$ El caso base puede ser cuando $n=0$ o $n=1$ , dependiendo de cómo se define el conjunto de números naturales.

Cuando $n=0$ , ${displaystyle {frac {d}{dx}}x^{0}={frac {d}{dx}}(1)=lim _{hto 0}{frac {1-1}{h}}=lim _{hto 0}{frac {0}{h}}=0=0x^{0-1}.}$

Cuando $n=1$ , ${displaystyle {frac {d}{dx}}x^{1}=lim _{hto 0}{frac {(x+h)-x}{h}}=lim _{hto 0}{frac {h}{h}}=1=1x^{1-1}.}$

Por lo tanto, el caso base se mantiene de cualquier manera.

Supongamos que la declaración contiene algún número natural k, es decir. ${displaystyle {frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.}$

Cuando $n=k+1$ ,

{displaystyle {frac {d}{dx}}x^{k+1}={frac {d}{dx}}(x^{k}cdot x)=x^{k}cdot {frac {d}{dx}}x+xcdot {frac {d}{dx}}x^{k}=x^{k}+xcdot kx^{k-1}=x^{k}+kx^{k}=(k+1)x^{k}=(k+1)x^{(k+1)-1}}

Demostración por el teorema del binomio (números naturales)

Vamos $y=x^n$ , donde ${displaystyle nin mathbb {N} }$ .

Entonces,

{displaystyle {begin{aligned}{frac {dy}{dx}}&=lim _{hto 0}{frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\&=lim _{hto 0}{frac {1}{h}}left[x^{n}+{binom {n}{1}}x^{n-1}h+{binom {n}{2}}x^{n-2}h^{2}+dots +{binom {n}{n}}h^{n}-x^{n}right]\&=lim _{hto 0}left[{binom {n}{1}}x^{n-1}+{binom {n}{2}}x^{n-2}h+dots +{binom {n}{n}}h^{n-1}right]\&=nx^{n-1}end{aligned}}}

Generalización a exponentes enteros negativos

Para un entero negativo n, vamos ${displaystyle n=-m}$ así m es un entero positivo. Usando la regla recíproca,

{displaystyle {frac {d}{dx}}x^{n}={frac {d}{dx}}left({frac {1}{x^{m}}}right)={frac {-{frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}}=-{frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}.}

n

{displaystyle {frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}

Generalización a exponentes racionales

Al demostrar que la regla de la potencia se cumple para exponentes enteros, la regla se puede extender a exponentes racionales.

Demostración por la regla de la cadena

Esta prueba se compone de dos pasos que involucran el uso de la regla de la cadena para la diferenciación.

Vamos ${displaystyle y=x^{r}=x^{frac {1}{n}}}$ , donde ${displaystyle nin mathbb {N} ^{+}}$ . Entonces... ${displaystyle y^{n}=x}$ . Por la regla de la cadena, ${displaystyle ny^{n-1}cdot {frac {dy}{dx}}=1}$ . Solving for ${frac {dy}{dx}}$ , ${displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {1}{ny^{n-1}}}={frac {1}{nleft(x^{frac {1}{n}}right)^{n-1}}}={frac {1}{nx^{1-{frac {1}{n}}}}}={frac {1}{n}}x^{{frac {1}{n}}-1}=rx^{r-1}}$ Así, la regla de poder se aplica para los exponentes racionales de la forma $1/n$ , donde $n$ es un número natural no cero. Esto se puede generalizar a los exponentes racionales de la forma $p/q$ aplicando la regla de potencia para los exponentes enteros usando la regla de cadena, como se muestra en el siguiente paso.
Vamos ${displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}$ , donde ${displaystyle pin mathbb {Z}qin mathbb {N} ^{+},}$ así ${displaystyle rin mathbb {Q} }$ . Por la regla de la cadena, ${displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {d}{dx}}left(x^{frac {1}{q}}right)^{p}=pleft(x^{frac {1}{q}}right)^{p-1}cdot {frac {1}{q}}x^{{frac {1}{q}}-1}={frac {p}{q}}x^{p/q-1}=rx^{r-1}}$

De los resultados anteriores, podemos concluir que cuando $r$ es un número racional, ${displaystyle {frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.}$

Prueba por diferenciación implícita

Una generalización más sencilla de la regla de la potencia a exponentes racionales utiliza la diferenciación implícita.

Vamos ${displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}$ , donde ${displaystyle p,qin mathbb {Z} }$ así ${displaystyle rin mathbb {Q} }$ .

Entonces,

{displaystyle y^{q}=x^{p}}

x

{displaystyle qy^{q-1}cdot {frac {dy}{dx}}=px^{p-1}}

{frac {dy}{dx}}

{displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {px^{p-1}}{qy^{q-1}}}.}

y=x^{p/q}

{displaystyle {frac {d}{dx}}x^{p/q}={frac {px^{p-1}}{qx^{p-p/q}}}.}

{displaystyle {frac {d}{dx}}x^{p/q}={frac {p}{q}}x^{p-1}x^{-p+p/q}={frac {p}{q}}x^{p/q-1}.}

{displaystyle r={frac {p}{q}}}

{displaystyle {frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}}

r

Historia

La regla de poder para los integrales fue demostrada por primera vez en forma geométrica por el matemático italiano Bonaventura Cavalieri a principios del siglo XVII para todos los valores enteros positivos de ${displaystyle {displaystyle n}}$ , y durante el siglo XVII para todos los poderes racionales por los matemáticos Pierre de Fermat, Evangelista Torricelli, Gilles de Roberval, John Wallis, y Blaise Pascal, cada uno trabajando independientemente. En ese momento, fueron tratados para determinar el área entre el gráfico de una función de potencia racional y el eje horizontal. Sin embargo, con retrospectiva, se considera el primer teorema general de cálculo a ser descubierto. La regla de poder para la diferenciación fue derivada por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, cada uno independientemente, para las funciones de poder racional a mediados del siglo XVII, que ambos lo utilizaron para derivar la regla de poder para las integrales como la operación inversa. Esto refleja la forma convencional que los teoremas relacionados se presentan en los libros de texto de cálculo básicos modernos, donde las reglas de diferenciación suelen preceder a las reglas de integración.

Aunque ambos afirmaron que sus reglas, demostradas solo para cantidades racionales, funcionaban para todas las potencias reales, ninguno buscó una prueba de ello, ya que en ese momento las aplicaciones de la teoría no estaban relacionadas con funciones de potencias tan exóticas y cuestiones de convergencia de series infinitas seguían siendo ambiguas.

El caso único de $r = -1$ fue resuelto por el jesuita flamenco y el matemático Grégoire de Saint-Vincent y su estudiante Alphonse Antonio de Sarasa a mediados del siglo XVII, que demostró que la integral definida asociada,

int_1^x frac{1}{t}, dt

representando el área entre la hiperbola rectangular $xy=1$ y el eje x, era una función logarítmica, cuya base fue finalmente descubierta como el número trascendental e. La notación moderna para el valor de esta integral definida es $ln(x)$ El logaritmo natural.

Generalizaciones

Funciones de potencia complejas

Si consideramos las funciones del formulario $f(z) = z^c$ Donde $c$ es cualquier número complejo y $z$ es un número complejo en un plano complejo de corte que excluye el punto de rama de 0 y cualquier rama cortada conectada a él, y utilizamos la definición multivalorada convencional $z^c:= exp(cln z)$ , entonces es sencillo demostrar que, en cada rama del logaritmo complejo, el mismo argumento utilizado anteriormente produce un resultado similar: $f'(z) = frac{c}{z}exp(cln z)$ .

Además, si $c$ es un entero positivo, entonces no hay necesidad de un corte de rama: uno puede definir $f(0)=0$ , o definir poderes integrales positivos mediante la multiplicación compleja, y mostrar que $f'(z) = cz^{c-1}$ para todo complejo $z$ , de la definición del derivado y el teorema binomial.

Sin embargo, debido a la naturaleza multivalorada de funciones de poder complejas para los exponentes no-integer, hay que tener cuidado de especificar la rama del logaritmo complejo que se utiliza. Además, no importa qué rama se utiliza, si $c$ no es un entero positivo, entonces la función no es diferente a 0.

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