Regla de pascal

En matemáticas, la regla de Pascal (o la fórmula de Pascal) es una identidad combinatoria sobre coeficientes binomiales. Afirma que para números naturales positivos n y k,

()n− − 1k)+()n− − 1k− − 1)=()nk),{displaystyle {n-1 choose k}+{n-1 choose k-1}={n choose k}

()nk){displaystyle {tbinom {} {}} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}} {fn}}

La regla de Pascal también puede verse como una declaración de que la fórmula

()x+Sí.)!x!Sí.!=()x+Sí.x)=()x+Sí.Sí.){displaystyle {frac {(x+y)}{x!}={x+y! {x+y choose y}}

Nx,Sí.=Nx− − 1,Sí.+Nx,Sí.− − 1,N0,Sí.=Nx,0=1{displaystyle N_{x,y}=N_{x-1,y}+N_{x,y-1},quad N_{0,y}=N_{x,0}=1}

La regla de Pascal también se puede generalizar para aplicarla a coeficientes multinomiales.

Prueba combinatoria

La regla de Pascal tiene un significado combinatorio intuitivo, que se expresa claramente en esta prueba de conteo.

Prueba. Recordad que ()nk){displaystyle {tbinom {} {}} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}} {fn}} iguala el número de subconjuntos con k elementos de un conjunto con n elementos. Supongamos que un elemento en particular es etiquetado X en un conjunto con n elementos.

Para construir un subconjunto k elementos que contienen X, incluir X y elegir k− 1 elementos del resto n− 1 elementos en el conjunto. Hay ()n− − 1k− − 1){displaystyle {tbinom {n-1}{k-1}} tales subconjuntos.

Para construir un subconjunto k elementos no que contiene X, elegir k elementos de los restantes n− 1 elementos en el conjunto. Hay ()n− − 1k){displaystyle {tbinom {n-1}{k}} tales subconjuntos.

Cada subconjunto de k o bien contiene elementos X o no. Número total de subconjuntos con k elementos en un conjunto de n elementos es la suma del número de subconjuntos que contienen X y el número de subconjuntos que no contienen X, ()n− − 1k− − 1)+()n− − 1k){fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMin {n-1}{k-1}+{tbinom {n-1}{k}}.

Esto es igual ()nk){displaystyle {tbinom {} {}} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}} {fn}}; por consiguiente, ()nk)=()n− − 1k− − 1)+()n− − 1k){fnMicrosoft}= {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {n-1}{k-1}+{tbinom {n-1}{k}}.

Demostración algebraica

Como alternativa, sigue la derivación algebraica del caso binomial.

()n− − 1k)+()n− − 1k− − 1)=()n− − 1)!k!()n− − 1− − k)!+()n− − 1)!()k− − 1)!()n− − k)!=()n− − 1)![n− − kk!()n− − k)!+kk!()n− − k)!]=()n− − 1)!nk!()n− − k)!=n!k!()n− − k)!=()nk).{displaystyle {begin{aligned}{n-1 choose k}+{n-1 choose k-1} limit={frac {(n-1)}{k!(n-1-k)!}}+{frac {(n-1)}{(k-1)!}frac=(n-1)! ¡No! ¡Bien! Frac {n}{k! {n-k)}\\ ¡No! {n} {k}end{aligned}}

Generalización

La regla de Pascal se puede generalizar a los coeficientes multinomio. Para cualquier entero p tales que p≥ ≥ 2{displaystyle pgeq 2}, k1,k2,k3,... ... ,kp▪ ▪ N+,{displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},dotsk_{p}in ¡Mathbb! y n=k1+k2+k3+⋯ ⋯ +kp≥ ≥ 1{displaystyle n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+cdots +k_{p}geq 1},

()n− − 1k1− − 1,k2,k3,... ... ,kp)+()n− − 1k1,k2− − 1,k3,... ... ,kp)+⋯ ⋯ +()n− − 1k1,k2,k3,... ... ,kp− − 1)=()nk1,k2,k3,... ... ,kp){displaystyle {n-1 choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},dotsk_{p}+{n-1 choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},dotsk_{p}+cdots +{n-1 choose k_{1},k_{2},k_{3},dotsk_{p}={n} choose K_{1},k_{2},k_{3},dotsk_{p}}

()nk1,k2,k3,... ... ,kp){displaystyle {nchoose K_{1},k_{2},k_{3},dotsk_{p}}

x1k1x2k2⋯ ⋯ xpkp{displaystyle x_{1}cdots #

()x1+x2+⋯ ⋯ +xp)n{displaystyle (x_{1}+x_{2}+dots +x_{p}^{n}}

La derivación algebraica para este caso general es como sigue. Vamos. p ser un entero tal que p≥ ≥ 2{displaystyle pgeq 2}, k1,k2,k3,... ... ,kp▪ ▪ N+,{displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},dotsk_{p}in ¡Mathbb! y n=k1+k2+k3+⋯ ⋯ +kp≥ ≥ 1{displaystyle n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+cdots +k_{p}geq 1}. Entonces...

()n− − 1k1− − 1,k2,k3,... ... ,kp)+()n− − 1k1,k2− − 1,k3,... ... ,kp)+⋯ ⋯ +()n− − 1k1,k2,k3,... ... ,kp− − 1)=()n− − 1)!()k1− − 1)!k2!k3!⋯ ⋯ kp!+()n− − 1)!k1!()k2− − 1)!k3!⋯ ⋯ kp!+⋯ ⋯ +()n− − 1)!k1!k2!k3!⋯ ⋯ ()kp− − 1)!=k1()n− − 1)!k1!k2!k3!⋯ ⋯ kp!+k2()n− − 1)!k1!k2!k3!⋯ ⋯ kp!+⋯ ⋯ +kp()n− − 1)!k1!k2!k3!⋯ ⋯ kp!=()k1+k2+⋯ ⋯ +kp)()n− − 1)!k1!k2!k3!⋯ ⋯ kp!=n()n− − 1)!k1!k2!k3!⋯ ⋯ kp!=n!k1!k2!k3!⋯ ⋯ kp!=()nk1,k2,k3,... ... ,kp).{displaystyle {begin{aligned} {quad} {n-1 choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},dotsk_{p}+{n-1 choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},dotsk_{p}+cdots +{n-1 choose k_{1},k_{2}, k_{3},dotsk_{p}-1}\={frac {(n-1)}{(n-1) k_{1}-1)!k_{2}!k_{3}!cdots k_{p}}}+{frac {(n-1)}{k_{1}!(k_{2}-1)k_{3}!cdots - ¿Qué? ¡No! (k_{p}-1)}\\fnMicroc ¡No! ¿Qué? {k_{2}(n-1)}{k_{1}!k_{3}!cdots - ¿Qué? ¡No! k_{p}}={frac {(k_{1}+k_{2}+cdots +k_{p})(n-1)}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!cdots k_{p}}\\cfrac {n-1)}{k_{1}k_{2}k_{3}!cdots ¡No! ¡No! ¡No! choose k_{1},k_{2}, k_{3},dotsk_{p}end{aligned}}}}