Regla de la palanca

En química, la regla de la palanca es una fórmula que se utiliza para determinar la fracción molar (x_i) o la fracción de masa (w_i) de cada fase de un diagrama de fases de equilibrio binario. Se puede utilizar para determinar la fracción de fases líquida y sólida para una composición y temperatura binarias dadas que se encuentra entre la línea de liquidus y solidus.

En una aleación o una mezcla con dos fases, α y β, que a su vez contienen dos elementos, A y B, la regla de la palanca establece que la fracción de masa de la fase α es

${\displaystyle w^{\alpha }={\frac {\fnh00} {B}-w_{\rm} {B} {\beta} . {B} {\fn} {\fnMicrosoft}} . {B} {\beta} }$

donde

• ${\displaystyle w_{\rm} {\alpha }}$ es la fracción de masa del elemento B en la fase α
• ${\beta}$ es la fracción de masa del elemento B en la fase β
• ${\displaystyle w_{\rm {B}}$ es la fracción de masa del elemento B en toda la aleación o mezcla

todo ello a una temperatura o presión fija.

Suponga una aleación a una temperatura de equilibrio T consta de ${\displaystyle w_{\rm {B}}$ fracción de masa del elemento B. Suponga también que a temperatura T la aleación consiste en dos fases, α y β, para las cuales el α consiste en ${\displaystyle w_{\rm} {\alpha }}$, y β consiste en ${\beta}$. Que la masa de la fase α en la aleación sea ${\displaystyle m^{\alpha }$ para que la masa de la fase β es ${\displaystyle m^{\beta }=m-m^{\alpha }$, donde ${\displaystyle m}$ es la masa total de la aleación.

Por definición, entonces, la masa del elemento B en la fase α es ${\displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ }=w_{\rm {B} {\fn} {\fnMicrosoft}} }m^{\alpha }$, mientras que la masa del elemento B en la fase β es ${\displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$. Juntos estas dos cantidades suman a la masa total del elemento B en la aleación, que es dada por ${\displaystyle m_{\rm {B}=w_{\rm {B}m}$. Por lo tanto,

${\displaystyle w_{\rm}m=m_{\rm} {B}=m_{\rm} {B} {\fn} {\fnMicrosoft}} }+m_{\rm {B}{\beta }=w_{\rm {B} {\fn} {\fnMicrosoft}} }m^{\alpha ¿Qué?$

Al reorganizar, se encuentra que

${\displaystyle w^{\alpha }\equiv {\frac {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft} } {m}={\frac {\fnh00} {B}-w_{\rm} {B} {\beta} . {B} {\fn} {\fnMicrosoft}} . {B} {\beta} }$

Esta fracción final es la fracción de masa de la fase α en la aleación.

Antes de realizar cualquier cálculo, se traza una línea de unión en el diagrama de fases para determinar la fracción de masa de cada elemento; en el diagrama de fases de la derecha, es el segmento de línea LS. Esta línea de unión se traza horizontalmente a la temperatura de la composición de una fase a otra (aquí, del líquido al sólido). La fracción de masa del elemento B en el estado líquido se da por w_B^l (representada como w_l en este diagrama) y la fracción de masa del elemento B en el estado sólido se da por w_B^s (representada como w_s en este diagrama). La fracción de masa del sólido y del líquido se puede calcular entonces utilizando las siguientes ecuaciones de la regla de la palanca:

${\displaystyle w^{\rm {}={\frac} {\fnh00} {B}-w_{\rm} {B}{\rm} {} {\fn} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}} {\f}}} {\f}}}}} {\fn\f}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {B}{\rm} {\cHFF}-w_{\rm} {B} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}}}} {\fn}}}}}}}}} {\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle w^{\rm {I}={\frac} {\fnh00} {B}{\rm} {\cHFF}-w_{\rm} {B} {\fn} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}}}} {\fn}}} {\f}}} {\f}}}}} {\fn\f}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {B}{\rm} {\cHFF}-w_{\rm} {B} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}}}} {\fn}}}}}}}}} {\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

donde w_B es la fracción de masa del elemento B para la composición dada (representada como w_o en este diagrama).

El numerador de cada ecuación es la composición original que nos interesa +/- el brazo de palanca opuesto. Es decir, si quieres la fracción de masa del sólido, toma la diferencia entre la composición del líquido y la composición original. Y luego el denominador es la longitud total del brazo, es decir, la diferencia entre las composiciones del sólido y del líquido. Si tienes dificultades para comprender por qué es así, intenta visualizar la composición cuando w_o se acerca a w_l. Entonces, la concentración del líquido comenzará a aumentar.

Ahora hay más de una región de dos fases. La línea de unión trazada va desde el alfa sólido hasta el líquido y, al trazar una línea vertical hacia abajo en estos puntos, se lee directamente en el gráfico la fracción de masa de cada fase, es decir, la fracción de masa en el elemento del eje x. Se pueden utilizar las mismas ecuaciones para encontrar la fracción de masa de la aleación en cada una de las fases, es decir, w^l es la fracción de masa de toda la muestra en la fase líquida.