Reflexión (matemáticas)

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Mapping from a Euclidean space to itself

En matemáticas, una reflexión (también deletreada reflexion) es un mapeo de un espacio euclidiano a sí mismo que es una isometría con un hiperplano como un conjunto de puntos fijos; este conjunto se llama eje (en dimensión 2) o plano (en dimensión 3) de reflexión. La imagen de una figura por un reflejo es su imagen especular en el eje o plano de reflexión. Por ejemplo, la imagen especular de la letra latina minúscula p para un reflejo con respecto a un eje vertical se vería como q. Su imagen por reflexión en un eje horizontal se vería como b. Una reflexión es una involución: cuando se aplica dos veces seguidas, cada punto vuelve a su ubicación original y cada objeto geométrico se restaura a su estado original.

El término reflexión se utiliza a veces para una clase más amplia de aplicaciones de un espacio euclidiano a sí mismo, a saber, las isometrías de no identidad que son involuciones. Estas isometrías tienen un conjunto de puntos fijos (el "espejo") que es un subespacio afín, pero posiblemente más pequeño que un hiperplano. Por ejemplo, una reflexión a través de un punto es una isometría involutiva con un solo punto fijo; la imagen de la letra p debajo parecería una d. Esta operación también se conoce como inversión central (Coxeter 1969, §7.2) y exhibe el espacio euclidiano como un espacio simétrico. En un espacio vectorial euclidiano, la reflexión en el punto situado en el origen es lo mismo que la negación vectorial. Otros ejemplos incluyen reflejos en una línea en un espacio tridimensional. Normalmente, sin embargo, el uso no calificado del término "reflexión" significa reflexión en un hiperplano.

Algunos matemáticos usan "flip" como sinónimo de "reflexión".

Construcción

Punto $Q$ es el reflejo del punto $P$ a través de la línea $AB$ .

En una geometría plana (o, respectivamente, tridimensional), para encontrar el reflejo de un punto, coloque una perpendicular desde el punto hasta la línea (plano) utilizada para el reflejo, y extiéndala la misma distancia en el otro lado. Para encontrar el reflejo de una figura, refleja cada punto de la figura.

Did you mean:

To reflect point P through the line IN using compass and straightedge, proceed as follows (see figure):

Paso 1 (rojo): construir un círculo con centro en $P$ y algún radio fijo $r$ crear puntos $A$ y $B.$ en la línea $AB$ , que será equidistante de $P$ .
Paso 2 (verde): construir círculos centrados en $A$ y $B.$ teniendo radio $r$ . $P$ y $Q$ serán los puntos de intersección de estos dos círculos.

Did you mean:

Point Q is then the reflection of point P through line $AB$ .

Propiedades

Un reflejo a través de un eje seguido de un reflejo en un segundo eje no paralelo al primero resulta en un movimiento total que es una rotación alrededor del punto de intersección de los ejes, por un ángulo dos veces el ángulo entre los ejes.

La matriz para una reflexión es ortogonal con determinante −1 y valores propios −1, 1, 1,..., 1. El producto de dos matrices de este tipo es una matriz ortogonal especial que representa una rotación. Cada rotación es el resultado de reflejarse en un número par de reflexiones en hiperplanos a través del origen, y cada rotación impropia es el resultado de reflejarse en un número impar. Así, las reflexiones generan el grupo ortogonal, y este resultado se conoce como el teorema de Cartan-Dieudonné.

Del mismo modo, el grupo euclidiano, que consta de todas las isometrías del espacio euclidiano, se genera mediante reflexiones en hiperplanos afines. En general, un grupo generado por reflexiones en hiperplanos afines se conoce como grupo de reflexión. Los grupos finitos generados de esta manera son ejemplos de grupos de Coxeter.

Reflexión a través de una línea en el plano

La reflexión a través de una línea que pasa por el origen en dos dimensiones se puede describir mediante la siguiente fórmula

{displaystyle operatorname {Ref} _{l}(v)=2{frac {vcdot l}{lcdot l}}l-v,}

Donde $v$ denota el vector que se refleja, $l$ denota cualquier vector en la línea a través de la cual se realiza la reflexión, y ${displaystyle vcdot l}$ denota el producto del punto $v$ con $l$ . Nota la fórmula anterior también se puede escribir como

{displaystyle operatorname {Ref} _{l}(v)=2operatorname {Proj} _{l}(v)-v,}

decir que un reflejo de $v$ enfrente $l$ es igual a 2 veces la proyección de $v$ on $l$ , menos el vector $v$ . Las reflexiones en una línea tienen los eigenvalues de 1, y −1.

Reflexión a través de un hiperplano en n dimensiones

Dado un vector $v$ en el espacio euclidiano $mathbb {R} ^{n}$ , la fórmula para la reflexión en el hiperplano a través del origen, ortogonal a $a$ , se da por

{displaystyle operatorname {Ref} _{a}(v)=v-2{frac {vcdot a}{acdot a}}a,}

Donde ${displaystyle vcdot a}$ denota el producto del punto $v$ con $a$ . Tenga en cuenta que el segundo término en la ecuación anterior es sólo el doble de la proyección vectorial de $v$ sobre $a$ . Uno puede comprobar fácilmente que

$Ref. a () v) = - v$ , si $v$ es paralelo a $a$ , y
$Ref. a () v) v$ , si $v$ es perpendicular a $a$ .

Usando el producto geométrico, la fórmula es

{displaystyle operatorname {Ref} _{a}(v)=-{frac {ava}{a^{2}}}.}

Dado que estas reflexiones son isometrías del espacio euclidiano que fijan el origen, pueden representarse mediante matrices ortogonales. La matriz ortogonal correspondiente a la reflexión anterior es la matriz

{displaystyle R=I-2{frac {aa^{T}}{a^{T}a}},}

Donde $I$ denota los $ntimes n$ matriz de identidad y ${displaystyle a^{T}}$ es la transposición de a. Sus entradas son

R_{ij} = delta_{ij} - 2frac{a_i a_j}{ left| a right| ^2 },

Did you mean:

where δ_ij is the Kronecker delta.

La fórmula para la reflexión en el hiperplano de ataúd ${displaystyle vcdot a=c}$ no por el origen

{displaystyle operatorname {Ref} _{a,c}(v)=v-2{frac {vcdot a-c}{acdot a}}a.}

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