Red (matemáticas)

X{displaystyle X}

X{displaystyle X}

Si limx∙ ∙ → → x{displaystyle lim _{}x_{bullet }to x} dentro X{displaystyle X} y si este límite X{displaystyle X} es único (unidad en X{displaystyle X} significa que si Sí.▪ ▪ X{displaystyle yin X} es tal que limx∙ ∙ → → Sí.,{displaystyle lim _{}x_{bullet }to y,} entonces necesariamente x=Sí.{displaystyle x=y}) entonces este hecho puede ser indicado por escrito

limx∙ ∙ =xolimxa=xolima▪ ▪ Axa=x{displaystyle lim ¿Qué? }=x;~~{ or }~;lim _{}x_{f}~ {fnfn0}~;lim _{ain A}x_{a}=x}

→ → .{displaystyle to.}

limx∙ ∙ =x{displaystyle lim ¿Qué? }=x}

limx∙ ∙ → → x{displaystyle lim _{}x_{bullet }to x}

={displaystyle =}

x,Sí.▪ ▪ X{displaystyle x,yin X}

x∙ ∙ {displaystyle x_{bullet}}

X{displaystyle X}

limx∙ ∙ =x{displaystyle lim ¿Qué? }=x}

limx∙ ∙ =Sí.{displaystyle lim ¿Qué? }=y

={displaystyle =}

x=Sí.{displaystyle x=y}

Bases y subbases

Dada una subbase B{displaystyle {máthcal {B}} para la topología en X{displaystyle X} (donde note que cada base para una topología es también una subbase) y dado un punto x▪ ▪ X,{displaystyle xin X,} a neta x∙ ∙ {displaystyle x_{bullet}} dentro X{displaystyle X} convergencias a x{displaystyle x} si y sólo si es eventualmente en cada vecindario U▪ ▪ B{displaystyle ¿Qué? de x.{displaystyle x.} Esta caracterización se extiende a las subcuencas vecinales (y también a las bases vecinales) del punto dado x.{displaystyle x.}

Convergencia en espacios métricos

Suppose ()X,d){displaystyle (X,d)} es un espacio métrico (o un espacio pseudométrico) y X{displaystyle X} está dotado con la topología métrica. Si x▪ ▪ X{displaystyle xin X} es un punto y x∙ ∙ =()xi)a▪ ▪ A{displaystyle x_{bullet }=left(x_{i}right)_{ain A} es una red, entonces x∙ ∙ → → x{displaystyle x_{bullet }to x} dentro ()X,d){displaystyle (X,d)} si d()x,x∙ ∙ )→ → 0{displaystyle dleft(x,x_{bullet }right)to 0} dentro R,{displaystyle mathbb {R} Donde d()x,x∙ ∙ ):=()d()x,xa))a▪ ▪ A{displaystyle dleft(x,x_{bullet }right):=left(dleft(x,x_{a}right)_{ain) A} es una red de números reales. En inglés claro, esta caracterización dice que una red converge a un punto en un espacio métrico si y sólo si la distancia entre la red y el punto converge a cero. Si ()X,.. ⋅ ⋅ .. ){displaystyle (X,fnMicrosoft Sans Serpientes)} es un espacio normal (o un espacio seminormado) entonces x∙ ∙ → → x{displaystyle x_{bullet }to x} dentro ()X,.. ⋅ ⋅ .. ){displaystyle (X,fnMicrosoft Sans Serpientes)} si .x− − x∙ ∙ .→ → 0{displaystyle leftfnx-x_{bullet }rightfnsetoto 0} dentro R,{displaystyle mathbb {R} Donde .x− − x∙ ∙ .:=().x− − xa.)a▪ ▪ A.{displaystyle leftfnx-x_{bullet }rightfn:=left(leftfnx-x_{a}rightright)_{ain A}

Convergencia en subespacios topológicos

Si el set S={}x}∪ ∪ {}xa:a▪ ▪ A}{displaystyle S={x}cup left{x_{a}:ain Aright} está dotado con la topología subespacial inducida por X,{displaystyle X. entonces limx∙ ∙ → → x{displaystyle lim _{}x_{bullet }to x} dentro X{displaystyle X} si limx∙ ∙ → → x{displaystyle lim _{}x_{bullet }to x} dentro S.{displaystyle S.} De esta manera, la cuestión de si la red o no x∙ ∙ {displaystyle x_{bullet}} convergen al punto dado x{displaystyle x} depende exclusivamente exclusivamente exclusivamente exclusivamente exclusivamente exclusivamente en este subespacial topológico S{displaystyle S. consistente en x{displaystyle x} y la imagen de (es decir, los puntos de) la red x∙ ∙ .{displaystyle x_{bullet }

Límites en un producto cartesiano

Una red en el espacio del producto tiene un límite si y solo si cada proyección tiene un límite.

Explícitamente, ()Xi)i▪ ▪ I{displaystyle left(X_{i}right)_{iin I} ser espacios topológicos, dotar de su producto cartesiano

∏ ∏ X∙ ∙ :=∏ ∏ i▪ ▪ IXi{displaystyle {textstyle prod}X_{bullet }=prod _{iin Yo...

l▪ ▪ I,{displaystyle lin I,}

Xl{displaystyle X_{l}

π π l:∏ ∏ X∙ ∙ → → Xl()xi)i▪ ▪ I↦ ↦ xl{displaystyle {begin{alignedat}{4}pi} ¿Por qué? Yo me llevé a un lado.

Vamos f∙ ∙ =()fa)a▪ ▪ A{displaystyle f_{bullet }=left(f_{a}right)_{ain A} ser una red ∏ ∏ X∙ ∙ {displaystyle {textstyle prod}X_{bullet } dirigida por A{displaystyle A} y para cada índice i▪ ▪ I,{displaystyle iin I,} Deja

π π i()f∙ ∙ )=def()π π i()fa))a▪ ▪ A{displaystyle pi ¿Por qué? ¿Por qué? A}

f∙ ∙ {displaystyle f_{bullet}}

π π i{displaystyle pi _{i}

π π i()f∙ ∙ ):A→ → Xi.{displaystyle pi _{i}left(f_{bullet }right): Ato X_{i}

π π i()f∙ ∙ ){displaystyle pi _{i}left(f_{bullet }right)}

f∙ ∙ :A→ → ∏ ∏ X∙ ∙ {displaystyle f_{bullet }:Ato {textstyle prod }X_{bullet }

π π i:∏ ∏ X∙ ∙ → → Xi;{displaystyle pi - ¿Por qué?

π π i()f∙ ∙ )=defπ π i∘ ∘ f∙ ∙ .{displaystyle pi ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ {f}

Para cualquier punto dado L=()Li)i▪ ▪ I▪ ▪ ∏ ∏ i▪ ▪ IXi,{displaystyle L=left(L_{i}right)_{iin I}in {textstyle prod limits _{iin Yo... la red f∙ ∙ {displaystyle f_{bullet}} convergencias a L{displaystyle L. en el espacio del producto ∏ ∏ X∙ ∙ {displaystyle {textstyle prod}X_{bullet } si y sólo si por cada índice i▪ ▪ I,{displaystyle iin I,} π π i()f∙ ∙ )=def()π π i()fa))a▪ ▪ A{displaystyle pi _{i}left(f_{bullet }right);{stackrel {scriptstyle {text{def}}}{=}left(pi) ¿Por qué? A} convergencias a Li{displaystyle L_{i} dentro Xi.{displaystyle X_{i}. Y cuando la red f∙ ∙ {displaystyle f_{bullet}} clusters at L{displaystyle L. dentro ∏ ∏ X∙ ∙ {displaystyle {textstyle prod}X_{bullet } entonces π π i()f∙ ∙ ){displaystyle pi _{i}left(f_{bullet }right)} clusters at Li{displaystyle L_{i} para cada índice i▪ ▪ I.{displaystyle iin I.} Sin embargo, el contrario no se mantiene en general. Por ejemplo, supongamos X1=X2=R{displaystyle X_{1}=X_{2}=Mathbb {R} y dejar f∙ ∙ =()fa)a▪ ▪ N{displaystyle f_{bullet }=left(f_{a}right)_{ain mathbb {N} denota la secuencia ()1,1),()0,0),()1,1),()0,0),...... {displaystyle (1,1),(0,0),(1,1),(0,0),ldots } que alterna entre ()1,1){displaystyle (1,1)} y ()0,0).{displaystyle (0,0).} Entonces... L1:=0{displaystyle L_{1}:=0} y L2:=1{displaystyle L_{2}:=1} son puntos de agrupación de ambos π π 1()f∙ ∙ ){displaystyle pi _{1}left(f_{bullet }right)} y π π 2()f∙ ∙ ){displaystyle pi _{2}left(f_{bullet }right)} dentro X1× × X2=R2{displaystyle X_{1}times X_{2}=Mathbb {R} } {2} pero ()L1,L2)=()0,1){displaystyle left(L_{1},L_{2}right)=(0,1)} no es un punto de agrupación f∙ ∙ {displaystyle f_{bullet}} desde la bola abierta del radio 1{displaystyle 1} centrado en ()0,1){displaystyle (0,1)} no contiene ni un solo punto f∙ ∙ {displaystyle f_{bullet}}

Teorema de Tychonoff y relación con el axioma de elección

Si no L▪ ▪ X{displaystyle Lin X} es dado pero para cada i▪ ▪ I,{displaystyle iin I,} existe Li▪ ▪ Xi{displaystyle L_{i}in X_{i} tales que π π i()f∙ ∙ )→ → Li{displaystyle pi _{i}left(f_{bullet }right)to L_{i} dentro Xi{displaystyle X_{i} entonces el tuple definido por L=()Li)i▪ ▪ I{displaystyle L=left(L_{i}right)_{iin I} será un límite f∙ ∙ {displaystyle f_{bullet}} dentro X.{displaystyle X.} Sin embargo, podría ser necesario asumir el axioma de elección para concluir que este tuple L{displaystyle L. existe; el axioma de elección no es necesario en algunas situaciones, como cuando I{displaystyle Yo... es finito o cuando cada uno Li▪ ▪ Xi{displaystyle L_{i}in X_{i} es único límite de la red π π i()f∙ ∙ ){displaystyle pi _{i}left(f_{bullet }right)} (porque entonces no hay nada que elegir entre), que sucede por ejemplo, cuando cada Xi{displaystyle X_{i} Es un espacio Hausdorff. Si I{displaystyle Yo... es infinito ∏ ∏ X∙ ∙ =∏ ∏ j▪ ▪ IXj{displaystyle {textstyle prod}X_{bullet }={textstyle prod limits _{jin I}X_{j} no está vacío, entonces el axioma de elección (en general) todavía sería necesario para concluir que las proyecciones π π i:∏ ∏ X∙ ∙ → → Xi{displaystyle pi ¿Por qué? son mapas subjetivos.

El axioma de elección es equivalente al teorema de Tychonoff, que establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto. Pero si todo espacio compacto es también Hausdorff, entonces el llamado 'teorema de Tychonoff para espacios compactos de Hausdorff' se puede usar en su lugar, que es equivalente al lema del ultrafiltro y, por lo tanto, estrictamente más débil que el axioma de elección. Las redes se pueden usar para dar pruebas cortas de ambas versiones del teorema de Tychonoff usando la caracterización de la convergencia de la red dada anteriormente junto con el hecho de que un espacio es compacto si y solo si cada red tiene una subred convergente.

Puntos de clúster de una red

Un punto x▪ ▪ X{displaystyle xin X} es un punto de racimo de una red dada si y sólo si tiene un subconjunto que converge a x.{displaystyle x.}Si x∙ ∙ =()xa)a▪ ▪ A{displaystyle x_{bullet }=left(x_{a}right)_{ain A} es una red X{displaystyle X} entonces el conjunto de todos los puntos de racimo de x∙ ∙ {displaystyle x_{bullet}} dentro X{displaystyle X} es igual a

⋂ ⋂ a▪ ▪ AclX⁡ ⁡ ()x≥ ≥ a){displaystyle bigcap _{ain A}operatorname {cl} _{X}left(x_{gq a}right)}

x≥ ≥ a:={}xb:b≥ ≥ a,b▪ ▪ A}{displaystyle x_{gq a=left{x_{b}:bgeq a,bin Aright}

a▪ ▪ A.{displaystyle ain A.}

x▪ ▪ X{displaystyle xin X}

x∙ ∙ {displaystyle x_{bullet}}

x{displaystyle x}

x∙ ∙ .{displaystyle x_{bullet }

Ultraredes

Una red x∙ ∙ {displaystyle x_{bullet}} en conjunto X{displaystyle X} se llama redes universales o un ultranet si por cada subconjunto S⊆ ⊆ X,{displaystyle Ssubseteq X,} x∙ ∙ {displaystyle x_{bullet}} eventualmente S{displaystyle S. o x∙ ∙ {displaystyle x_{bullet}} eventualmente en el complemento X∖ ∖ S.{displaystyle Xsetminus S.} Los ultranets están estrechamente relacionados con los ultrafilters.

Cada red constante es un ultranet. Cada subred de un ultranet es un ultranet. Cada red tiene algún subnet que es un ultranet. Si x∙ ∙ =()xa)a▪ ▪ A{displaystyle x_{bullet }=left(x_{a}right)_{ain A} es un ultranet en X{displaystyle X} y f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. es una función entonces f∘ ∘ x∙ ∙ =()f()xa))a▪ ▪ A{displaystyle fcirc x_{bullet }=left(fleft(x_{a}right)_{ain) A} es un ultranet en Y.{displaystyle Sí.

Dado x▪ ▪ X,{displaystyle xin X,} un grupo ultranet en x{displaystyle x} si y sólo converge x.{displaystyle x.}

Ejemplos de límites de redes

Todo límite de una secuencia y límite de una función puede interpretarse como un límite de una red (como se describe a continuación).

La definición del valor de una integral de Riemann se puede interpretar como un límite de una red de sumas de Riemann donde el conjunto dirigido de la red es el conjunto de todas las particiones del intervalo de integración, parcialmente ordenado por inclusión.

Interpretar el conjunto RR{displaystyle mathbb {R} {R} de todas las funciones con prototipo f:R→ → R{displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {R} como el producto cartesiano ∏ ∏ x▪ ▪ RR{displaystyle {textstyle prod limits _{xin mathbb Mathbb {R} (identificando una función f{displaystyle f} con el tuple ()f()x))x▪ ▪ R,{displaystyle (f(x)_{xin mathbb {R},} y a la inversa) y dotarlo con la topología del producto. Esta (producto) topología en RR{displaystyle mathbb {R} {R} es idéntica a la topología de la convergencia puntual. Vamos E{displaystyle E} denota el conjunto de todas las funciones f:R→ → {}0,1}{displaystyle f:mathbb {R} to {0,1} que son iguales 1{displaystyle 1} en todas partes excepto en la mayoría finitamente muchos puntos (es decir, tal que el conjunto {}x:f()x)=0}{displaystyle {x:f(x)=0} es finito). Entonces la constante 0{displaystyle 0} función 0:R→ → {}0}{displaystyle mathbf {0}:mathbb {R} to {0}} pertenece al cierre de E{displaystyle E} dentro RR;{displaystyle mathbb {R} {R} }; es decir, 0▪ ▪ clRR⁡ ⁡ E.{displaystyle mathbf {0} in operatorname {cl} - No. Oh, Dios mío. E. Esto se probará mediante la construcción de una red E{displaystyle E} que converge en 0.{displaystyle mathbf {0} Sin embargo, no existe ninguna secuencia dentro E{displaystyle E} que converge en 0,{displaystyle mathbf {0} lo que hace que esta instancia donde (no secuencia) las redes deben ser utilizadas porque las secuencias por sí solas no pueden llegar a la conclusión deseada. Comparar elementos RR{displaystyle mathbb {R} {R} punto en la forma habitual declarando que f≥ ≥ g{displaystyle fgeq g} si f()x)≥ ≥ g()x){displaystyle f(x)geq g(x)} para todos x.{displaystyle x.} Esta comparación puntual es un orden parcial que hace ()E,≥ ≥ ){displaystyle (E,geq)} un conjunto dirigido desde f,g▪ ▪ E,{displaystyle f,gin E,} su punto de vista mínimo m:=min{}f,g}{displaystyle m:=min{f,g} pertenece E{displaystyle E} y satisfizos f≥ ≥ m{displaystyle fgeq m} y g≥ ≥ m.{displaystyle ggeq m.} Este orden parcial convierte el mapa de identidad Id:()E,≥ ≥ )→ → E{displaystyle operatorname {Id}:(E,geq)to E} (definido por f↦ ↦ f{displaystyle fmapsto f}) en un E{displaystyle E}- red valorada. Esta red converge de forma puntual 0{displaystyle mathbf {0} dentro RR,{displaystyle mathbb {R} {R},} que implica 0{displaystyle mathbf {0} pertenece al cierre de E{displaystyle E} dentro RR.{displaystyle mathbb {R} {R}.}

Ejemplos

Secuencia en un espacio topológico

Una secuencia a1,a2,...... {displaystyle a_{1},a_{2},ldots } en un espacio topológico X{displaystyle X} puede considerarse una red X{displaystyle X} definidas N.{displaystyle mathbb {N}

La red eventualmente está en un subconjunto S{displaystyle S. de X{displaystyle X} si existe N▪ ▪ N{displaystyle Nin mathbb {N} tal que por cada entero n≥ ≥ N,{displaystyle ngeq N,} el punto an{displaystyle a_{n} está dentro S.{displaystyle S.}

Así que... limnan→ → L{displaystyle lim {fn}a_{n}to} L. si y sólo si por cada vecindario V{displaystyle V} de L,{displaystyle L. la red finalmente está en V.{displaystyle V.}

La red está frecuentemente en un subconjunto S{displaystyle S. de X{displaystyle X} si y sólo si por cada N▪ ▪ N{displaystyle Nin mathbb {N} hay algunos enteros n≥ ≥ N{displaystyle ngeq N} tales que an▪ ▪ S,{displaystyle a_{n}in S,} es decir, si y sólo si infinitamente muchos elementos de la secuencia están en S.{displaystyle S.} Así un punto Sí.▪ ▪ X{displaystyle yin X} es un punto de agrupación de la red si y sólo si cada barrio V{displaystyle V} de Sí.{displaystyle y} contiene infinitamente muchos elementos de la secuencia.

Función de un espacio métrico a un espacio topológico

Arregla un punto c▪ ▪ M{displaystyle cin M} en un espacio métrico ()M,d){displaystyle (M,d)} que tiene al menos dos puntos (como M:=Rn{displaystyle M:=mathbb {R} {fn} con la métrica Euclideana c:=0{displaystyle c:=0} ser el origen, por ejemplo) y dirigir el conjunto I:=M∖ ∖ {}c}{displaystyle I:=Msetminus {c}} inversamente de acuerdo a la distancia c{displaystyle c} declarando que i≤ ≤ j{displaystyle ileq j} si d()j,c)≤ ≤ d()i,c).{displaystyle d(j,c)leq d(i,c). } En otras palabras, la relación es "tiene al menos la misma distancia a c{displaystyle c} como", por lo que "lo suficientemente grande" con respecto a esta relación significa "cerrar lo suficiente c{displaystyle c}". Dada cualquier función con dominio M,{displaystyle M,} su restricción a I:=M∖ ∖ {}c}{displaystyle I:=Msetminus {c}} puede ser interpretada canónicamente como una red dirigida por ()I,≤ ≤ ).{displaystyle (I,leq).}

Una red f:M∖ ∖ {}c}→ → X{displaystyle f:Msetminus {c}to X} eventualmente en un subconjunto S{displaystyle S. de un espacio topológico X{displaystyle X} y sólo si existe n▪ ▪ M∖ ∖ {}c}{displaystyle nin Msetminus {c}} por cada uno m▪ ▪ M∖ ∖ {}c}{displaystyle min Msetminus {c} satisfacción d()m,c)≤ ≤ d()n,c),{displaystyle d(m,c)leq d(n,c),} el punto f()m){displaystyle f(m)} está dentro S.{displaystyle S.} Tal red f{displaystyle f} convergencias en X{displaystyle X} a un punto dado L▪ ▪ X{displaystyle Lin X} si limm→ → cf()m)→ → L{displaystyle lim _{mto c}f(m)to L} en el sentido habitual (lo que significa para cada barrio V{displaystyle V} de L,{displaystyle L. f{displaystyle f} eventualmente V{displaystyle V}).

La red f:M∖ ∖ {}c}→ → X{displaystyle f:Msetminus {c}to X} es frecuente en un subconjunto S{displaystyle S. de X{displaystyle X} si y sólo si por cada n▪ ▪ M∖ ∖ {}c}{displaystyle nin Msetminus {c}} existe m▪ ▪ M∖ ∖ {}c}{displaystyle min Msetminus {c} con d()m,c)≤ ≤ d()n,c){displaystyle d(m,c)leq d(n,c)} tales que f()m){displaystyle f(m)} está dentro S.{displaystyle S.}En consecuencia, un punto L▪ ▪ X{displaystyle Lin X} es un punto de agrupación de la red f{displaystyle f} si y sólo si por cada vecindario V{displaystyle V} de L,{displaystyle L. la red es frecuentemente V.{displaystyle V.}

Función de un conjunto bien ordenado a un espacio topológico

Considere un conjunto bien ordenado [0,c]{displaystyle [0,c]} con punto límite t{displaystyle t} y una función f{displaystyle f} desde [0,t){displaystyle [0,t]} a un espacio topológico X.{displaystyle X.} Esta función es una red en [0,t).{displaystyle [0,t]. }

Es eventualmente en un subconjunto V{displaystyle V} de X{displaystyle X} si existe r▪ ▪ [0,t){displaystyle rin [0,t] por cada uno s▪ ▪ [r,t){displaystyle sin [r,t]} el punto f()s){displaystyle f(s)} está dentro V.{displaystyle V.}

Así que... limx→ → tf()x)→ → L{displaystyle lim _{xto t}f(x)to L} si y sólo si por cada vecindario V{displaystyle V} de L,{displaystyle L. f{displaystyle f} eventualmente V.{displaystyle V.}

La red f{displaystyle f} es frecuente en un subconjunto V{displaystyle V} de X{displaystyle X} si y sólo si por cada r▪ ▪ [0,t){displaystyle rin [0,t] existe s▪ ▪ [r,t){displaystyle sin [r,t]} tales que f()s)▪ ▪ V.{displaystyle f(s)in V.}

Un punto Sí.▪ ▪ X{displaystyle yin X} es un punto de agrupación de la red f{displaystyle f} si y sólo si por cada vecindario V{displaystyle V} de Sí.,{displaystyle y,} la red es frecuentemente V.{displaystyle V.}

El primer ejemplo es un caso especial de esto con c=⋅ ⋅ .{displaystyle c=omega.}

Véase también secuencia indexada ordinal.

Subredes

El análogo de "subsequencia" para redes es la noción de una "subnet". Hay varias definiciones no equivalentes diferentes de "subnet" y este artículo utilizará la definición introducida en 1970 por Stephen Willard, que es la siguiente: Si x∙ ∙ =()xa)a▪ ▪ A{displaystyle x_{bullet }=left(x_{a}right)_{ain A} y s∙ ∙ =()si)i▪ ▪ I{displaystyle s_{bullet }=left(s_{i}right)_{iin I} son redes entonces s∙ ∙ {displaystyle s_{bullet } se llama subnet o Willard-subnet de x∙ ∙ {displaystyle x_{bullet}} si existe un mapa de reserva de pedidos h:I→ → A{displaystyle h:Ito A} tales que h()I){displaystyle h(I)} es un subconjunto de cofinal A{displaystyle A} y

si=xh()i)para todosi▪ ▪ I.{displaystyle ¿Por qué?

h:I→ → A{displaystyle h:Ito A}

i≤ ≤ j{displaystyle ileq j}

h()i)≤ ≤ h()j).{displaystyle h(i)leq h(j). }

h()I){displaystyle h(I)}

A{displaystyle A}

a▪ ▪ A,{displaystyle ain A,}

b▪ ▪ h()I){displaystyle bin h(I)}

b≥ ≥ a.{displaystyle bgeq a.}

Propiedades

Prácticamente todos los conceptos de topología se pueden reformular en el lenguaje de redes y límites. Esto puede ser útil para guiar la intuición ya que la noción de límite de una red es muy similar a la de límite de una sucesión. El siguiente conjunto de teoremas y lemas ayudan a consolidar esa similitud:

Caracterizaciones de propiedades topológicas

Conjuntos cerrados y cierre

Un subconjunto S⊆ ⊆ X{displaystyle Ssubseteq X} está cerrado X{displaystyle X} si y sólo si cada punto límite de cada red convergente en S{displaystyle S. necesariamente pertenece a S.{displaystyle S.} Explícitamente, un subconjunto S⊆ ⊆ X{displaystyle Ssubseteq X} está cerrado si y sólo si x▪ ▪ X{displaystyle xin X} y s∙ ∙ =()sa)a▪ ▪ A{displaystyle s_{bullet }=left(s_{a}right)_{ain A} es un valor neto S{displaystyle S. (que significa que sa▪ ▪ S{displaystyle s_{a}in S. para todos a▪ ▪ A{displaystyle ain A}. lims∙ ∙ → → x{displaystyle lim {}s_{bullet}to x} dentro X,{displaystyle X. entonces necesariamente x▪ ▪ S.{displaystyle xin S.}

Más generalmente, si S⊆ ⊆ X{displaystyle Ssubseteq X} es cualquier subconjunto entonces un punto x▪ ▪ X{displaystyle xin X} se encuentra en el cierre de S{displaystyle S. si existe una red ()sa)a▪ ▪ A{displaystyle left(s_{a}right)_{ain A} dentro S{displaystyle S. con límite x▪ ▪ X{displaystyle xin X} y tal que sa▪ ▪ S{displaystyle s_{a}in S. para cada índice a▪ ▪ A.{displaystyle ain A.}

Conjuntos abiertos y caracterizaciones de topologías

Un subconjunto S⊆ ⊆ X{displaystyle Ssubseteq X} está abierto si no hay red en X∖ ∖ S{displaystyle Xsetminus S} converge a un punto S.{displaystyle S.} Además, subconjunto S⊆ ⊆ X{displaystyle Ssubseteq X} está abierto si y sólo si cada red converge a un elemento S{displaystyle S. eventualmente figura en S.{displaystyle S.} Son estas caracterizaciones de "subconjunto abierto" que permiten a las redes caracterizar topologías. Las topologías también pueden caracterizarse por subconjuntos cerrados ya que un conjunto está abierto si y sólo si su complemento está cerrado. Por lo tanto, las caracterizaciones de "conjunto cerrado" en términos de redes también se pueden utilizar para caracterizar topologías.

Continuidad

Una función f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. entre los espacios topológicos es continuo en un punto dado x{displaystyle x} si y sólo si por cada red x∙ ∙ =()xa)a▪ ▪ A{displaystyle x_{bullet }=left(x_{a}right)_{ain A} en su dominio, si limx∙ ∙ → → x{displaystyle lim _{}x_{bullet }to x} dentro X{displaystyle X} entonces limf()x∙ ∙ )→ → f()x){displaystyle lim {}fleft(x_{bullet }right)to f(x)} dentro Y.{displaystyle Sí. Dijo más sucintamente, una función f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. es continuo si y sólo si x∙ ∙ → → x{displaystyle x_{bullet }to x} dentro X{displaystyle X} entonces f()x∙ ∙ )→ → f()x){displaystyle fleft(x_{bullet }right)to f(x)} dentro Y.{displaystyle Sí. En general, esta declaración no sería verdadera si la palabra "net" fuera reemplazada por "sequence"; es decir, es necesario permitir conjuntos dirigidos distintos de los números naturales si X{displaystyle X} no es un espacio de primera cuenta (o no un espacio secuencial).

Compacidad

Un espacio X{displaystyle X} es compacto si y sólo si cada red x∙ ∙ =()xa)a▪ ▪ A{displaystyle x_{bullet }=left(x_{a}right)_{ain A} dentro X{displaystyle X} tiene una subred con un límite X.{displaystyle X.} Esto se puede ver como una generalización del teorema Bolzano-Weierstrass y el teorema Heine-Borel.

Prueba

()⟹ ⟹ {displaystyle implies }) Primero, supongamos que X{displaystyle X} es compacto. Necesitamos la siguiente observación (ver propiedad de intersección finita). Vamos I{displaystyle Yo... ser cualquier conjunto no vacío y {}Ci}i▪ ▪ I{displaystyle left {fn} {fnfnfnfnfn} I} ser una colección de subconjuntos cerrados de X{displaystyle X} tales que ⋂ ⋂ i▪ ▪ JCiل ل ∅ ∅ {displaystyle bigcap _{iin J}C_{i}neq varnothing } para cada finito J⊆ ⊆ I.{displaystyle Jsubseteq I.} Entonces... ⋂ ⋂ i▪ ▪ ICiل ل ∅ ∅ {displaystyle bigcap _{iin I'C_{i}neq varnothing } también. De lo contrario, {}Cic}i▪ ▪ I{displaystyle left{i} {c} {c} {fnfn} {fnfn} {c}fnc}c}fnfnfn}fnc}ccc}ccc}cccH00}cc}cH00c}cc}c}c}c}c}c}c}c}cc}cc}c}c}cccc}ccc}cccccc}c}c}cc}c}c}c}c}c}c}c}ccccc}c}c}c}c}c}ccc}cc}c}cc}c}c} I} sería una cubierta abierta para X{displaystyle X} sin tapa finita contraria a la compactidad X.{displaystyle X.} Vamos x∙ ∙ =()xa)a▪ ▪ A{displaystyle x_{bullet }=left(x_{a}right)_{ain A} ser una red X{displaystyle X} dirigida por A.{displaystyle A.} Por todos a▪ ▪ A{displaystyle ain A} definir Ea≜ ≜ {}xb:b≥ ≥ a}.{displaystyle E_{a}triangleq left{x_{b}:bgeq aright} La colección {}cl⁡ ⁡ ()Ea):a▪ ▪ A}{displaystyle {operatorname {cl} left(E_{a}right):ain A} tiene la propiedad que cada subcollección finita tiene intersección no vacía. Así, por la observación anterior, tenemos que ⋂ ⋂ a▪ ▪ Acl⁡ ⁡ Eaل ل ∅ ∅ {displaystyle bigcap _{ain A}operatorname {cl} E_{a}neq varnothing } y esto es precisamente el conjunto de puntos de racimo x∙ ∙ .{displaystyle x_{bullet } Por la prueba dada en la siguiente sección, es igual al conjunto de límites de subredes convergentes de x∙ ∙ .{displaystyle x_{bullet } Así x∙ ∙ {displaystyle x_{bullet}} tiene una subred convergente. ()⟸ ⟸ {displaystyle Longleftarrow }) Por el contrario, supongamos que cada red en X{displaystyle X} tiene una subred convergente. Por el bien de la contradicción, {}Ui:i▪ ▪ I}{displaystyle left{U_{i}:iin I 'right' ser una cubierta abierta X{displaystyle X} sin tapa finita. Considerar <math alttext="{displaystyle Dtriangleq {Jsubset I:|J|D≜ ≜ {}J⊂ ⊂ I:SilencioJSilencio.JUEGO JUEGO }.{displaystyle Dtriangleq {Jsubset I: "Perfecto"<img alt="{displaystyle Dtriangleq {Jsubset I:|J| Observe que D{displaystyle D} es un conjunto dirigido bajo inclusión y para cada C▪ ▪ D,{displaystyle Cin D,} existe xC▪ ▪ X{displaystyle x_{C}in X} tales que xC∉ ∉ Ua{displaystyle x_{C}notin U_{a} para todos a▪ ▪ C.{displaystyle ain C.} Considerar la red ()xC)C▪ ▪ D.{displaystyle left(x_{C}right)_{Cin D} Esta red no puede tener una subred convergente, porque para cada x▪ ▪ X{displaystyle xin X} existe c▪ ▪ I{displaystyle cin I} tales que Uc{displaystyle U_{c} es un barrio x{displaystyle x}; sin embargo, para todos B⊇ ⊇ {}c},{displaystyle Bsupseteq {c},} tenemos xB∉ ∉ Uc.{displaystyle x_{B}notin U_{c} Esta es una contradicción y completa la prueba.

Cluster y puntos límite

El conjunto de puntos de clúster de una red es igual al conjunto de límites de sus subredes convergentes.

Una red tiene un límite si y solo si todas sus subredes tienen límites. En ese caso, cada límite de la red es también un límite de cada subred.

Otras propiedades

En general, una red en un espacio X{displaystyle X} puede tener más de un límite, pero si X{displaystyle X} es un espacio Hausdorff, el límite de una red, si existe, es único. Por el contrario, si X{displaystyle X} no es Hausdorff, entonces existe una red en X{displaystyle X} con dos límites distintos. Así la singularidad del límite es equivalente a la condición Hausdorff en el espacio, y de hecho esto puede ser tomado como la definición. Este resultado depende de la condición de dirección; un conjunto indexado por un orden general preorden o parcial puede tener puntos límite distintos incluso en un espacio Hausdorff.

Redes Cauchy

Una red de Cauchy generaliza la noción de sucesión de Cauchy a redes definidas en espacios uniformes.

Una red x∙ ∙ =()xa)a▪ ▪ A{displaystyle x_{bullet }=left(x_{a}right)_{ain A} es un Cauchy net si por cada séquito V{displaystyle V} existe c▪ ▪ A{displaystyle cin A} tal que para todos a,b≥ ≥ c,{displaystyle a,bgeq c,} ()xa,xb){displaystyle left(x_{a},x_{b}right)} es miembro de V.{displaystyle V.} Más generalmente, en un espacio Cauchy, una red x∙ ∙ {displaystyle x_{bullet}} es Cauchy si el filtro generado por la red es un filtro Cauchy.

Un espacio vectorial topológico (TVS) se llama completo si toda red de Cauchy converge en algún punto. Un espacio normado, que es un tipo especial de espacio vectorial topológico, es un TVS completo (equivalentemente, un espacio de Banach) si y solo si cada sucesión de Cauchy converge en algún punto (una propiedad que se denomina completitud secuencial). Aunque las redes de Cauchy no son necesarias para describir la completitud de espacios normados, sí lo son para describir la completitud de espacios vectoriales topológicos más generales (posiblemente no normables).

Relación con los filtros

Un filtro es otra idea en topología que permite una definición general de convergencia en espacios topológicos generales. Las dos ideas son equivalentes en el sentido de que dan el mismo concepto de convergencia. Más específicamente, para cada base de filtros neta asociada se puede construir, y la convergencia de la base del filtro implica la convergencia de la red asociada, y al revés (por cada red hay una base de filtro, y la convergencia de la red implica convergencia de la base del filtro). Por ejemplo, cualquier red ()xa)a▪ ▪ A{displaystyle left(x_{a}right)_{ain A} dentro X{displaystyle X} induce una base filtrante de colas {}{}xa:a▪ ▪ A,a0≤ ≤ a}:a0▪ ▪ A}{displaystyle left{x_{a}ain A,a_{0}leq aright Aright} donde el filtro entra X{displaystyle X} generado por esta base de filtro se llama la red eventualidad filtro. Esta correspondencia permite que cualquier teorema que pueda probarse con un concepto sea probado con el otro. Por ejemplo, la continuidad de una función de un espacio topológico al otro puede caracterizarse por la convergencia de una red en el dominio que implica la convergencia de la red correspondiente en el codomain, o por la misma declaración con bases de filtro.

Robert G. Bartle argumenta que a pesar de su equivalencia, es útil tener ambos conceptos. Argumenta que las redes son suficientemente parecidas a las secuencias para hacer pruebas y definiciones naturales en analogía con las secuencias, especialmente las que usan elementos secuenciales, como es común en el análisis, mientras que los filtros son más útiles en la topología algebraica. En cualquier caso, muestra cómo se pueden usar los dos en combinación para probar varios teoremas en topología general.

Límite superior

El límite superior y el límite inferior de una red de números reales se pueden definir de manera similar a las sucesiones. Algunos autores trabajan incluso con estructuras más generales que la línea real, como celosías completas.

Para una red ()xa)a▪ ▪ A,{displaystyle left(x_{a}right)_{ain A},} #

lim supxa=lima▪ ▪ ASupb⪰ ⪰ axb=infa▪ ▪ ASupb⪰ ⪰ axb.{displaystyle limsup x_{a}=lim _{ain A}sup _{bsucceq a}x_{b}=inf _{ain A}sup _{bsucceq a}x_{b}

El límite superior de una red de números reales tiene muchas propiedades análogas al caso de las sucesiones. Por ejemplo,

lim sup()xa+Sí.a)≤ ≤ lim supxa+lim supSí.a,{displaystyle limsup(x_{a}+y_{a})leq limsup x_{a}+limsup Y...