Red (grupo)

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En geometría y teoría de grupos, una red, red diagonal o enrejado en el espacio de coordenadas real $mathbb{R} ^{n}$ es un conjunto infinito de puntos en este espacio con las propiedades de que la suma o resta coordinada de dos puntos en la red produce otro punto de red, que los puntos de red están todos separados por algún distancia mínima, y que cada punto en el espacio está dentro de una distancia máxima de un punto de red. El cierre bajo suma y resta significa que una red debe ser un subgrupo del grupo aditivo de los puntos en el espacio, y los requisitos de distancia mínima y máxima se pueden resumir diciendo que una red es un conjunto de Delone. De manera más abstracta, una red se puede describir como un grupo abeliano libre de dimensión $norte$ que abarca el espacio vectorial $mathbb{R} ^{n}$ . Para cualquier base de $mathbb{R} ^{n}$ , el subgrupo de todas las combinaciones lineales con coeficientes enteros de los vectores base forma una red, y cada red se puede formar a partir de una base de esta manera. Una red puede verse como un mosaico regular de un espacio por una celda primitiva.

Los retículos tienen muchas aplicaciones significativas en matemáticas puras, particularmente en relación con el álgebra de Lie, la teoría de números y la teoría de grupos. También surgen en las matemáticas aplicadas en relación con la teoría de la codificación, en la criptografía debido a la supuesta dureza computacional de varios problemas de red y se utilizan de diversas formas en las ciencias físicas. Por ejemplo, en la ciencia de los materiales y la física del estado sólido, una red es sinónimo del "marco de trabajo" de una estructura cristalina, una matriz tridimensional de puntos espaciados regularmente que coinciden en casos especiales con las posiciones del átomo o la molécula en un cristal.. De manera más general, los modelos de celosía se estudian en física, a menudo mediante técnicas de física computacional.

Consideraciones y ejemplos de simetría

Una red es el grupo de simetría de simetría traslacional discreta en n direcciones. Un patrón con este entramado de simetría traslacional no puede tener más, pero puede tener menos simetría que el entramado mismo. Como grupo (dejando de lado su estructura geométrica), una red es un grupo abeliano libre generado finitamente y, por lo tanto, isomorfo a $mathbb {Z} ^{n}$ .

Una red en el sentido de una matriz tridimensional de puntos espaciados regularmente que coinciden, por ejemplo, con las posiciones del átomo o la molécula en un cristal, o más generalmente, la órbita de un grupo de acción bajo simetría de traslación, es una traducción de la red de traslación: a coset, que no necesita contener el origen, y por lo tanto no necesita ser una red en el sentido anterior.

Un ejemplo simple de una red en $mathbb{R} ^{n}$ es el subgrupo $mathbb {Z} ^{n}$ . Ejemplos más complicados incluyen la red E8, que es una red en ${ matemáticas {R}}^{8}}$ , y la red Leech en ${matemáticas {R}}^{{24}}$ . El período entramado $matemáticas {R} ^{2}$ es fundamental para el estudio de las funciones elípticas, desarrollado en las matemáticas del siglo XIX; se generaliza a dimensiones superiores en la teoría de funciones abelianas. Los retículos llamados retículos de raíz son importantes en la teoría de álgebras de Lie simples; por ejemplo, la red E8 está relacionada con un álgebra de Lie que lleva el mismo nombre.

Dividir el espacio según una celosía

Una red típica $Lambda$ en $mathbb{R} ^{n}$ por lo tanto tiene la forma ${displaystyle Lambda =left{left.sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i};rightvert ;a_{i}in mathbb { Z} derecho}}$

donde { v ₁,..., v _n } es una base para $mathbb{R} ^{n}$ . Diferentes bases pueden generar la misma red, pero el valor absoluto del determinante de los vectores _vi está determinado únicamente por Λ, y se denota por d(Λ). Si uno piensa en una red como si dividiera la totalidad de en poliedros iguales (copias de un paralelepípedo n -dimensional, conocido como la región fundamental de la red), entonces d(Λ) es igual al volumen n -dimensional de este poliedro. Esta es la razón por la cual d(Λ) a veces se denomina covolumen de la red. Si esto es igual a 1, la red se llama unimodular. $mathbb{R} ^{n}$

Puntos de celosía en conjuntos convexos

El teorema de Minkowski relaciona el número d(Λ) y el volumen de un conjunto simétrico convexo S con el número de puntos de red contenidos en S. El número de puntos de red contenidos en un politopo cuyos vértices son elementos de la red se describe mediante el polinomio de Ehrhart del politopo. Las fórmulas para algunos de los coeficientes de este polinomio también incluyen d(Λ).

Problemas de celosía computacional

Los problemas de redes computacionales tienen muchas aplicaciones en informática. Por ejemplo, el algoritmo de reducción de base reticular (LLL) Lenstra-Lenstra-Lovász se ha utilizado en el criptoanálisis de muchos esquemas de cifrado de clave pública, y se sabe que muchos esquemas criptográficos basados en celosía son seguros bajo el supuesto de que ciertos problemas de celosía son computacionalmente difícil.

Retículas en dos dimensiones: discusión detallada

Hay cinco tipos de redes 2D según el teorema de restricción cristalográfica. A continuación, el grupo de papel tapiz de la red se proporciona en notación IUC, notación Orbifold y notación Coxeter, junto con un diagrama de papel tapiz que muestra los dominios de simetría. Tenga en cuenta que un patrón con este retículo de simetría traslacional no puede tener más, pero puede tener menos simetría que el propio retículo. Una lista completa de subgrupos está disponible. Por ejemplo, a continuación, la red hexagonal/triangular se muestra dos veces, con una simetría de reflexión completa de 6 pliegues y la mitad de 3 pliegues. Si el grupo de simetría de un patrón contiene una rotación de n veces, entonces la red tiene simetría de n veces para n pares y de 2 n veces para n impares.

mmm, (2*22), [∞,2,∞]	p4m, (*442), [4,4]	p6m, (*632), [6,3]
retícula rómbicatambién centrada retícula rectangularisósceles triangular	celosía cuadradarecta isósceles triangular	celosía hexagonal(retícula triangular equilátera)
pmm, *2222, [∞,2,∞]	p2, 2222, [∞,2,∞]	p3m1, (*333), [3 ]
celosía rectangulartambién centrada celosía rómbicatriángulo rectángulo	retícula paralelogrammicatambién retícula oblicuaescaleno triangular	retícula triangular equilátera(retícula hexagonal)

Para la clasificación de una red dada, comience con un punto y tome el segundo punto más cercano. Para el tercer punto, que no está en la misma línea, considere sus distancias a ambos puntos. Entre los puntos para los cuales la menor de estas dos distancias sea menor, elija un punto para el cual la mayor de las dos sea menor. (No es lógicamente equivalente, pero en el caso de celosías que dan el mismo resultado es simplemente "Elija un punto para el cual el mayor de los dos sea menor").

Los cinco casos corresponden a que el triángulo es equilátero, recto isósceles, recto, isósceles y escaleno. En una red rómbica, la distancia más corta puede ser una diagonal o un lado del rombo, es decir, el segmento de línea que conecta los dos primeros puntos puede ser o no uno de los lados iguales del triángulo isósceles. Esto depende de que el ángulo más pequeño del rombo sea menor de 60° o entre 60° y 90°.

El caso general se conoce como celosía de período. Si los vectores p y q generan la red, en lugar de p y q también podemos tomar p y p - q, etc. En general en 2D, podemos tomar a p + b q y c p + d q para los enteros a, b, c y d tales que ad-bc es 1 o -1. Esto asegura que p y qellos mismos son combinaciones lineales enteras de los otros dos vectores. Cada par p, q define un paralelogramo, todos con la misma área, la magnitud del producto vectorial. Un paralelogramo define completamente todo el objeto. Sin más simetría, este paralelogramo es un paralelogramo fundamental.

Los vectores p y q se pueden representar mediante números complejos. Hasta el tamaño y la orientación, un par se puede representar por su cociente. Expresado geométricamente: si dos puntos de la red son 0 y 1, consideramos la posición de un tercer punto de la red. La equivalencia en el sentido de generar la misma red está representada por el grupo modular: $T: zmapas a z+1$ representa elegir un tercer punto diferente en la misma red, $S: zmapsto -1/z$ representa elegir un lado diferente del triángulo como lado de referencia 0-1, lo que en general implica cambiar la escala de la red y rotarla. Cada "triángulo curvo" en la imagen contiene para cada forma de celosía 2D un número complejo, el área gris es una representación canónica, correspondiente a la clasificación anterior, con 0 y 1, dos puntos de celosía más cercanos entre sí; la duplicación se evita al incluir solo la mitad del límite. Las redes rómbicas están representadas por los puntos en su límite, con la red hexagonal como vértice, y yo para la red cuadrada. Los retículos rectangulares están en el eje imaginario, y el área restante representa los retículos paralelograméticos, con la imagen especular de un paralelogramo representada por la imagen especular en el eje imaginario.

Retículas en tres dimensiones

Los 14 tipos de celosías en 3D se denominan celosías de Bravais. Se caracterizan por su grupo espacial. Los patrones 3D con simetría traslacional de un tipo particular no pueden tener más, pero pueden tener menos simetría que la propia red.

Retículas en espacio complejo

Una red $mathbb {C} ^{n}$ es un subgrupo discreto del $mathbb {C} ^{n}$ cual se extiende ${matemáticas C}^{n}$ como un espacio vectorial real. Como la dimensión de ${matemáticas C}^{n}$ un espacio vectorial real es igual a $2n$ , una red en $mathbb {C} ^{n}$ será un grupo abeliano libre de rango $2n$ .

Por ejemplo, los enteros gaussianos ${displaystyle mathbb {Z} [i]=mathbb {Z} +imathbb {Z} }$ forman una red en ${displaystyle mathbb {C} =mathbb {C} ^{1}}$ , como ${ estilo de visualización (1, yo)}$ base de $matemáticas {C}$ sobre $matemáticas {R}$ .

En grupos de mentira

De manera más general, una red Γ en un grupo de Lie G es un subgrupo discreto, tal que el cociente G / Γ es de medida finita, ya que la medida en él heredada de la medida de Haar en G (invariante por la izquierda o invariante por la derecha, la definición es independiente de esa elección). Eso será ciertamente el caso cuando G /Γ sea compacto, pero esa condición suficiente no es necesaria, como lo muestra el caso del grupo modular en SL ₂ (R), que es un retículo pero donde el cociente no es compacto (tiene cúspides). Hay resultados generales que indican la existencia de redes en grupos de Lie.

Se dice que una red es uniforme o cocompacta si G /Γ es compacta; de lo contrario, la red se llama no uniforme.

Retículas en espacios vectoriales generales

Si bien normalmente consideramos $matemáticas {Z}$ redes en $mathbb{R} ^{n}$ este concepto, se puede generalizar a cualquier espacio vectorial de dimensión finita sobre cualquier campo. Esto puede hacerse de la siguiente manera:

Sea K un campo, sea V un espacio vectorial K n -dimensional, sea una base K para V y sea R un anillo contenido dentro de K. Entonces la red R en V generada por B viene dada por: $B={{mathbf {v}}_{1},ldots,{mathbf {v}}_{n}}$ ${ matemáticas {L}}$ ${displaystyle {mathcal {L}}=left{left.sum _{i=1}^{n}a_{i}mathbf {v} _{i},right|a_{ i}en Rderecha}.}$

En general, diferentes bases B generarán diferentes redes. Sin embargo, si la matriz de transición T entre las bases está en ${ estilo de visualización mathrm {GL} _ {n} (R)}$ - el grupo lineal general de R (en términos simples esto significa que todas las entradas de T están en R y todas las entradas de $T^{-1}$ están en R - lo que equivale a decir que el determinante de T está en $R^{*}$ - el grupo unitario de elementos en R con inversos multiplicativos), entonces los retículos generados por estas bases serán isomorfos ya que T induce un isomorfismo entre los dos retículos.

Casos importantes de tales retículas ocurren en la teoría de números con K un campo p -ádico y R los enteros p -ádicos.

Para un espacio vectorial que también es un espacio de producto interno, la red dual puede describirse concretamente mediante el conjunto ${displaystyle {mathcal {L}}^{*}={mathbf {v} in Vmid langle mathbf {v},mathbf {x} rangle in R,{text { para todos }},mathbf {x} in {mathcal {L}}},}$

o equivalentemente como ${displaystyle {mathcal {L}}^{*}={mathbf {v} in Vmid langle mathbf {v},mathbf {v}_{i}rangle in R, i=1,...,n}.}$

Nociones relacionadas

Un elemento primitivo de una red es un elemento que no es un múltiplo entero positivo de otro elemento de la red.

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