Red espacial

Una red espacial (a veces también grafo geométrico) es un grafo en el que los vértices o aristas son elementos espaciales asociados a objetos geométricos, es decir, los nodos se sitúan en un espacio dotado de una determinada métrica.La realización matemática más simple de una red espacial es una red o un gráfico geométrico aleatorio (ver figura a la derecha), donde los nodos se distribuyen uniformemente al azar sobre un plano bidimensional; un par de nodos están conectados si la distancia euclidiana es menor que un radio de vecindad dado. Las redes de transporte y movilidad, Internet, las redes de telefonía móvil, las redes eléctricas, las redes sociales y de contacto y las redes neuronales biológicas son ejemplos en los que el espacio subyacente es relevante y en los que la topología del gráfico por sí sola no contiene toda la información. Caracterizar y comprender la estructura, la resiliencia y la evolución de las redes espaciales es crucial para muchos campos diferentes, desde el urbanismo hasta la epidemiología.

Ejemplos

Se puede construir una red espacial urbana abstrayendo las intersecciones como nodos y las calles como enlaces, lo que se denomina red de transporte.

Uno podría pensar en el 'mapa espacial' como la imagen negativa del mapa estándar, con el espacio abierto recortado de los edificios o paredes de fondo.

Caracterización de redes espaciales

Los siguientes aspectos son algunas de las características para examinar una red espacial:

• Redes planares

En muchas aplicaciones, como ferrocarriles, carreteras y otras redes de transporte, se supone que la red es plana. Las redes planas forman un grupo importante a partir de las redes espaciales, pero no todas las redes espaciales son planas. De hecho, las redes de pasajeros de las aerolíneas son un ejemplo no plano: muchos grandes aeropuertos del mundo están conectados a través de vuelos directos.

• La forma en que está incrustado en el espacio.

Hay ejemplos de redes que parecen no estar incrustadas "directamente" en el espacio. Las redes sociales, por ejemplo, conectan a las personas a través de relaciones de amistad. Pero en este caso, el espacio interviene en el hecho de que la probabilidad de conexión entre dos individuos suele disminuir con la distancia que los separa.

• Teselado de Voronoi

Una red espacial se puede representar mediante un diagrama de Voronoi, que es una forma de dividir el espacio en varias regiones. El gráfico dual para un diagrama de Voronoi corresponde a la triangulación de Delaunay para el mismo conjunto de puntos. Las teselaciones de Voronoi son interesantes para las redes espaciales en el sentido de que proporcionan un modelo de representación natural con el que se puede comparar una red del mundo real.

• Mezclando espacio y topología

Examinar la topología de los nodos y los bordes en sí es otra forma de caracterizar las redes. A menudo se considera la distribución del grado de los nodos, en cuanto a la estructura de los bordes, es útil encontrar el árbol de expansión mínimo, o la generalización, el árbol de Steiner y el gráfico de vecindad relativa.

Probabilidad y redes espaciales

En el mundo "real", muchos aspectos de las redes no son deterministas: la aleatoriedad juega un papel importante. Por ejemplo, los nuevos enlaces, que representan amistades, en las redes sociales son en cierto modo aleatorios. El modelado de redes espaciales con respecto a las operaciones estocásticas es consecuente. En muchos casos, el proceso espacial de Poisson se usa para aproximar conjuntos de datos de procesos en redes espaciales. Otros aspectos estocásticos de interés son:

• El proceso de la línea de Poisson
• Geometría estocástica: el gráfico de Erdős-Rényi
• Teoría de la percolación

Aproximación desde la teoría de la sintaxis espacial

Otra definición de red espacial se deriva de la teoría de la sintaxis espacial. Puede ser notoriamente difícil decidir cuál debe ser un elemento espacial en espacios complejos que involucran grandes áreas abiertas o muchos caminos interconectados. Los creadores de la sintaxis espacial, Bill Hillier y Julienne Hanson, utilizan líneas axiales y espacios convexos como elementos espaciales. En términos generales, una línea axial es la 'línea de visión y acceso más larga' a través del espacio abierto, y un espacio convexo es el 'polígono convexo máximo' que se puede dibujar en el espacio abierto. Cada uno de estos elementos está definido por la geometría del límite local en diferentes regiones del mapa espacial. La descomposición de un mapa espacial en un conjunto completo de líneas axiales que se cruzan o espacios convexos superpuestos produce el mapa axial o el mapa convexo superpuesto, respectivamente. Existen definiciones algorítmicas de estos mapas, y esto permite que el mapeo de un mapa espacial de forma arbitraria a una red susceptible de graficar matemáticas se lleve a cabo de una manera relativamente bien definida. Los mapas axiales se usan para analizar redes urbanas, donde el sistema generalmente comprende segmentos lineales, mientras que los mapas convexos se usan más a menudo para analizar planos de construcción donde los patrones de espacio a menudo se articulan de manera más convexa, sin embargo, tanto los mapas convexos como los axiales se pueden usar en cualquier situación.

Actualmente, hay un movimiento dentro de la comunidad de sintaxis espacial para integrarse mejor con los sistemas de información geográfica (GIS), y gran parte del software que producen se interconecta con los sistemas GIS disponibles comercialmente.

Historia

Si bien las redes y los gráficos ya fueron durante mucho tiempo objeto de muchos estudios en matemáticas, física, sociología matemática e informática, las redes espaciales también se estudiaron intensamente durante la década de 1970 en geografía cuantitativa. Los objetos de estudio en geografía son, entre otras cosas, ubicaciones, actividades y flujos de individuos, pero también redes que evolucionan en el tiempo y el espacio.La mayoría de los problemas importantes, como la ubicación de los nodos de una red, la evolución de las redes de transporte y su interacción con la población y la densidad de actividad, se abordan en estos estudios anteriores. Por otro lado, muchos puntos importantes aún no están claros, en parte porque en ese momento faltaban conjuntos de datos de redes grandes y capacidades informáticas más grandes. Recientemente, las redes espaciales han sido objeto de estudios en Estadística, para conectar probabilidades y procesos estocásticos con redes en el mundo real.