Red booleana

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Una red booleana consta de un conjunto discreto de variables booleanas, cada una de las cuales tiene asignada una función booleana (posiblemente diferente para cada variable) que toma entradas de un subconjunto de esas variables y una salida que determina el estado de la variable a la que está asignada.. Este conjunto de funciones determina en efecto una topología (conectividad) sobre el conjunto de variables, que luego se convierten en nodos en una red. Usualmente, la dinámica del sistema se toma como una serie de tiempo discreta donde el estado de toda la red en el tiempo t +1 se determina evaluando la función de cada variable sobre el estado de la red en el tiempo t. Esto se puede hacer de forma síncrona o asíncrona.

Las redes booleanas se han utilizado en biología para modelar redes reguladoras. Aunque las redes booleanas son una simplificación cruda de la realidad genética donde los genes no son simples interruptores binarios, existen varios casos en los que transmiten correctamente el patrón correcto de genes expresados y suprimidos. El modelo aparentemente matemático fácil (sincrónico) solo se entendió completamente a mediados de la década de 2000.

Modelo clásico

Una red booleana es un tipo particular de sistema dinámico secuencial, donde el tiempo y los estados son discretos, es decir, tanto el conjunto de variables como el conjunto de estados en la serie de tiempo tienen cada uno una biyección en una serie entera.

Una red booleana aleatoria (RBN) es aquella que se selecciona aleatoriamente del conjunto de todas las redes booleanas posibles de un tamaño particular, N. Entonces se puede estudiar estadísticamente cómo las propiedades esperadas de tales redes dependen de varias propiedades estadísticas del conjunto de todas las redes posibles. Por ejemplo, se puede estudiar cómo cambia el comportamiento de RBN a medida que cambia la conectividad promedio.

Las primeras redes booleanas fueron propuestas por Stuart A. Kauffman en 1969, como modelos aleatorios de redes reguladoras genéticas, pero su comprensión matemática solo comenzó en la década de 2000.

Atractores

Dado que una red booleana tiene solo 2 estados posibles, una trayectoria alcanzará tarde o temprano un estado previamente visitado y, por lo tanto, dado que la dinámica es determinista, la trayectoria caerá en un estado estable o ciclo llamado atractor (aunque en el campo más amplio de los sistemas dinámicos, un ciclo es sólo un atractor si las perturbaciones de él conducen de vuelta a él). Si el atractor tiene un solo estado, se llama atractor de punto, y si el atractor consta de más de un estado, se llama atractor de ciclo. El conjunto de estados que conducen a un atractor se denomina cuenca del atractor. Los estados que ocurren solo al comienzo de las trayectorias (ninguna trayectoria conduce a ellos), se denominanlos estados del jardín del Edén y la dinámica de la red fluyen desde estos estados hacia los atractores. El tiempo que tarda en llegar a un atractor se llama tiempo transitorio.

Con el aumento del poder de la computadora y una mayor comprensión del modelo aparentemente simple, diferentes autores dieron diferentes estimaciones para el número medio y la longitud de los atractores, aquí un breve resumen de las publicaciones clave.

Autor	Año	Longitud media del atractor	Número de atractor medio	comentario
comerciante	1969	$langle Arangle sim {sqrt {N}}$	$langle nu rangle sim {sqrt {N}}$
Bastolla/ Parisi	1998	más rápido que una ley de potencia, $langle Arangle >N^{x}forall x$	más rápido que una ley de potencia, $langle nu rangle >N^{x}forall x$	primeras evidencias numericas
Bilke/Sjunnesson	2002		lineal con el tamaño del sistema, $langle nu rangle sim N$
Socolar/Kauffman	2003		más rápido que lineal, $langle nu rangle >N^{x}$ con $x>1$
Samuelsson/Troein	2003		crecimiento superpolinomial, $langle nu rangle >N^{x}forall x$	prueba matemática
Mihaljev/Drossel	2005	más rápido que una ley de potencia, $langle Arangle >N^{x}forall x$	más rápido que una ley de potencia, $langle nu rangle >N^{x}forall x$

Estabilidad

En la teoría de sistemas dinámicos, la estructura y longitud de los atractores de una red corresponde a la fase dinámica de la red. La estabilidad de las redes booleanas depende de las conexiones de sus nodos. Una red booleana puede exhibir un comportamiento estable, crítico o caótico. Este fenómeno está gobernado por un valor crítico del número promedio de conexiones de los nodos ( ${displaystyle K_{c}}$ ), y puede ser caracterizado por la distancia de Hamming como medida de distancia. En el régimen inestable, la distancia entre dos estados inicialmente cercanos en promedio crece exponencialmente en el tiempo, mientras que en el régimen estable decrece exponencialmente. En esto, con "estados inicialmente cercanos" se quiere decir que la distancia de Hamming es pequeña comparada con el número de nodos ( $norte$ ) en la red.

Para el modelo NK, la red es estable si ${displaystyle K<K_{c}}$ , crítica si ${displaystyle K=K_{c}}$ e inestable si ${displaystyle K>K_{c}}$ .

El estado de un nodo determinado ${ estilo de visualización n_ {i}}$ se actualiza de acuerdo con su tabla de verdad, cuyas salidas se completan aleatoriamente. $Pi}$ denota la probabilidad de asignar una salida de apagado a una serie dada de señales de entrada.

Si ${displaystyle p_{i}=p=const.}$ para cada nodo, la transición entre el rango estable y caótico depende de $pags$ . Según Bernard Derrida e Yves Pomeau, el valor crítico del número medio de conexiones es ${displaystyle K_{c}=1/[2p(1-p)]}$ .

Si $k$ no es constante, y no hay correlación entre los grados de entrada y salida, las condiciones de estabilidad están determinadas por ${displaystyle langle K^{en}rangle }$ La red es estable si ${displaystyle angle K^{in}rangle <K_{c}}$ , crítica si ${displaystyle angle K^{in}rangle =K_{c}}$ e inestable si ${displaystyle angle K^{in}rangle >K_{c}}$ .

Las condiciones de estabilidad son las mismas en el caso de redes con topología libre de escala donde la distribución de grado de entrada y salida es una distribución de ley de potencias: ${displaystyle P(K)proto K^{-gamma}}$ , y ${displaystyle langle K^{in}rangle =langle K^{out}rangle }$ , dado que cada enlace de salida de un nodo es un enlace de entrada a otro.

La sensibilidad muestra la probabilidad de que la salida de la función booleana de un nodo determinado cambie si cambia su entrada. Para redes booleanas aleatorias, ${displaystyle q_{i}=2p_{i}(1-p_{i})}$ . En el caso general, la estabilidad de la red se rige por el mayor valor propio ${ estilo de visualización lambda _ {Q}}$ de la matriz $q$ , donde ${displaystyle Q_{ij}=q_{i}A_{ij}}$ , y $A$ es la matriz de adyacencia de la red. La red es estable si ${ estilo de visualización lambda _ {Q} <1}$ , crítica si ${ estilo de visualización lambda _ {Q} = 1}$ , inestable si ${ estilo de visualización lambda _ {Q}> 1}$ .

Variaciones del modelo

Otras topologías

Un tema es estudiar diferentes topologías gráficas subyacentes.

El caso homogéneo simplemente se refiere a una cuadrícula que es simplemente la reducción al famoso modelo de Ising.
Se pueden elegir topologías sin escala para redes booleanas. Se puede distinguir el caso en el que solo se distribuyó la distribución en grado en la ley de potencia, o solo la distribución fuera de grado o ambas.

Otros esquemas de actualización

Las redes booleanas clásicas (a veces denominadas CRBN, es decir, red booleana aleatoria clásica) se actualizan sincrónicamente. Motivados por el hecho de que los genes no suelen cambiar de estado simultáneamente, se han introducido diferentes alternativas. Una clasificación común es la siguiente:

Las redes booleanas actualizadas asincrónicas deterministas (DRBN) no se actualizan sincrónicamente, pero todavía existe una solución determinista. Un nodo i se actualizará cuando t ≡ Q _i ( mod P _i) donde t es el paso de tiempo.
El caso más general es la actualización estocástica completa (GARBN, redes booleanas aleatorias asíncronas generales). Aquí, uno (o más) nodos se seleccionan en cada paso computacional para ser actualizados.
El modelo de señal del sistema dinámico booleano parcialmente observado (POBDS) difiere de todos los modelos de red booleanos estocásticos y deterministas anteriores al eliminar la suposición de observabilidad directa del vector de estado booleano y permitir la incertidumbre en el proceso de observación, abordando el escenario encontrado en la práctica.
Las redes booleanas autónomas (ABN) se actualizan en tiempo continuo (t es un número real, no un número entero), lo que genera condiciones de carrera y un comportamiento dinámico complejo, como el caos determinista.

Aplicación de Redes Booleanas

Clasificación

La clasificación bayesiana óptima escalable desarrolló una clasificación óptima de trayectorias que tiene en cuenta la posible incertidumbre del modelo y también propuso una clasificación de trayectorias basada en partículas que es altamente escalable para redes grandes con una complejidad mucho menor que la solución óptima.

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