Rectángulo dorado

Un rectángulo dorado con lados ab colocado adyacente a un cuadrado con lados de longitud a produce un rectángulo dorado similar.

En geometría, una rectángulo dorado es un rectángulo cuya longitud lateral está en la relación de oro, 1:1+52{displaystyle 1:{tfrac {1+{sqrt {}} {2}}}} {}}} {}}}}}} {}}}} {}}}} {}}}}} {}} {}}}}}} {}}}} {}}}}} {}}}} {}}}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}, que es 1:φ φ {displaystyle 1:varphi } (la letra griega phi), donde φ φ {displaystyle varphi } es aproximadamente 1.618.

Los rectángulos dorados exhiben una forma especial de autosimilitud: todos los rectángulos creados al agregar o quitar un cuadrado de un extremo también son rectángulos dorados.

Un método para construir un rectángulo dorado. Debido al teorema pitagórico, el diagonal que divide la mitad de un cuadrado equivale al radio de un círculo cuyo punto más exterior es también la esquina de un rectángulo dorado añadido a la plaza.

Construcción

Se puede construir un rectángulo áureo con solo una regla y un compás en cuatro sencillos pasos:

1. Dibuja un cuadrado.
2. Dibuja una línea desde el punto medio de un lado de la plaza a una esquina opuesta.
3. Use esa línea como el radio para dibujar un arco que define la altura del rectángulo.
4. Completa el rectángulo dorado.

Una característica distintiva de esta forma es que cuando se agrega (o elimina) una sección cuadrada, el producto es otro rectángulo dorado, con la misma relación de aspecto que el primero. La adición o eliminación de cuadrados puede repetirse infinitamente, en cuyo caso las esquinas correspondientes de los cuadrados forman una secuencia infinita de puntos en la espiral áurea, la única espiral logarítmica con esta propiedad. Las líneas diagonales trazadas entre los dos primeros órdenes de rectángulos áureos incrustados definirán el punto de intersección de las diagonales de todos los rectángulos áureos incrustados; Clifford A. Pickover se refirió a este punto como "el Ojo de Dios".

Historia

Las proporciones del rectángulo áureo se han observado desde la Tabla de Shamash babilónica (c. 888–855 a. C.), aunque Mario Livio dice que el conocimiento de la proporción áurea es anterior a los antiguos griegos "dudoso".

Según Livio, desde la publicación de la Divinaproporcione de Luca Pacioli en 1509, "la proporción áurea comenzó a estar disponible para los artistas en tratados teóricos que no eran demasiado matemáticos, que realmente podrían usar."

La Villa Stein de 1927 diseñada por Le Corbusier, parte de cuya arquitectura utiliza la proporción áurea, presenta dimensiones que se aproximan mucho a los rectángulos áureos.

Relación con polígonos regulares y poliedros

Construcción de rectángulo medio dorado (triángulo derecho central) de polígonos

Tres rectángulos dorados en un icosahedro

Euclides ofrece una construcción alternativa del rectángulo áureo utilizando tres polígonos circunscritos por círculos congruentes: un decágono regular, un hexágono y un pentágono. Las longitudes respectivas a, b y c de los lados de estos tres polígonos satisfacen la ecuación a² + b² = c², por lo que los segmentos de línea con estas longitudes forman un derecho triángulo (por el inverso del teorema de Pitágoras). La relación entre la longitud de los lados del hexágono y el decágono es la proporción áurea, por lo que este triángulo forma la mitad de un rectángulo áureo.

El casco convexo de dos aristas opuestas de un icosaedro regular forma un rectángulo dorado. Los doce vértices del icosaedro se pueden descomponer de esta manera en tres rectángulos áureos mutuamente perpendiculares, cuyos límites están unidos en el patrón de los anillos borromeos.