Rectángulo
En la geometría del plano euclidiano, una rectángulo es un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos. También se puede definir como: un cuadrilátero equiangular, ya que equiangular significa que todos sus ángulos son iguales (360°/4 = 90°); o un paralelograma que contiene un ángulo recto. Un rectángulo con cuatro lados de igual longitud es un cuadrado. El término "oblong" se utiliza ocasionalmente para referirse a un rectángulo no cuadrado. Un rectángulo con vértices ABCD sería denotado 
ABCD.
La palabra rectángulo proviene del latín rectangulus, que es una combinación de rectus (como adjetivo, derecho, propio) y angulus (ángulo).
Un rectángulo cruzado es un cuadrilátero cruzado (que se corta a sí mismo) que consta de dos lados opuestos de un rectángulo junto con las dos diagonales (por lo tanto, solo dos lados son paralelos). Es un caso especial de un antiparalelogramo, y sus ángulos no son ángulos rectos y no todos iguales, aunque los ángulos opuestos son iguales. Otras geometrías, como la esférica, elíptica e hiperbólica, tienen los llamados rectángulos con lados opuestos de igual longitud y ángulos iguales que no son ángulos rectos.
Los rectángulos están involucrados en muchos problemas de mosaico, como mosaicos del plano por rectángulos o mosaicos de un rectángulo por polígonos.
Caracterizaciones
Un cuadrilátero convexo es un rectángulo si y solo si es cualquiera de los siguientes:
- un paralelograma con al menos un ángulo recto
- un paralelogramo con diagonales de igual longitud
- a paralelograma ABCD donde triángulos ABD y DCA son congruentes
- un cuadrilátero equiangular
- un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos
- un cuadrilátero donde las dos diagonales son iguales de longitud y se bisecan entre sí
- un cuadrilátero convexo con lados sucesivos a, b, c, d cuya zona 14()a+c)()b+d){displaystyle {tfrac {1}{4}(a+c)(b+d)}.
- un cuadrilátero convexo con lados sucesivos a, b, c, d cuya zona 12()a2+c2)()b2+d2).{displaystyle {tfrac {1}{2} {sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2}}}}}}
Clasificación
Jerarquía tradicional
Un rectángulo es un caso especial de un paralelogramo en el que cada par de lados adyacentes es perpendicular.
Un paralelogramo es un caso especial de un trapecio (conocido como trapezoide en América del Norte) en el que ambos pares de lados opuestos son paralelos y de igual longitud.
Un trapecio es un cuadrilátero convexo que tiene al menos un par de lados opuestos paralelos.
Un cuadrilátero convexo es
- Simple: El límite no se cruza.
- En forma de estrella: Todo el interior es visible desde un solo punto, sin cruzar ningún borde.
Jerarquía alternativa
De Villiers define un rectángulo de manera más general como cualquier cuadrilátero con ejes de simetría a través de cada par de lados opuestos. Esta definición incluye tanto rectángulos en ángulo recto como rectángulos cruzados. Cada uno tiene un eje de simetría paralelo y equidistante de un par de lados opuestos, y otro que es la mediatriz de esos lados, pero, en el caso del rectángulo cruzado, el primer eje no es un eje de simetría para ninguno de los lados. que biseca.
Los cuadriláteros con dos ejes de simetría, cada uno a través de un par de lados opuestos, pertenecen a la clase más grande de cuadriláteros con al menos un eje de simetría a través de un par de lados opuestos. Estos cuadriláteros comprenden trapecio isósceles y trapecio isósceles cruzado (cuadriláteros cruzados con la misma disposición de vértices que el trapecio isósceles).
Propiedades
Simetría
Un rectángulo es cíclico: todas las esquinas se encuentran en un solo círculo.
Es equiángulo: todos los ángulos de sus esquinas son iguales (cada uno de 90 grados).
Es isogonal o de vértice transitivo: todas las esquinas se encuentran dentro de la misma órbita de simetría.
Tiene dos líneas de simetría reflexiva y simetría rotacional de orden 2 (hasta 180°).
Dualidad rectángulo-rombo
El polígono dual de un rectángulo es un rombo, como se muestra en la siguiente tabla.
| Rectángulo | Rhombus |
|---|---|
| Todos ángulos son iguales. | Todos laterales son iguales. |
| Suplente laterales son iguales. | Suplente ángulos son iguales. |
| Su centro está equipado de su vertices, por lo tanto tiene un circumcircle. | Su centro está equipado de su laterales, por lo tanto tiene un incircle. |
| Dos ejes de bisecto de simetría opuesto laterales. | Dos ejes de bisecto de simetría opuesto ángulos. |
| Las diagonales son iguales en longitud. | Las diagonales se intersectan igual ángulos. |
- La figura formada por unir, en orden, los puntos intermedios de los lados de un rectángulo es un rombo y viceversa.
Varios
Un rectángulo es un polígono rectilíneo: sus lados se encuentran en ángulo recto.
Un rectángulo en el plano se puede definir mediante cinco grados de libertad independientes que constan, por ejemplo, de tres para la posición (dos de traslación y uno de rotación), uno para la forma (relación de aspecto) y uno para el tamaño total. (área).
Se dice que dos rectángulos, ninguno de los cuales cabe dentro del otro, son incomparables.
Fórmulas
Si un rectángulo tiene longitud l l {displaystyle ell } ancho w{displaystyle w}
- tiene área A=l l w{displaystyle A=ell w,},
- tiene perímetro P=2l l +2w=2()l l +w){displaystyle P=2ell +2w=2(ell +w),},
- cada diagonal tiene longitud d=l l 2+w2{displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################.,
- y cuándo l l =w{displaystyle ell =w,}, el rectángulo es un cuadrado.
Teoremas
El teorema isoperimétrico para rectángulos establece que entre todos los rectángulos de un perímetro dado, el cuadrado tiene el área más grande.
Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero con diagonales perpendiculares forman un rectángulo.
Un paralelogramo con diagonales iguales es un rectángulo.
El teorema japonés para los cuadriláteros cíclicos establece que los incentros de los cuatro triángulos determinados por los vértices de un cuadrilátero cíclico tomados de tres en tres forman un rectángulo.
El teorema de la bandera británica establece que con vértices denotados A, B, C y D, para cualquier punto P en el mismo plano de un rectángulo:
- ()AP)2+()CP)2=()BP)2+()DP)2.{displaystyle displaystyle (AP)^{2}+(CP)^{2}=(BP)^{2}+(DP)^{2}
Para cada cuerpo convexo C en el plano, podemos inscribir un rectángulo r dentro C tal que una copia homotética R de r se circunscribe sobre C y la relación homoteca positiva es a la mayoría de 2 y 0.5× Zona()R)≤ ≤ Zona()C)≤ ≤ 2× Zona()r){displaystyle 0.5{text{ × Area}(R)leq {text{Area}(C)leq 2{text{ × Area}(r)}.
Rectángulos cruzados
Un cuadrilátero cruzado (que se interseca a sí mismo) consiste en dos lados opuestos de un cuadrilátero que no se interseca a sí mismo junto con las dos diagonales. De manera similar, un rectángulo cruzado es un cuadrilátero cruzado que consta de dos lados opuestos de un rectángulo junto con las dos diagonales. Tiene la misma disposición de vértices que el rectángulo. Aparece como dos triángulos idénticos con un vértice común, pero la intersección geométrica no se considera un vértice.
Un cuadrilátero cruzado a veces se compara con una pajarita o una mariposa, a veces se le llama "ocho angular". Un marco de alambre rectangular tridimensional que se retuerce puede tomar la forma de una pajarita.
El interior de un rectángulo cruzado puede tener una densidad de polígono de ±1 en cada triángulo, dependiendo de la orientación del devanado en sentido horario o antihorario.
Un rectángulo cruzado puede considerarse equiángulo si se permiten giros a la derecha ya la izquierda. Como con cualquier cuadrilátero cruzado, la suma de sus ángulos interiores es 720°, lo que permite que los ángulos internos aparezcan en el exterior y superen los 180°.
Un rectángulo y un rectángulo cruzado son cuadriláteros con las siguientes propiedades en común:
- Los lados opuestos son iguales en longitud.
- Las dos diagonales son iguales de longitud.
- Tiene dos líneas de simetría reflexiva y simetría rotacional del orden 2 (a través de 180°).
Otros rectángulos
En geometría esférica, un rectángulo esférico es una figura cuyas cuatro aristas son arcos de círculo máximo que se encuentran en ángulos iguales mayores de 90°. Los arcos opuestos tienen la misma longitud. La superficie de una esfera en geometría sólida euclidiana es una superficie no euclidiana en el sentido de geometría elíptica. La geometría esférica es la forma más simple de geometría elíptica.
En geometría elíptica, un rectángulo elíptico es una figura en el plano elíptico cuyas cuatro aristas son arcos elípticos que se encuentran en ángulos iguales mayores de 90°. Los arcos opuestos tienen la misma longitud.
En geometría hiperbólica, un rectángulo hiperbólico es una figura en el plano hiperbólico cuyas cuatro aristas son arcos hiperbólicos que se encuentran en ángulos iguales menores de 90°. Los arcos opuestos tienen la misma longitud.
Teselaciones
El rectángulo se usa en muchos patrones de mosaicos periódicos, en albañilería, por ejemplo, estos mosaicos:
 Bono apilado |  Corrección |  Tejido de cesta |  Tejido de cesta |  Patrón Herringbone |
Rángulos cuadrados, perfectos y otros mosaicos
Se dice que un rectángulo formado por cuadrados, rectángulos o triángulos es "cuadrado", "rectangular" o "triangulado". (o "triángulo") rectángulo respectivamente. El rectángulo en mosaico es perfecto si los mosaicos son similares y en número finito y no hay dos mosaicos del mismo tamaño. Si dos mosaicos de este tipo tienen el mismo tamaño, el mosaico es imperfecto. En un rectángulo triangular perfecto (o imperfecto), los triángulos deben ser triángulos rectángulos. Se puede encontrar una base de datos de todos los rectángulos perfectos conocidos, cuadrados perfectos y formas relacionadas en squaring.net. El número más bajo de cuadrados necesarios para un mosaico perfecto de un rectángulo es 9 y el número más bajo necesario para un mosaico perfecto de un cuadrado es 21, encontrado en 1978 mediante una búsqueda por computadora.
Un rectángulo tiene lados conmensurables si y solo si es enlosable por un número finito de cuadrados desiguales. Lo mismo es cierto si las fichas son triángulos rectángulos isósceles desiguales.
Las teselaciones de rectángulos por otras teselas que más han llamado la atención son las de poliominós no rectangulares congruentes, permitiendo todas las rotaciones y reflexiones. También hay teselaciones por poliabolos congruentes.
Unicódigo
U+25AC ▬ BLACK RECTANGLE U+25AD ▭ WHITE RECTANGLE U+25AE ▮ BLACK VERTICAL RECTANGLE U+25AF ▯ WHITE VERTICAL RECTANGLE