Recta de números reales extendida

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Números reales con + voluntarias y −

En matemáticas, la affinely extended real number system se obtiene del sistema de números reales $mathbb {R}$ añadiendo dos elementos de infinito: $+infty$ y ${displaystyle -infty}$ donde los infinitos se tratan como números reales. Es útil describir el álgebra sobre las infinidades y los diversos comportamientos limitantes en cálculo y análisis matemático, especialmente en la teoría de la medida y la integración. El sistema de números reales afinalmente extendido es denotado ${displaystyle {overline {mathbb {R} }}}$ o $[-infty, +infty]$ o ${displaystyle mathbb {R} cup left{-infty+infty right}.}$ Es la terminación Dedekind-MacNeille de los números reales.

Cuando el significado está claro desde el contexto, el símbolo $+infty$ a menudo se escribe simplemente como $infty.$

También hay una línea real proyectada donde $+infty$ y $-infty$ no se distinguen por lo que el infinito es denotado por $infty$ .

Motivación

Límites

A menudo es útil describir el comportamiento de una función $f$ como o bien el argumento $x$ o el valor de la función $f$ se pone "infinitamente grande" en algún sentido. Por ejemplo, considere la función $f$ definidas por

{displaystyle f(x)={frac {1}{x^{2}}}.}

El gráfico de esta función tiene un asintoto horizontal en ${displaystyle y=0.}$ Geométricamente, cuando se mueve cada vez más hacia la derecha a lo largo de la $x$ -eje, el valor de ${textstyle {1}/{x^{2}}}$ enfoques $0$ . Este comportamiento limitante es similar al límite de una función ${textstyle lim _{xto x_{0}}f(x)}$ en el que el número real $x$ enfoques $x_0,$ excepto que no hay un número real al cual $x$ enfoques.

Al juntar los elementos $+infty$ y $-infty$ a ${displaystyle mathbb {R}}$ permite una formulación de un "limit at infinity", con propiedades topológicas similares a las para ${displaystyle mathbb {R}.}$

Para hacer las cosas completamente formales, la definición de secuencias Cauchy $mathbb {R}$ permite definir $+infty$ como el conjunto de todas las secuencias $(a_{n})$ de números racionales tales que cada ${displaystyle Min mathbb {R} }$ se asocia con un correspondiente $N in N$ para la cual $M}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">an■M{displaystyle a_{n} {fn}} {fn}}}} {fnK}}M}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8acfce8e35184d9a57e4ccb39436f03726ad747e" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.989ex; height:2.509ex;"/>$ para todos $N.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■N.{displaystyle n confiadoN.}N.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b1d0e94205907e28dc6b5cf8d8b6cb35e6c3d76" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.204ex; height:2.176ex;"/>$ La definición de $-infty$ se puede construir de forma similar.

Medida e integración

En la teoría de la medida, a menudo es útil permitir conjuntos que tienen una medida infinita e integrales cuyo valor puede ser infinito.

Estas medidas surgen naturalmente del cálculo. Por ejemplo, al asignar una medida a $mathbb {R}$ que está de acuerdo con la longitud habitual de intervalos, esta medida debe ser mayor que cualquier número real finito. Además, al considerar las integrales inadecuadas, como

int_1^{infty}frac{dx}{x}

el valor "infinito" surge Finalmente, a menudo es útil considerar el límite de una secuencia de funciones, como

<math alttext="{displaystyle f_{n}(x)={begin{cases}2n(1-nx),&{mbox{if }}0leq xleq {frac {1}{n}}\0,&{mbox{if }}{frac {1}{n}}fn()x)={}2n()1− − nx),si0≤ ≤ x≤ ≤ 1n0,si1n.x≤ ≤ 1{displaystyle f_{n}(x)={begin{cases}2n(1-nx), reducida{mbox{if }0leq xleq {frac {1}}, limitándose {mbox{if}{frac}{frac {1}{n} Seguido<img alt="{displaystyle f_{n}(x)={begin{cases}2n(1-nx),&{mbox{if }}0leq xleq {frac {1}{n}}\0,&{mbox{if }}{frac {1}{n}}

Sin permitir que las funciones tomen valores infinitos, resultados tan esenciales como el teorema de la convergencia monótona y el teorema de la convergencia dominada no tendrían sentido.

Orden y propiedades topológicas

El sistema de números reales afinalmente extendido ${displaystyle {overline {mathbb {R} }}}$ , definido como $[-infty, +infty]$ o ${displaystyle mathbb {R} cup left{-infty+infty right}}$ , se puede convertir en un conjunto totalmente ordenado definiendo ${displaystyle -infty leq aleq +infty }$ para todos ${displaystyle ain {overline {mathbb {R} }}.}$ Con este pedido topología, ${displaystyle {overline {mathbb {R} }}}$ tiene la propiedad deseable de compactidad: Cada subconjunto de ${displaystyle {overline {mathbb {R} }}}$ tiene un supremum y un infimum (el infimum del conjunto vacío es $+infty$ , y su supremum es $-infty$ ). Además, con esta topología, ${displaystyle {overline {mathbb {R} }}}$ es homeomorfa al intervalo de unidad ${displaystyle [0,1].}$ Así, la topología es metrizable, correspondiente (para un homeomorfismo dado) a la métrica ordinaria en este intervalo. No hay métrica, sin embargo, que es una extensión de la métrica ordinaria en ${displaystyle mathbb {R}.}$

En esta topología, un conjunto $U$ es un barrio $+infty$ si y sólo si contiene un conjunto $a}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">{}x:x■a}{displaystyle {x:x confíaa}}a}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a893288afd549058008254324e37b62ca5697a18" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.25ex; height:2.843ex;"/>$ para algún número real $a.$ La noción del barrio $-infty$ se puede definir de forma similar. Usando esta caracterización de barrios de gran extensión, límites con $x$ tendiendo a $+infty$ o $-infty$ , y límites "igual" a $+infty$ y $-infty$ , reducir a la definición topológica general de límites, en lugar de tener una definición especial en el sistema de números reales.

Operaciones aritméticas

Las operaciones aritméticas $mathbb {R}$ se puede ampliar parcialmente ${displaystyle {overline {mathbb {R} }}}$ como sigue:

{displaystyle {begin{aligned}a+infty =+infty +a&=+infty&a&neq -infty \a-infty =-infty +a&=-infty&a&neq +infty \acdot (pm infty)=pm infty cdot a&=pm infty&a&in (0,+infty ]\acdot (pm infty)=pm infty cdot a&=mp infty&a&in [-infty0)\{frac {a}{pm infty }}&=0,&a&in mathbb {R} \{frac {pm infty }{a}}&=pm infty&a&in (0,+infty)\{frac {pm infty }{a}}&=mp infty&a&in (-infty0)end{aligned}}}

Para la exponenciación, vea Exponentiation § Límites de poderes. Aquí, $a + infty$ significa que ambos $a + (+infty)$ y ${displaystyle a-(-infty),}$ mientras $a - infty$ significa que ambos $a - (+infty)$ y ${displaystyle a+(-infty).}$

Las expresiones $infty - infty, 0 times (pminfty)$ y $pminfty/pminfty$ (llamadas formas indeterminadas) generalmente quedan indefinidas. Estas reglas son modeladas en las leyes para límites infinitos. Sin embargo, en el contexto de la teoría de probabilidad o medida, $0 times pminfty$ a menudo se define como ${displaystyle 0.}$

Al tratar con números reales positivos y negativos, la expresión $1/0$ generalmente se deja sin definir, porque, aunque es cierto que para cada secuencia no cero real $f$ que converge en ${displaystyle 0,}$ la secuencia recíproca $1/f$ es eventualmente contenido en cada barrio de ${displaystyle {infty-infty },}$ Lo es no verdadero que la secuencia $1/f$ debe converger en sí mismo $-infty$ o $infty.$ Dijo otra manera, si una función continua $f$ alcanza un cero a un valor determinado $x_0,$ entonces no necesita ser el caso de que $1/f$ tiende a o $-infty$ o $infty$ en el límite como $x$ tiende a $x_{0}.$ Este es el caso de los límites de la función de identidad $f(x)=x$ cuando $x$ tiende a ${displaystyle 0,}$ y de ${displaystyle f(x)=x^{2}sin left(1/xright)}$ (para esta última función, tampoco $-infty$ ni $infty$ es un límite ${displaystyle 1/f(x),}$ incluso si sólo valores positivos $x$ se consideran).

Sin embargo, en contextos en los que sólo se consideran valores no negativos, a menudo es conveniente definir ${displaystyle 1/0=+infty.}$ Por ejemplo, cuando se trabaja con la serie de energía, el radio de convergencia de una serie de potencia con coeficientes $a_{n}$ a menudo se define como el recíproco del límite-suminio de la secuencia ${displaystyle left(|a_{n}|^{1/n}right)}$ . Así, si uno permite $1/0$ to take the value ${displaystyle +infty}$ entonces se puede utilizar esta fórmula independientemente de si el límite-sustitutivo es $0$ o no.

Propiedades algebraicas

Con estas definiciones, ${displaystyle {overline {mathbb {R} }}}$ ni siquiera es un semigrupo, ni mucho menos un grupo, un anillo o un campo como en el caso de ${displaystyle mathbb {R}.}$ Sin embargo, tiene varias propiedades convenientes:

$a + (b + c)$ y $(a + b) + c$ son iguales o ambos indefinidos.
$a+b$ y $b + a$ son iguales o ambos indefinidos.
$acdot (bcdot c)$ y $(acdot b)cdot c$ son iguales o ambos indefinidos.
$acdot b$ y $bcdot a$ son iguales o ambos no definidos
${displaystyle acdot (b+c)}$ y ${displaystyle (acdot b)+(acdot c)}$ son iguales si ambos están definidos.
Si $aleq b$ y si ambos $a + c$ y $b+c$ son definidos, entonces ${displaystyle a+cleq b+c.}$
Si $aleq b$ y $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">c■0{displaystyle c]0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba126f626d61752f62eaacaf11761a54de4dc84" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.268ex; height:2.176ex;"/>$ y si ambos ${displaystyle acdot c}$ y ${displaystyle bcdot c}$ son definidos, entonces ${displaystyle acdot cleq bcdot c.}$

En general, todas las leyes aritméticas son válidas ${displaystyle {overline {mathbb {R} }}}$ - siempre y cuando se definan todas las expresiones.

Varios

Varias funciones pueden ampliarse continuamente ${displaystyle {overline {mathbb {R} }}}$ tomando límites. Por ejemplo, se pueden definir los puntos extremos de las siguientes funciones como:

{displaystyle exp(-infty)=0,}

{displaystyle ln(0)=-infty}

{displaystyle tanh(pm infty)=pm 1,}

{displaystyle arctan(pm infty)=pm {frac {pi }{2}}.}

Además, algunas singularidades pueden eliminarse. Por ejemplo, la función $1/x^{2}$ se puede ampliar continuamente ${displaystyle {overline {mathbb {R} }}}$ (bajo algunos definiciones de continuidad), estableciendo el valor a $+infty$ para ${displaystyle x=0,}$ y $0$ para $x = +infty$ y ${displaystyle x=-infty.}$ Por otro lado, la función $1/x$ puedeno ser extendido continuamente, porque la función se acerca $-infty$ como $x$ enfoques $0$ de abajo, y $+infty$ como $x$ enfoques $0$ desde arriba, es decir, la función no converge al mismo valor que su variable independiente que se acerca al mismo elemento de dominio tanto de los lados de valor positivo como negativo.

Un sistema similar pero diferente en línea real, la línea real proyectada, no distingue entre $+infty$ y $-infty$ (es decir, el infinito no se firma). Como resultado, una función puede tener límite $infty$ en la línea real prorrogada proyectivamente, mientras que en el sistema de números reales afinalmente ampliado sólo el valor absoluto de la función tiene un límite, por ejemplo en el caso de la función $1/x$ a $x=0.$ Por otro lado, en la línea real proyectada, $lim_{x to -infty}{f(x)}$ y $lim_{x to +infty}{f(x)}$ corresponde a sólo un límite de la derecha y uno de la izquierda, respectivamente, con el límite completo sólo existente cuando los dos son iguales. Así pues, las funciones $e^{x}$ y $arctan(x)$ no se puede hacer continuo $x = infty$ en la línea real proyectada.