Reciprocidad cuadrática

Gauss publicó la primera y segunda prueba de la ley de reciprocidad cuadrática en las artes 125-146 y 262 de Disquisición Arithmeticae en 1801.

En teoría de números, la ley de reciprocidad cuadrática es un teorema sobre aritmética modular que da condiciones para la resolución de ecuaciones cuadráticas módulo números primos. Debido a su sutileza, tiene muchas formulaciones, pero la declaración más estándar es:

Esta ley, junto con sus suplementos, permite el fácil cálculo de cualquier símbolo Legendre, haciendo posible determinar si hay una solución entero para cualquier ecuación cuadrática de la forma ${displaystyle x^{2}equiv a{bmod {p}}$ para una prima extraña ${displaystyle p}$; es decir, para determinar el modulo de "plazas perfectas" ${displaystyle p}$. Sin embargo, este es un resultado no constructivo: no da ninguna ayuda para encontrar un específico solución; para ello, se requieren otros métodos. Por ejemplo, en el caso ${displaystyle pequiv 3{bmod {4}}$ usando el criterio de Euler uno puede dar una fórmula explícita para el modulo de "raíces cuadradas" ${displaystyle p}$ de un residuo cuadrático ${displaystyle a}$, a saber:

${displaystyle pm a^{frac {p+1}{4}}$

de hecho,

${displaystyle left(pm a^{frac {p+1}{4}right)}{2}=a^{frac} {p+1}{2}=acdot a^{frac} {p-1}{2}equiv aleft({frac {p}right)=a{bmod {p}}$

Esta fórmula sólo funciona si se sabe de antemano que ${displaystyle a}$ es un residuo cuadrático, que se puede comprobar utilizando la ley de reciprocidad cuadrática.

El teorema de la reciprocidad cuadrática fue conjeturado por Euler y Legendre y demostrado por primera vez por Gauss, quien se refirió a él como el "teorema fundamental" en sus Disquisitiones Arithmeticae y sus artículos, escribiendo

El teorema fundamental debe ciertamente ser considerado como uno de los más elegantes de su tipo. (Art. 151)

En privado, Gauss se refirió a él como el "teorema de oro". Publicó seis pruebas y se encontraron dos más en sus artículos póstumos. Ahora hay más de 240 pruebas publicadas. La demostración más breve conocida se incluye a continuación, junto con demostraciones breves de los suplementos de la ley (los símbolos de Legendre de −1 y 2).

La generalización de la ley de reciprocidad a poderes superiores ha sido un problema principal en matemáticas y ha sido crucial para el desarrollo de gran parte de la maquinaria del álgebra moderna, la teoría de números y la geometría algebraica, que culminó en la reciprocidad de Artin, la teoría del campo de clases, y el programa Langlands.

Ejemplos motivadores

La reciprocidad cuadrática surge de ciertos patrones de factorización sutiles que involucran números cuadrados perfectos. En esta sección, damos ejemplos que conducen al caso general.

Factorizar n2 − 5

Considerar el polinomio ${displaystyle f(n)=n^{2}-5}$ y sus valores ${displaystyle nin mathbb {N}$ Las principales factorizaciones de estos valores son las siguientes:

n	${displaystyle f(n)}$			n	${displaystyle f(n)}$			n	${displaystyle f(n)}$
1	−4	−22		16	251	251		31	956	22⋅239
2	−1	−1		17	284	22⋅71		32	1019	1019
3	4	22		18	319	11⋅29		33	1084	22⋅271
4	11	11		19	356	22⋅89		34	1151	1151
5	20	22⋅5		20	395	5⋅79		35	1220	22⋅5⋅61
6	31	31		21	436	22⋅109		36	1291	1291
7	44	22⋅11		22	479	479		37	1364	22⋅11⋅31
8	59	59		23	524	22⋅131		38	1439	1439
9	76	22⋅19		24	571	571		39	1516	22⋅379
10	95	5⋅19		25	620	22⋅5⋅31		40	1595	5⋅11⋅29
11	116	22⋅29		26	671	11⋅61		41	1676	22⋅419
12	139	139		27	724	22⋅181		42	1759	1759
13	164	22⋅41		28	779	19⋅41		43	1844	22⋅461
14	191	191		29	836	22⋅11⋅19		44	1931	1931
15	220	22⋅5⋅11		30	895	5⋅179		45	2020	22⋅5⋅101

Los principales factores ${displaystyle p}$ división ${displaystyle f(n)}$ son ${displaystyle p=2,5}$, y cada primo cuyo dígito final es ${displaystyle 1}$ o ${displaystyle 9}$; ningún primo terminando en ${displaystyle 3}$ o ${displaystyle 7}$ Nunca aparece. Ahora, ${displaystyle p}$ es un factor primario de algunos ${displaystyle n^{2}-5}$ siempre ${displaystyle n^{2}-5equiv 0{bmod {p}}$, es decir, cada vez que ${displaystyle n^{2}equiv 5{bmod {p}}$ es decir, cuando 5 es un modulo de residuos cuadráticos ${displaystyle p}$. Esto pasa por ${displaystyle p=2,5}$ y esos primos con ${displaystyle pequiv 1,4{bmod {5}}$ y los últimos números ${displaystyle 1=(pm 1)^{2}$ y ${displaystyle 4=(pm 2)^{2}$ son precisamente el modulo de residuos cuadráticos ${displaystyle 5}$. Por lo tanto, excepto para ${displaystyle p=2,5}$, tenemos eso ${displaystyle 5}$ es un modulo de residuos cuadráticos ${displaystyle p}$ Sip ${displaystyle p}$ es un modulo de residuos cuadráticos ${displaystyle 5}$.

La ley de la reciprocidad cuadrática da una caracterización similar de los primitivos divisores de ${displaystyle f(n)=n^{2}-q}$ para cualquier primo q, que conduce a una caracterización para cualquier entero ${displaystyle q}$.

Patrones entre residuos cuadráticos

Sea p un primo impar. Un número módulo p es un residuo cuadrático siempre que sea congruente con un cuadrado (mod p); de lo contrario, es un no residuo cuadrático. ("Cuadrático" puede eliminarse si está claro por el contexto). Aquí excluimos el cero como un caso especial. Entonces, como consecuencia del hecho de que el grupo multiplicativo de un cuerpo finito de orden p es cíclico de orden p-1, se cumplen las siguientes proposiciones:

• Hay un número igual de residuos cuadráticos y no residuos; y
• El producto de dos residuos cuadráticos es un residuo, el producto de un residuo y un no residual es un no residual, y el producto de dos no residuos es un residuo.

Para evitar dudas, estas afirmaciones no se cumplen si el módulo no es primo. Por ejemplo, solo hay 3 residuos cuadráticos (1, 4 y 9) en el grupo multiplicativo módulo 15. Además, aunque 7 y 8 son no residuos cuadráticos, su producto 7x8 = 11 también es un no residuo cuadrático, en contraste con el caso primo.

Los residuos cuadráticos son entradas en la siguiente tabla:

Esta tabla está completa para primos impares menores que 50. Para verificar si un número m es un residuo cuadrático mod uno de estos primos p, encuentre a ≡ m (modificación p) y 0 ≤ a < p. Si a está en la fila p, entonces m es un residuo (mod p); si a no está en la fila p de la tabla, entonces m no es un residuo (mod p).

La ley de reciprocidad cuadrática es la afirmación de que ciertos patrones que se encuentran en la tabla son verdaderos en general.

Versión de Legendre

Otra forma de organizar los datos es ver qué números primos son residuos y cuáles otros números primos, como se ilustra en la siguiente tabla. La entrada en la fila p columna q es R si q es un residuo cuadrático (mod p< /i>); si no es un residuo, la entrada es N.

Si la fila, la columna o ambas son ≡ 1 (mod 4), la entrada es azul o verde; si tanto la fila como la columna son ≡ 3 (mod 4), es amarillo o naranja.

Las entradas azul y verde son simétricas alrededor de la diagonal: la entrada para la fila p, columna q es R (resp N) si y solo si la entrada en la fila q, columna p, es R (resp N).

Los amarillos y naranjas, por otro lado, son antisimétricos: La entrada para la fila p, columna q es R (resp. N) si y solo si la entrada en la fila q, columna p, es N (resp R).

La ley de reciprocidad establece que estos patrones se cumplen para todos los p y q.

Suplementos a la reciprocidad cuadrática

Los complementos aportan soluciones a casos concretos de reciprocidad cuadrática. A menudo se citan como resultados parciales, sin tener que recurrir al teorema completo.

Q = ±1 y el primer suplemento

Trivialmente 1 es un residuo cuadrático para todos los números primos. La pregunta se vuelve más interesante para −1. Examinando la tabla, encontramos −1 en las filas 5, 13, 17, 29, 37 y 41 pero no en las filas 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43 o 47. El primer conjunto de primos son todos congruentes a 1 módulo 4, y estos últimos son congruentes a 3 módulo 4.

Primer Suplemento Cuadrático Reciprocidad. La congruencia ${displaystyle x^{2}equiv -1{bmod {p}}$ es solvable si y sólo si ${displaystyle p}$ es congruente con 1 modulo 4.

Q = ±2 y el segundo suplemento

Examinando la tabla, encontramos 2 en las filas 7, 17, 23, 31, 41 y 47, pero no en las filas 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37 o 43. Los primos anteriores son todos ≡ ±1 (mod 8), y los últimos son todos ≡ ±3 (mod 8). Esto lleva a

Segundo Suplemento a la Reciprocidad Cuadrática. La congruencia ${displaystyle x^{2}equiv 2{bmod {p}}$ es solvable si y sólo si ${displaystyle p}$ es congruente con ±1 modulo 8.

−2 está en las filas 3, 11, 17, 19, 41, 43, pero no en las filas 5, 7, 13, 23, 29, 31, 37 o 47. Las primeras son ≡ 1 o ≡ 3 (mod 8), y estos últimos son ≡ 5, 7 (mod 8).

Q = ±3

3 está en las filas 11, 13, 23, 37 y 47, pero no en las filas 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41 o 43. Las primeras son ≡ ±1 (mod 12) y estos últimos son todos ≡ ±5 (mod 12).

−3 está en las filas 7, 13, 19, 31, 37 y 43 pero no en las filas 5, 11, 17, 23, 29, 41 o 47. Las primeras son ≡ 1 (mod 3) y las último ≡ 2 (mod 3).

Dado que el único residuo (mod 3) es 1, vemos que −3 es un residuo cuadrático módulo cada número primo que es un residuo módulo 3.

Q = ±5

5 está en las filas 11, 19, 29, 31 y 41 pero no en las filas 3, 7, 13, 17, 23, 37, 43 o 47. Las primeras son ≡ ±1 (mod 5) y las últimos son ≡ ±2 (mod 5).

Dado que los únicos residuos (mod 5) son ±1, vemos que 5 es un residuo cuadrático módulo cada número primo que es un residuo módulo 5.

−5 está en las filas 3, 7, 23, 29, 41, 43 y 47 pero no en las filas 11, 13, 17, 19, 31 o 37. Las primeras son ≡ 1, 3, 7, 9 (mod 20) y estos últimos son ≡ 11, 13, 17, 19 (mod 20).

Mayor q

Las observaciones sobre −3 y 5 siguen siendo válidas: −7 es un residuo módulo p si y solo si p es un residuo módulo 7, −11 es un residuo módulo p si y solo si p es un residuo módulo 11, 13 es un residuo (mod p) si y solo si p es un residuo módulo 13, etc. Las reglas que parecen más complicadas para los caracteres cuadráticos de 3 y −5, que dependen de congruencias módulo 12 y 20 respectivamente, son simplemente las de −3 y 5 trabajando con el primer suplemento.

Ejemplo. Para −5 ser un residuo (modelo p), tanto 5 como 1 tienen que ser residuos (modelo p) o ambos tienen que ser no-residuos: es decir, p ±1 (mod 5) y p 1 (mod 4) o p ±2 (mod 5) y p 3 (mod 4). Usando el teorema del resto chino estos son equivalentes a p 1 9 (mod 20) o p 3, 7 (mod 20).

La generalización de las reglas para −3 y 5 es la declaración de reciprocidad cuadrática de Gauss.

Enunciado del teorema

Reciprocidad Cuadrática (declaración de Gauss). Si ${displaystyle qequiv 1{bmod {4}}$, entonces la congruencia ${displaystyle ¿Qué?$ es solvable si y sólo si ${displaystyle ¿Qué?$ es solvable. Si ${displaystyle qequiv 3{bmod {4}}$ y ${displaystyle pequiv 3{bmod {4}}$, entonces la congruencia ${displaystyle ¿Qué?$ es solvable si y sólo si ${displaystyle x^{2}equiv -q{bmod {p}}$ es solvable.

Reciprocidad cuadrática (declaración conjunta). Define ${displaystyle q^{*}=(-1)^{frac {q-1}{2}q}$. Entonces la congruencia ${displaystyle ¿Qué?$ es solvable si y sólo si ${displaystyle x^{2}equiv q^{*}{bmod {p}}}$ es solvable.

Reciprocidad Cuadrática (declaración de Legendre). Si p o q son congruentes con 1 modulo 4, entonces: ${displaystyle ¿Qué?$ es solvable si y sólo si ${displaystyle ¿Qué?$ es solvable. Si p y q son congruentes con 3 modulo 4, entonces: ${displaystyle ¿Qué?$ es solvable si y sólo si ${displaystyle ¿Qué?$ no es solvable.

La última es inmediatamente equivalente a la forma moderna indicada en la introducción anterior. Es un ejercicio simple probar que las declaraciones de Legendre y Gauss son equivalentes: no requiere más que el primer suplemento y los hechos sobre la multiplicación de residuos y no residuos.

Prueba

Aparentemente, la demostración más corta conocida hasta ahora fue publicada por B. Veklych en el American Mathematical Monthly.

Pruebas de los suplementos

El valor del símbolo Legendre de ${displaystyle -1}$ (utilizado en la prueba anterior) sigue directamente del criterio de Euler:

${displaystyle left({frac {-1}{}derecha)equiv (-1)^{frac {p-1}{2}{bmod {p}} {f}} {f}} {f}}} {bmod}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {bbum}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {p} {p}}}} {p}}}}} {p}}}} {bh}}}} {p}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b$

por el criterio de Euler, pero ambos lados de esta congruencia son números de la forma ${displaystyle pm 1}$Así que deben ser iguales.

Ya ${displaystyle 2}$ es un residuo cuadrático se puede concluir si sabemos el número de soluciones de la ecuación ${displaystyle x^{2}+y^{2}=2}$ con ${displaystyle x,yin mathbb {Z} _{p},}$ que puede ser resuelto por métodos estándar. Es decir, todas sus soluciones donde ${displaystyle xyneq 0,xneqpm y}$ se puede agrupar en octuplets de la forma ${displaystyle (pm x,pm y),(pm y,pm x)}$, y lo que queda son cuatro soluciones de la forma ${displaystyle (pm 1,pm 1)}$ y posiblemente cuatro soluciones adicionales ${displaystyle x^{2}=2,y=0}$ y ${displaystyle x=0,y^{2}=2}$, que existen precisamente si ${displaystyle 2}$ es un residuo cuadrático. Eso es, ${displaystyle 2}$ es un residuo cuadrático precisamente si el número de soluciones de esta ecuación es divisible por ${displaystyle 8}$. Y esta ecuación se puede resolver de la misma manera aquí que sobre los números racionales: sustituto ${displaystyle x=a+1,y=at+1}$, donde exigimos eso ${displaystyle aneq 0}$ (saliendo de las dos soluciones ${displaystyle (1,pm)}$), entonces la ecuación original se transforma en

${displaystyle a=-{frac {2(t+1)}{(t^{2}+1)}}}$

Aquí. ${displaystyle t}$ puede tener cualquier valor que no haga el denominador cero – para el cual hay ${displaystyle 1+left({frac {-1}{p}right)}$ posibilidades (es decir, ${displaystyle 2}$ si ${displaystyle -1}$ es un residuo, ${displaystyle 0}$ si no) – y tampoco ${displaystyle a}$ cero, que excluye una opción más, ${displaystyle t=-1}$. Así hay

${displaystyle p-left(1+left({frac {-1}{p}right)right)}$

posibilidades de ${displaystyle t}$, y así, junto con las dos soluciones excluidas hay en general ${displaystyle p-left({frac {-1}{p}right)}$ soluciones de la ecuación original. Por lo tanto, ${displaystyle 2}$ es un modulo de residuos ${displaystyle p}$ si ${displaystyle 8}$ divideciones ${displaystyle p-(-1)^{frac {p-1}{2}}$. Esta es una reformulación de la condición indicada anteriormente.

Historia y declaraciones alternativas

El teorema se formuló de muchas maneras antes de su forma moderna: Euler y Legendre no tenían la notación de congruencia de Gauss, ni Gauss tenía el símbolo de Legendre.

En este artículo, p y q siempre se refieren a primos impares positivos distintos, y x e y a enteros no especificados.

Fermat

Fermat probó (o afirmó haber probado) una serie de teoremas sobre la expresión de un número primo mediante una forma cuadrática:

${displaystyle {begin{aligned}p=x^{2}+y^{2}qquad 'Longleftrightarrow qquad p=2quad ################################################################################################################################################################################################################################################################ {4}p=x^{2}+2y^{2}qquad >Longleftrightarrow qquad p=2quad ################################################################################################################################################################################################################################################################ {8}p=x^{2}+3y^{2}qquad >Longleftrightarrow qquad p=3quad {text{ or }quad pequiv 1{bmod {3}\end{aligned}}}}}}}}}}}}}}\ppppp=xp=x}}}}}}}pp}ppp}pppp=xp}p}p}pppppppp=xp}}p}p}p=xp=xp}p}p}cp=xcccccccccccccccc}ccccccccccccccc$

No enunció la ley de reciprocidad cuadrática, aunque los casos −1, ±2 y ±3 son deducciones fáciles de estos y otros de sus teoremas.

También afirmó tener una prueba de que si el número primo p termina en 7, (en base 10) y el número primo q termina en 3, y < i>p ≡ q ≡ 3 (mod 4), entonces

${displaystyle pq=x^{2}+5y^{2}$

Euler conjeturó y Lagrange probó que

${begin{aligned}p limitequiv 1,9{bmod {20}quad Longrightarrow quad p=x^{2}+5y^{2}p,q limitequiv 3,7{bmod {20}quad Longrightarrow quad pq=x^{2}+5y^$

Demostrar estas y otras afirmaciones de Fermat fue una de las cosas que llevó a los matemáticos al teorema de la reciprocidad.

Euler

Traducido a la notación moderna, Euler afirmó que para primos impares distintos p y q:

1. Si q 1 (mod 4) entonces q es un residuo cuadrático (mod p) si y sólo si existe algún entero b tales que p ↑ b² (modelo) q).
2. Si q 3 (mod 4) entonces q es un residuo cuadrático (mod p) si y sólo si existe algún entero b que es extraño y no divisible por q tales que p ±b² (mod 4q).

Esto es equivalente a la reciprocidad cuadrática.

No pudo probarlo, pero sí probó el segundo suplemento.

Legendre y su símbolo

Fermat demostró que si p es un número primo y a es un número entero,

${displaystyle a^{p}equiv a{bmod {p}}$

Por lo tanto, si p no divide a, usando el hecho no obvio (ver por ejemplo Irlanda y Rosen a continuación) que los residuos módulo p forman un campo y por lo tanto en particular el grupo multiplicativo es cíclico, por lo tanto puede haber como máximo dos soluciones a una ecuación cuadrática:

${displaystyle a^{frac {p-1}{2}equiv pm 1{bmod {p}}$

Legendre permite que a y A representen primos positivos ≡ 1 (mod 4) y b y B positivos primos ≡ 3 (mod 4), y establece una tabla de ocho teoremas que juntos son equivalentes a la reciprocidad cuadrática:

Theorem	Cuando	sigue que
I	${displaystyle b^{frac {a-1}{2}equiv 1{bmod {a}}$	${displaystyle a^{frac {b-1}{2}equiv} 1{bmod {b}}$
II	${displaystyle a^{frac {b-1}{2}equiv} - ¿Qué?$	${displaystyle b^{frac {a-1}{2}equiv - ¿Qué?$
III	${displaystyle a^{frac {f}}equiv 1{bmod {f}}}$	${displaystyle A^{frac ¿Qué?$
IV	${displaystyle a^{frac {f}equiv -1{bmod {f}}}$	${displaystyle A^{frac {a-1}{2}equiv - ¿Qué?$
V	${displaystyle a^{frac {b-1}{2}equiv} 1{bmod {b}}$	${displaystyle b^{frac {a-1}{2}equiv 1{bmod {a}}$
VI	${displaystyle b^{frac {a-1}{2}equiv - ¿Qué?$	${displaystyle a^{frac {b-1}{2}equiv} - ¿Qué?$
VII	${displaystyle b^{frac {B-1}{2}equiv 1{bmod {B}}$	${displaystyle B^{frac {b-1}{2}equiv} - ¿Qué?$
VIII	${displaystyle b^{frac {B-1}{2}equiv -1{bmod {B}}$	${displaystyle B^{frac {b-1}{2}equiv} 1{bmod {b}}$

Dice que dado que las expresiones de la forma

${displaystyle N^{frac {c-1}{2}{bmod {c},qquad gcd(N,c)=1}$

aparecerán tan a menudo que los abreviará como:

${displaystyle left({frac {N}right)equiv N^{frac} {c-1}{2}{bmod {c}=pm 1.}$

Esto ahora se conoce como el símbolo de Legendre, y hoy en día se usa una definición equivalente: para todos los números enteros a y todos los primos impares p

${displaystyle left({frac {a}{p}right)={begin{cases}0 recuraequiv 0{bmod {p}1 âTManot equiv 0{bmod {p}{text{ and }}exists x:aequiv x^{2}{bmod {p}\1⁄4not equiv 0{bmod {p}}{text{f} {fnMicrosoft}}} {f}}}}}fnun}}}fnun}p}ppppppppppppppppbmod}ppppppppbmod}pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp$

La versión legendaria de la reciprocidad cuadrática

${displaystyle left({frac {p}{q}right)={begin{cases}left({tfrac) {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicros} {fnMicros}}}}fnMicros} {b}f}f} {b}f}f}f}f}f}b}b}f}b}f}f}f}f}f}f}f}b}b}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}b}f}f}p}f}fnf}f}f}fnun}fnKf}fnKb}fnKf}cH00}f}fnMi$

Él señala que estos se pueden combinar:

${displaystyle left({frac {fnK}right)left({frac} {q}p}right)=(-1)^{frac {p-1}{2}{frac} {q-1}{2}}}}$

Varias demostraciones, especialmente aquellas basadas en el Lema de Gauss, calculan explícitamente esta fórmula.

Las leyes complementarias que utilizan los símbolos de Legendre

${displaystyle {begin{aligned}left({frac {-1}{}derecha) {p-1}{2}={begin{cases}1⁄4pequiv 1{bmod {4}\\1⁄2}equiv 3{bmod {4}end{cases}\left({frac {2}{p}}}}right)} {frac]}{frac {p^{2}-1}}={begin{cases}1 recurpequiv 1,7{bmod {8}\-1 pulsapequiv 3,5{bmod {8}end{cases}end{aligned}}}}}}}}}} {f}}}}} {p}}}}} {ppp}}}}}}}}}}}}}}}}} {ppp}}}pp}p}pp}pppppppppppcccccccccH00}cccccH00}ccH00}ccccccccH00}}}}}}}}cH00}}}}}cH00}}}}}}}}}}}}}}}$

De estos dos suplementos, podemos obtener una tercera ley de reciprocidad para el carácter cuadrático -2 de la siguiente manera:

Para -2 ser un residuo cuadrático, ya sea -1 o 2 son residuos cuadráticos, o ambos no residuos:${displaystyle {bmod {}}}$.

Así que...${displaystyle {frac {f}{text{ or }{f}{f} {f}} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {f}f}}} {f}}}} {f}f}f}f}}f}}}} {f}}}}} {f}}}}}} {f} {f}f}}f}f}f}}}}}}f}f}}}}}}}f} {f} {f} {f}f}f}}f}f}f}f} {f}f}f}f}}}}}f}}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}}}}f}}}}f}f}}f}}} {cH00}}} {c}}}$ son ambos, o ambos son raros. La suma de estas dos expresiones es

${displaystyle {frac {f}+4p-5}{8}}$ que es un entero. Por lo tanto,

${displaystyle {begin{aligned}left({frac {-2}{}derecha) {p^{2}+4p-5} {8}={begin{cases}1 curvapequiv 1,3{bmod {8}}\\1 golpeequiv 5,7{bmod {8}end{cases}end{aligned}}}}}}}}}}}} {p} {p}ppp}p}p}pp}cH00}cH00}cH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}cccH00}}cccccH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}ccccH00}}}}}p}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

El intento de Legendre de probar la reciprocidad se basa en un teorema suyo:

Teorema de Legendre. Vamos a, b y c ser enteros donde cualquier par de los tres son relativamente primos. Además, asume que al menos uno de los ab, bc o ca es negativo (es decir, no todos tienen el mismo signo). Si

${displaystyle {begin{aligned}u}{2} - ¿Qué? {b}\w^{2} {equiv} - ¿Qué?$

son solvable entonces la siguiente ecuación tiene una solución notrivial en los enteros:

${displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0.}$

Ejemplo. Theorem I es manejado por dejar a 1 y b 3 (mod 4) ser primos y asumir que ${displaystyle left({tfrac {b}right)=1}$ y, contrariamente al teorema, que ${displaystyle left=-1.}$ Entonces... ${displaystyle ¿Qué?$ tiene una solución, y tomar congruencias (mod 4) conduce a una contradicción.

Esta técnica no funciona para el Teorema VIII. Sea b ≡ B ≡ 3 (mod 4), y suponga

${displaystyle left({frac {b}derecho)=left({frac} {b} {B}right)=-1.}$

Entonces si hay otro primo p ≡ 1 (mod 4) tal que

${displaystyle left({frac {p}b}right)=left({frac} {p} {B}right)=-1,}$

la soledad ${displaystyle Bx^{2}+by^{2}-pz^{2}=0}$ conduce a una contradicción (mod 4). Pero Legendre no pudo demostrar que tiene que haber un primo p; más tarde pudo demostrar que todo lo que se requiere es:

Lemma de Legendre. Si p es una prima que es congruente con 1 modulo 4 entonces existe una prima extraña q tales que ${displaystyle left({tfrac {q}right)=-1.}$

pero tampoco pudo probar eso. El símbolo Hilbert (abajo) discute cómo las técnicas basadas en la existencia de soluciones a ${displaystyle Ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$ se puede hacer para trabajar.

Gauss

Parte del artículo 131 en la primera edición (1801) de la Disquisición, enumerar los 8 casos de reciprocidad cuadrática

Gauss prueba primero las leyes complementarias. Establece la base para la inducción demostrando el teorema para ±3 y ±5. Al notar que es más fácil establecer para −3 y +5 que para +3 o −5, establece el teorema general en la forma:

Si p es un principio de la forma 4n+ 1 entonces p, pero si p es de la forma 4n + 3 entonces −p, es un residuo cuadrático (resp. nonresidue) de cada primo, que, con un signo positivo, es un residuo (resp. nonresidue) de p. En la siguiente frase, él lo castigó el "teorema fundamental" (Gauss nunca usó la palabra "reciprocidad").

Presentamos la notación a R b (resp. a N b) para significar a es un residuo cuadrático (resp. no residuo) (mod b), y dejando que a, a′, etc. representen positivo primos ≡ 1 (mod 4) y b, b′, etc. primos positivos ≡ 3 (mod 4), lo divide en los mismos 8 casos que Legendre:

En el siguiente artículo, generaliza esto a lo que son básicamente las reglas para el símbolo de Jacobi (abajo). Dejar que A, A′, etc. representen cualquier número positivo (primo o compuesto) ≡ 1 (mod 4) y B, B′, etc. números positivos ≡ 3 (mod 4):

Todos estos casos toman la forma "si un primo es un residuo (modifica un compuesto), entonces el compuesto es un residuo o no residuo (modifica el primo), dependiendo de las congruencias (mod 4)&# 34;. Demuestra que estos se siguen de los casos 1) - 8).

Gauss necesitaba, y pudo probar, un lema similar al que necesitaba Legendre:

Lemma de Gauss. Si p es una primera congruente con 1 modulo 8 entonces existe una q tal que:

${displaystyle q made2{sqrt {p}+1quad {text{and}quad left({frac {p}right)=-1.}$

La prueba de reciprocidad cuadrática usa inducción completa.

Versión de Gauss en símbolos Legendre.

${displaystyle left({frac {p}{q}right)={begin{cases}left({frac] {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {4}end{cases}}$

Se pueden combinar:

Versión combinada de Gauss en símbolos Legendre. Vamos

${displaystyle q^{*}=(-1)^{frac {q-1}{2}q.}$

En otras palabras:

${displaystyle TENK}Principalmente q^{*}equiv 1{bmod {4}}$

Entonces:

${displaystyle left({frac {fnK}right)=left({frac {q^{*} {}}derecha}}$

Varias demostraciones del teorema, especialmente aquellas basadas en sumas de Gauss o la división de números primos en campos numéricos algebraicos, derivan esta fórmula.

Otras declaraciones

Las declaraciones en esta sección son equivalentes a la reciprocidad cuadrática: si, por ejemplo, se asume la versión de Euler, se puede deducir la versión de Legendre-Gauss y viceversa.

La Fórmula de Reciprocidad Cuadrática de Euler. Si ${displaystyle pequiv pm q{bmod {4a}}$ entonces ${displaystyle left({tfrac {a}{p}right)=left({tfrac {a}right).}$

Esto se puede probar usando el lema de Gauss.

Reciprocidad cuadrática (Gauss; Cuarta Prueba). Vamos a, b, c,... ser desigual positivo primas, cuyo producto es n, y dejar m ser el número de los que son 3 (mod 4); comprobar si n/a es un residuo de a, si n/b es un residuo de b,... El número de no residuos encontrados será incluso cuando m mod 0, 1 (mod 4), y será extraño si m ngel 2, 3 (mod 4).

La cuarta demostración de Gauss consiste en demostrar este teorema (mediante la comparación de dos fórmulas para el valor de las sumas de Gauss) y luego restringirlo a dos números primos. Luego da un ejemplo: Sea a = 3, b = 5, c = 7 y d = 11. Tres de estos, 3, 7 y 11 ≡ 3 (mod 4), entonces m ≡ 3 (mod 4). 5×7×11 R 3; 3×7×11 R 5; 3×5×11 R 7; y 3×5×7 N 11, por lo que hay un número impar de no residuos.

Formulación de la Reciprocidad Cuadrática de Eisenstein. Assume

${fnMicrosoft Sans Serif},quad q',quad pequiv p'{bmod {4},quad qequiv q'{bmod {4}}}$

Entonces...

${displaystyle left({frac {fnK}right)left({frac} {fnK}right)=left({frac {fnMicrosoft Sans Serif}$

Fórmula de Reciprocidad Cuadrática de Mordell. Vamos a, b y c ser enteros. Por cada primo, p, dividiendo abc si la congruencia

${displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}equiv 0{bmod {tfrac {4abc}{p}}}$

tiene una solución notrivial, entonces lo hace:

${displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}equiv 0{bmod {4abc}}.}$

Formulación de la función Zeta

Como se menciona en el artículo sobre funciones de Dedekind zeta, la reciprocidad cuadrática es equivalente a la función zeta de un campo cuadrático siendo el producto de la función Riemann zeta y una determinada función Dirichlet L

Símbolo jacobi

El símbolo de Jacobi es una generalización del símbolo de Legendre; la principal diferencia es que el número de abajo tiene que ser positivo e impar, pero no tiene que ser primo. Si es primo, los dos símbolos concuerdan. Obedece las mismas reglas de manipulación que el símbolo de Legendre. En particular

${displaystyle {begin{aligned}left({frac {-1}{n}right)=(-1)^{frac {fn1} {cH00}cH00}cH00}cH00}cH00} {cH00}ccH00}cH00}cH00} {cH00}cH00}cH00} {cH00}b} {cH00}cH00} {cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00} {cH00}cH00}cH00}cH00}}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}ccH00}ccH00}c}ccH {-2}{n}derecha)=(-1)^{frac {n^{2}+4n-5}{8} {begin{cases}1 Umnequiv 1,3{bmod {8}\\1}\1nequiv 5,7{bmod {8}}}}end{aligned}}}}}}}}}}} {}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}}}}}}}}}}}}}}}}} {n}}}}}{n}}} {n}}}}}}}} {n}} {n}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

y si ambos números son positivos e impares (esto a veces se denomina "ley de reciprocidad de Jacobi"):

${displaystyle left({frac {m}{n}right)=(-1)^{frac {(m-1)}{4}}left({frac {n}right).}}}}}}$

Sin embargo, si el símbolo de Jacobi es 1 pero el denominador no es un primo, no necesariamente se sigue que el numerador sea un residuo cuadrático del denominador. Los casos de Gauss 9) - 14) anteriores se pueden expresar en términos de símbolos de Jacobi:

${displaystyle left({frac {M}{p}}right)=(-1)^{frac {(p-1)}{4}}left({frac {m}}right),}}}$

y dado que p es primo, el lado izquierdo es un símbolo de Legendre, y sabemos si M es un residuo módulo p o no.

Las fórmulas enumeradas en la sección anterior son verdaderas para los símbolos de Jacobi siempre que los símbolos estén definidos. La fórmula de Euler puede escribirse

${displaystyle left({frac {a}{m}}right)=left({frac {a}{mpm 4an}right),qquad nin mathbb {Z}mpm 4an Conf0.}$

Ejemplo.

${displaystyle left({frac {2}{7}right)=left({frac {2}{15}}right)=left({frac {2}}right)=left({frac {2}}right)=cdots =1.}$

2 es un residuo módulo los números primos 7, 23 y 31:

${displaystyle 3^{2}equiv 2{bmod {7},quad 5^{2}equiv 2{bmod {23}},quad 8^{2}equiv 2{bmod {31}}}$

Pero 2 no es un modulo 5 de residuos cuadráticos, por lo que no puede ser un modulo 15. Esto está relacionado con el problema que Legendre tenía: ${displaystyle left({tfrac {a} {m}right)=-1,}$ entonces a es un modulo no residual cada primo en la progresión aritmética m + 4a, m + 8aSi hay son cualquier primo de esta serie, pero eso no fue probado hasta décadas después de Legendre.

La fórmula de Eisenstein requiere condiciones de primalidad relativa (que son verdaderas si los números son primos)

Vamos ${displaystyle a,b,a',b'$ ser números enteros positivos tales que:

${begin{aligned}gcd=gcd(a,b)=gcd(a',b')=1\\fnuncioequiv a'{bmod {4}\fnciped {4}}}} {fnunció}}}$

Entonces...

${displaystyle left({frac {a}{b}right)left({frac} {b}{a}right)=left({frac {a'}right)left({frac {b'}}right).}$

Símbolo de Hilbert

La ley de reciprocidad cuadrática se puede formular en términos del símbolo Hilbert ${displaystyle (a,b)_{v}$ Donde a y b son dos números racionales no cero y v corre sobre todos los valores absolutos no-triviales de los racionales (el Arquímico y el p- valores absolutos adictivos para primos p). El símbolo Hilbert ${displaystyle (a,b)_{v}$ es 1 o −1. Se define a ser 1 si y sólo si la ecuación ${displaystyle ax^{2}+by^{2}=z^{2}$ tiene una solución en la terminación de los fundamentos a v de otros ${displaystyle x=y=z=0}$. La ley de reciprocidad de Hilbert establece que ${displaystyle (a,b)_{v}$, para fijar a y b y variables v, es 1 para todos pero finitamente muchos v y el producto de ${displaystyle (a,b)_{v}$ por todas partes v es 1. (Esto se asemeja formalmente al teorema de residuos de análisis complejo.)

La demostración de la reciprocidad de Hilbert se reduce a verificar algunos casos especiales, y los casos no triviales resultan ser equivalentes a la ley principal y las dos leyes complementarias de reciprocidad cuadrática para el símbolo de Legendre. No hay ningún tipo de reciprocidad en la ley de reciprocidad de Hilbert; su nombre simplemente indica la fuente histórica del resultado en reciprocidad cuadrática. A diferencia de la reciprocidad cuadrática, que requiere condiciones de signo (a saber, la positividad de los primos involucrados) y un tratamiento especial del primo 2, la ley de reciprocidad de Hilbert trata todos los valores absolutos de los racionales en igualdad de condiciones. Por lo tanto, es una forma más natural de expresar la reciprocidad cuadrática con miras a la generalización: la ley de reciprocidad de Hilbert se extiende con muy pocos cambios a todos los campos globales y esta extensión puede considerarse con razón una generalización de la reciprocidad cuadrática a todos los campos globales.

Conexión con campos ciclotómicos

Las primeras pruebas de la reciprocidad cuadrática son relativamente poco esclarecedoras. La situación cambió cuando Gauss usó sumas de Gauss para mostrar que los campos cuadráticos son subcampos de campos ciclotómicos, y dedujo implícitamente la reciprocidad cuadrática de un teorema de reciprocidad para campos ciclotómicos. Su prueba fue presentada en forma moderna por teóricos algebraicos de números posteriores. Esta prueba sirvió como plantilla para la teoría del campo de clases, que puede verse como una gran generalización de la reciprocidad cuadrática.

Robert Langlands formuló el programa Langlands, que proporciona una gran generalización conjetural de la teoría del campo de clases. El escribio:

Confeso que, como estudiante ignorando la historia del sujeto y sin saber la conexión con la ciclotomía, no encontré la ley ni sus llamadas pruebas elementales atractivas. Supongo que, aunque no habría expresado (y no podría haber) de esta manera que lo vi tan poco más que una curiosidad matemática, cabe más para los aficionados que para la atención del matemático serio que entonces esperaba ser. Fue sólo en el libro de Hermann Weyl sobre la teoría algebraica de números que lo aprecié como cualquier cosa más.

Otros anillos

También existen leyes de reciprocidad cuadrática en anillos distintos de los enteros.

Enteros gaussianos

En su segundo monografía sobre reciprocidad cuartica Gauss declaró reciprocidad cuadrática para el anillo ${displaystyle mathbb {Z} [i]$ of Gaussian integers, saying that it is a corollary of the biquadratic law in ${displaystyle mathbb {Z} [i],}$ pero no proporcionó una prueba de ninguno de los teoremas. Dirichlet mostró que la ley en ${displaystyle mathbb {Z} [i]$ se puede deducir de la ley para ${displaystyle mathbb {Z}$ sin usar reciprocidad cuartica.

Para una prima gaissa extraña ${displaystyle pi}$ un integer Gausian ${displaystyle alpha }$ relativamente primo a ${displaystyle pi}$ definir el carácter cuadrático ${displaystyle mathbb {Z} [i]$ por:

${displaystyle left[{frac {alpha }{pi} }derecha]_{2}equiv alpha ^{frac {mathrm} {N} pi - ¿Qué? }={begin{cases}1 golpeexists eta in mathbb {Z} [i]:alpha equiv eta ^{2}{bmod {pi ###############################################################################################################################################################################################################################################################$

Vamos ${displaystyle lambda =a+bi,mu =c+di}$ ser diferentes primos gaussianos donde a y c son extraños b y d son incluso. Entonces...

${displaystyle left[{frac {lambda }{mu }right]_{2}=left[{frac {mu }{lambda }right]_{2},qquad left[{fracfrac] {i}{lambda }}derecha]_{2}=(-1){frac {b}{2}},qquad left[{frac {1+i}{lambda }right]_{2}=left({frac {2}{a+b}}derecho). }$

Enteros de Eisenstein

Considere la siguiente raíz tercera de la unidad:

${displaystyle omega ={frac {-1+{sqrt {-3}{2}=e^{frac} {2pi imath } {3}}$

El anillo de los enteros de Eisenstein es ${displaystyle mathbb {Z} [omega ].$ Para un Eisenstein primo ${displaystyle pimathrm {N} pi neq 3,}$ y un entero Eisenstein ${displaystyle alpha }$ con ${displaystyle gcd(alphapi)=1,}$ definir el carácter cuadrático ${displaystyle mathbb {Z} [omega ]$ por la fórmula

${displaystyle left[{frac {alpha }{pi} }derecha]_{2}equiv alpha ^{frac {mathrm} {N} pi - ¿Qué? }={begin{cases}1 golpeexists eta in mathbb {Z} [omega]:alpha equiv eta ^{2}{bmod {pi ###############################################################################################################################################################################################################################################################$

Sean λ = a + bω y μ = c + dω primos de Eisenstein distintos donde a y c no son divisibles por 3 y b y d son divisibles por 3. Eisenstein demostró

${displaystyle left[{frac {lambda }{mu }right]_{2}left[{frac {mu }{lambda - Sí. {mathrm {N} lambda - ¿Qué? {N}mu -1}{2}}}}qquad left [{frac {1-omega }{lambda }}right]_{2}=left({frac {}{3}right),qquad left[{2}{lambda}{2} {}} {} {}}{2}}}} {} {}}} {}}}}}}}} {} {}}}}}}}}}} {} {} {}} {}}}}} {}}}}} {}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {} {}}}} {}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { }$

Campos cuadráticos imaginarios

Las leyes anteriores son casos especiales de leyes más generales que sostienen el anillo de enteros en cualquier campo de número cuadrático imaginario. Vamos k ser un campo de número cuadrático imaginario con anillo de enteros ${displaystyle {mathcal {}_{k}}$ Para un ideal primo ${displaystyle {Mathfrak}subset {Mathcal}_{k}$ con extraña norma ${displaystyle mathrm {N} {mthfrak {p}}$ y ${displaystyle alpha in {matcal {O}_{k},}$ definir el carácter cuadrático ${fnMicrosoft Sans Serif}$ como

${displaystyle left[{frac {alpha }{mathfrak {}right]_{2}equiv} alpha ^{frac {Mathfrak} {fnh}} {fnK}}} {bmod {fnMicrok} {fnh}}}} {bmod {f}} {f}}}}}} {fn}}}}} {fn}}} {bmod {bmod {f}}}}}}}} {bmod {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {bmod {bmod {bmod {bh}}}}}}}}}}} {bmod {bh}}}}}}}}}}}}}}}}} {bmod {bmod}} {bmod {bmod {bmod {bmod {bmod {bbu}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {bmod {bmod {bmod {bbu}}}}}}}}} {bmod {b {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}f}}\f}f}f}fnMis}\f}f}f}f}\f}fnMis}f}f}fnKfnKfnMis}fnMis}fnMis}f}f}\f}fnKf}fnKfnMissssss}fnMissssssss}fnMis}fnMis}fnMis}fnKf}fnKf}f}fnMi$

para un ideal arbitrario ${displaystyle {\\fnK}subset {fnMitcal}_{k}$ factorado en ideales primos ${displaystyle {Mathfrak}={mthfrak {p}_{1}cdots {Mathfrak {}_{n}}$ definir

${displaystyle left[{frac {alpha }{mathfrak {}right]_{2}=left [{frac {fnK} {fnMithfrak {p}_{1}} {2}cdots left[{frac {alpha # {\fnMicrok {fn} {fn}}} {2}}$

y para ${displaystyle beta in {fn}_{k}$ definir

${fnMicrosoft Sans Serif} {beta}fnMicroc {fnMicroc}{beta}beta=beta} {beta} {fnMicroc {fnMicroc {fnK}} {beta}beta} {fnMitcal {fnMicrosoft Sans Serif}$

Vamos ${fnMicrosoft Sans Serif} {Z} omega _{1}oplus mathbb {Z} omega _{2},}$ i.e. ${displaystyle left{omega ¿Qué?$ es una base integral ${displaystyle {mathcal {}_{k}}$ Para ${displaystyle nu in {máthcal}_{k}$ con extraña norma ${displaystyle mathrm {N} nu}$ definir (ordinario) enteros a, b, c, d por las ecuaciones,

${displaystyle {begin{aligned}nu ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{1}+bomega ¿Por qué? omega - ¿Qué? _{1}+domega ¿Qué?$

y una función

${displaystyle chi (nu):=imath ^{(b^{2}-a+2)c+(a^{2}-b+2)d+ad}$

Si m = Nμ y n = Nν son ambos impares, Herglotz demostró

${displaystyle left[{frac {mu }{nu }right]_{2}left[{frac {nu }{mu }}right]_{2}=(-1)^{frac {frac {m-1}{2}{frac} {n-1}{2}chi (mu)}{m{m{frac}}chi (mu) {n-1}{2}chi (nu)}{-n{frac}}chi (nu) {m-1}{2}}}}$

Además, si

${displaystyle mu equiv mu '{bmod {4}quad {text{and}quad nu equiv nu '{bmod {4}}$

Entonces

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn}}m} {fnMicros {fn0}fnMicroc {fnK}} {fnMicros} {fnMicroc}} {f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnKfnKfnKfnKf}fnKf}fnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKf}fnK}}}fnK$