Razonamiento proporcional

El razonamiento basado en relaciones de proporcionalidad es una forma de lo que en la teoría del desarrollo cognitivo de Piaget se llama "razonamiento operativo formal", que se adquiere en las últimas etapas del desarrollo intelectual. Existen métodos mediante los cuales los profesores pueden guiar a los estudiantes en la correcta aplicación del razonamiento proporcional.

En matemáticas y física, la proporcionalidad es una relación matemática entre dos cantidades; se puede expresar como una igualdad de dos razones:

${\fnMicroc} {a}{b}={\frac} {C} {d}}$

Funcionalmente, la proporcionalidad puede ser una relación entre variables en una ecuación matemática. Por ejemplo, dada la siguiente ecuación para la fuerza de gravedad (según Newton):

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2} {r} {2}}} {\c} {\c}} {\cH}}} {\c}}}}}} {\c}}}}}} {\cH}}}}}}} {\c}}}}}}} {\c}}}}}} {\cH}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

la fuerza de gravedad entre dos masas es directamente proporcional al producto de las dos masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las dos masas.

En el modelo de desarrollo intelectual de Piaget, la cuarta y última etapa es la etapa operativa formal. En el libro clásico "El crecimiento del pensamiento lógico desde la infancia hasta la adolescencia" por Jean Piaget y Bärbel Inhelder el razonamiento operativo formal adopta muchas formas, incluido el razonamiento proposicional, la lógica deductiva, la separación y control de variables, el razonamiento combinatorio y el razonamiento proporcional. Robert Karplus, un educador científico en las décadas de 1960 y 1970, investigó todas estas formas de razonamiento en adolescentes y niños. adultos. Mr. Tall-Mr.Bajo fue uno de sus estudios.

Existen patrones de razonamiento comparables para la proporción inversa.

Considere un contenedor de líquido coloreado dentro de un triángulo derecho donde el triángulo puede ser inclinado y los niveles de agua en el lado izquierdo y derecho se pueden medir en una escala integrada. Esto se llama "ángulo de agua":
El triángulo de agua se gira hasta que muestra una medición de 4 unidades en el lado izquierdo y 6 unidades en el lado derecho.
Supongamos que el triángulo está inclinado aún más hasta que el nivel de agua en el lado derecho está en 8 unidades. Predecir cuál será el nivel de agua en las unidades en el lado izquierdo.

Soluciones típicas

Alguien con conocimientos sobre el área de triángulos podría razonar: "Inicialmente, el área del agua que forma el triángulo es 12 ya que ⁠1/2⁠ × 4 × 6 = 12. La cantidad de agua no cambia, por lo que el área no cambiará. Entonces la respuesta es 3 porque ⁠1/2⁠ × 3 × 8 = 12."

Una respuesta multiplicativa correcta es relativamente rara. Con diferencia, la respuesta más común es algo como: "2 unidades porque el nivel del agua en el lado derecho aumentó en dos unidades, por lo que el nivel del agua en el lado izquierdo debe disminuir en dos unidades y 4 – 2 = 2." 34; Con menos frecuencia, la razón para dos unidades es: "Antes había un total de 10 unidades porque 4 + 6 = 10. El número total de unidades debe permanecer igual, por lo que la respuesta es 2 porque 2 + 8 = 10". #34;

Así que nuevamente hay individuos que no están en el nivel operativo formal y aplican una estrategia aditiva en lugar de una estrategia multiplicativa para resolver una proporción inversa. Y, al igual que la proporción directa, esta estrategia incorrecta parece lógica para el individuo y parece dar una respuesta razonable. Los estudiantes se sorprenden mucho cuando realizan el experimento e inclinan el triángulo para encontrar que la respuesta es 3 y no 2 como predijeron con tanta confianza.

Sea T la altura del Sr. Alto y S la altura del Sr. Bajo, entonces la estrategia multiplicativa correcta se puede expresar como T/S = 3/2; esta es una relación de razón constante. La estrategia aditiva incorrecta se puede expresar como T – S = 2; esta es una relación de diferencia constante. Aquí está el gráfico de estas dos ecuaciones. Para los valores numéricos involucrados en el planteamiento del problema, estos gráficos son "similares" a los anteriores. y es fácil ver por qué los individuos consideran que sus respuestas incorrectas son perfectamente razonables.

Ahora considere nuestra proporción inversa usando el "triángulo del agua". Sea L la altura del agua en el lado izquierdo y R la altura del agua en el lado derecho, entonces la estrategia multiplicativa correcta se puede expresar como L × R = 24; ésta es una relación de producto constante. La estrategia aditiva incorrecta se puede expresar como L + R = 10; esta es una relación de suma constante. Aquí está el gráfico de estas dos ecuaciones. Para los valores numéricos involucrados en el planteamiento del problema, estos gráficos son "similares" a los anteriores. y es fácil ver por qué los individuos consideran que sus respuestas incorrectas son perfectamente razonables.

Como atestiguará cualquier profesor experimentado, no es suficiente simplemente decirle a un estudiante que su respuesta es incorrecta y luego indicarle que use la solución correcta. La estrategia incorrecta no ha sido "desconectada del cerebro"; y resurgiría después de que se haya completado la lección actual.

Además, las estrategias aditivas mencionadas anteriormente no pueden etiquetarse simplemente como "incorrectas"; ya que coinciden correctamente con otras situaciones del mundo real. Por ejemplo, considere el siguiente problema:

Este año, el Día de la Independencia, el Sr. Alto tenía 6 años y el Sr. Bajo tenía 4 años. En un futuro Día de la Independencia, el Sr. Short tiene 6 años. ¿Qué edad tendrá el Sr. Tall ese Día de la Independencia?

De manera similar, la relación de suma constante puede ser correcta para algunas situaciones. Considere el siguiente problema.

Hay cuatro castores en el lado izquierdo de un río y seis castores en el lado derecho del río. Posteriormente con el mismo grupo de castores hay ocho castores en el lado derecho del río. ¿Cuántos castores habrá en el lado izquierdo?

Entonces, hay situaciones en las que las relaciones aditivas (diferencia constante y suma constante) son correctas y otras situaciones en las que las relaciones multiplicativas (razón constante y producto constante) son correctas.

Es de vital importancia que los estudiantes reconozcan por sí solos que su modo actual de razonamiento, digamos que es aditivo, es inapropiado para un problema multiplicativo que están tratando de resolver. Robert Karplus desarrolló un modelo de aprendizaje al que llamó ciclo de aprendizaje que facilita la adquisición de nuevas habilidades de razonamiento.

1. La primera fase es una de exploración en la que los estudiantes aprenden a través de sus propias acciones y reacciones con mínima orientación. El entorno de aprendizaje tiene que estar cuidadosamente diseñado para centrar la atención de los estudiantes en los temas pertinentes. Los alumnos pueden experimentar alguna disonancia cognitiva si descubren que su estrategia preexistente no coincide con los resultados observados. Esto puede llevar a preguntas que no pueden responder con sus ideas actuales o patrones de razonamiento.
2. En la segunda fase se introduce y explica el concepto. Aquí el maestro es más activo, y el aprendizaje se consigue por explicación.
3. Por último, en la tercera fase se aplica el concepto a nuevas situaciones y se amplía su gama de aplicabilidad. El aprendizaje se logra mediante la repetición y la práctica para que las nuevas ideas y formas de pensar tengan tiempo de estabilizarse.

Las actividades prácticas son extremadamente útiles en el ciclo de aprendizaje. Después de hacer predicciones sobre la altura del Sr. Alto con clips, se pueden presentar las herramientas de medición y los estudiantes pueden probar sus estrategias. Para el estudiante que utiliza una relación de diferencia constante, la medición real mostrará que el Sr. Alto en realidad tiene nueve clips de altura y esto generará cierta disonancia cognitiva.

Lo mismo ocurre con las relaciones inversas. Aquí hay una imagen de dos estudiantes trabajando con el "triángulo del agua". Dado el problema mencionado anteriormente, la mayoría de los estudiantes predicen que el nivel del agua en el lado izquierdo bajará a dos unidades cuando el triángulo de agua esté inclinado. Cuando realizan el experimento y ven que la respuesta es 3 unidades, se establece cierta disonancia cognitiva. Este es el mejor momento para que el maestro mueva la lección a la segunda etapa del ciclo de aprendizaje.

Es importante que los estudiantes no apliquen demasiado las estrategias multiplicativas que aprenden. Por lo tanto, es posible que algunas de las actividades prácticas no se basen en una relación multiplicativa. Aquí hay una imagen de dos estudiantes trabajando con un aparato donde la relación de suma constante es correcta.

No siempre es posible o factible poner en manos de los estudiantes actividades prácticas cuidadosamente diseñadas. Además, el público de mayor edad no siempre reacciona bien al uso de la experimentación práctica. Sin embargo, a menudo es posible introducir disonancia cognitiva mediante experimentos mentales.

En todos los experimentos mencionados anteriormente hay dos variables cuyos valores cambian según una relación fija. Considere el siguiente problema que es similar al problema del Sr. Alto y el Sr. Bajo.

Aquí hay una fotografía de un padre y una hija. En esta imagen la hija es de 4 cm de altura y el padre tiene 6 cm de altura. Decidieron ampliar la imagen y en la imagen más grande la hija tiene 6 cm de altura. ¿Qué tan alto es el padre en la imagen más grande?

Una respuesta muy común para un individuo que usa una relación aditiva es 8 cm porque el padre siempre es 2 cm más alto que su hija. Ahora hágale a este estudiante la siguiente pregunta:

Supongamos que hicieron una versión muy pequeña de la imagen original y en esta pequeña imagen el padre es de 2 cm de altura. ¿Qué tan alto estará la hija en esta pequeña imagen?

El estudiante rápidamente se da cuenta de que la estrategia "el padre siempre es 2 cm más alto que su hija" no es correcto. Esto también se puede lograr explorando el otro extremo, donde la imagen original está ampliada al tamaño de un póster y la hija mide 100 cm de altura. ¿A qué altura estará el padre en este cartel? Un estudiante que responde 102 cm se da cuenta de que el padre y la hija tienen casi la misma altura, lo cual no puede ser correcto. Una vez que la disonancia cognitiva está presente, el profesor puede introducir la relación correcta, la proporción constante.

También se puede animar al estudiante a realizar sus propios experimentos mentales, como "¿Qué pasa si la altura de la hija se duplica en una ampliación, qué pasará con la altura del padre?" La mayoría de los estudiantes, incluidos los que aún se encuentran en la etapa operativa concreta, responderán rápidamente que la altura del padre también debe duplicarse. El experimento mental abstracto es: "Supongamos que una de las variables duplica su valor, ¿cómo cambiará la otra variable?" Si la respuesta es "doble", entonces puede tratarse de un problema de razón constante. Pero si la respuesta no es doble, como en el problema de edad con el Sr. Alto y el Sr. Bajo dado anteriormente, entonces no es un problema de razón constante.

Para relaciones inversas, como el "triángulo de agua", los casos límite también pueden introducir disonancia cognitiva. Por ejemplo:

Dadas las condiciones iniciales con el nivel del agua a la izquierda en 4 unidades y el nivel del agua a la derecha en 6 unidades, predice cuál será el nivel del agua a la izquierda si el triángulo se inclina hasta que el nivel del agua esté en la derecha son 10 unidades.

En este punto, los estudiantes abandonarán la estrategia aditiva y se darán cuenta de que 0 no puede ser la respuesta correcta. Se puede realizar un experimento mental para relaciones inversas. Si una variable duplica su valor, ¿qué sucede con la otra variable? Si la respuesta es ⁠1/< span class="den">2⁠ entonces esta podría ser una relación de producto constante (es decir, una proporción inversa).

Graficar los valores de las variables también puede ser una herramienta valiosa para identificar si dos variables son directamente proporcionales o no. Si son directamente proporcionales, entonces los valores deben estar en una línea recta y esa línea debe cruzar el origen.

Las cuatro relaciones funcionales mencionadas anteriormente, suma constante, diferencia constante, producto constante y razón constante, se basan en las cuatro operaciones aritméticas con las que los estudiantes están más familiarizados, es decir, suma, resta, multiplicación y división. La mayoría de las relaciones en el mundo real no caen en una de estas categorías. Sin embargo, si los estudiantes aprenden técnicas simples como experimentos mentales y trazar gráficos, podrán aplicar estas técnicas a situaciones más complejas.

Nuevamente, considere la ecuación de Newton para la fuerza de gravedad:

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Si un estudiante comprende la relación funcional entre las variables, entonces debería poder responder los siguientes experimentos mentales.

¿Qué pasaría con la fuerza de atracción gravitacional si:

• ¿Una de las masas se dobla?
• una masa doble y la otra masa a la mitad?
• ¿Las dos masas se doblaron?
• ¿Las dos masas a la mitad?
• la distancia entre las masas se duplicó?
• la distancia entre las masas a la mitad?

Generalmente, los experimentos mentales deben ser confirmados por resultados experimentales. Cuando se les pide a muchos niños y adultos que realicen un experimento mental sobre la masa de un objeto y la velocidad con la que cae a la Tierra, podrían decir que cuando la masa se duplica, el objeto caerá dos veces más rápido. Sin embargo, los resultados experimentales no respaldan esta afirmación "lógica". experimento mental, por lo que siempre es esencial que los resultados teóricos coincidan con los datos experimentales.