Rango en rango

En la teoría de conjuntos, una rama de las matemáticas, una incrustación de rango en rango es una gran propiedad cardinal definida por uno de los siguientes cuatro axiomas dados en orden creciente de fuerza de consistencia. (Un conjunto de rango < λ es uno de los elementos del conjunto V_λ de la jerarquía de von Neumann).

• Axiom I3: Hay una incrustación elemental notrivial de V_λ en sí mismo.
• Axiom I2: Hay una incrustación primaria notrivial de V en una clase transitiva M que incluye V_λ donde λ es el primer punto fijo por encima del punto crítico.
• Axiom I1: Hay una incrustación elemental notrivial de V_λ+1 en sí mismo.
• Axiom I0: Hay una incrustación elemental notrivial de L(V)_λ+1) en sí mismo con punto crítico debajo de λ.

Estos son esencialmente los axiomas cardinales grandes conocidos más fuertes que no se sabe que sean inconsistentes en ZFC; el axioma para los cardenales de Reinhardt es más fuerte, pero no es consistente con el axioma de elección.

Si j es el embedding elemental mencionado en uno de estos axiomas y κ es su punto crítico, entonces λ es el límite de jn()κ κ ){displaystyle j^{n}(kappa)} como n va a ω. Más generalmente, si el axioma de elección sostiene, es provable que si hay una incrustación elemental notrivial de V_α en sí mismo entonces α es un ordinal límite de la cofinalidad ω o el sucesor de tal ordinal.

Al principio se sospechó que los axiomas I0, I1, I2 e I3 eran inconsistentes (en ZFC) ya que se pensó que era posible que el teorema de inconsistencia de Kunen de que los cardenales de Reinhardt son inconsistentes con el axioma de elección podría extenderse para ellos, pero esto aún no ha sucedido y ahora se cree que son consistentes.

Todo I0 cardinal κ (hablando aquí del punto crítico de j) es un I1 cardinal.

Every I1 cardinal κ (sometimes called ω-the cardinals) is an I2 cardinal and has a stationary set of I2 cardinals below it.

Todo cardenal I2 κ es un cardinal I3 y tiene un conjunto estacionario de cardenales I3 debajo.

Cada cardenal I3 κ tiene otro cardinal I3 encima de él y es un cardenal enorme n para cada n<ω.

El axioma I1 implica que V_λ+1 (equivalentemente, H(λ⁺)) no satisface V=HOD. No existe un conjunto S⊂λ definible en V_λ+1 (incluso a partir de parámetros V_λ y ordinales <λ⁺) con S cofinal en λ y |S|<λ, es decir, ninguna S testifica que λ es singular. Y de manera similar para el Axioma I0 y la definibilidad ordinal en L(V_λ+1) (incluso a partir de parámetros en V_λ). Sin embargo, globalmente, e incluso en V_λ, V=HOD es relativamente consistente con el Axioma I1.

Observe que I0 a veces se fortalece aún más agregando un "conjunto Ícaro", de modo que sería

• Axiom Icarus set: Hay una incrustación elemental notrivial de L(V)_λ+1, Icarus) en sí mismo con el punto crítico debajo de λ.

El conjunto Icarus debe estar en V_λ+2 − L(V_λ+1) pero elegido para evitar crear una inconsistencia. Entonces, por ejemplo, no puede codificar un buen ordenamiento de V_λ+1. Consulte la sección 10 de Dimonte para obtener más detalles.