Rango de una función

En matemáticas, el rango de una función puede referirse a cualquiera de dos conceptos estrechamente relacionados:

• El codominio de la función
• La imagen de la función

Dados dos conjuntos X y Y, una relación binaria f entre X y Y es una función (total) (del estilo X a Y) si para cada x en X hay exactamente una y en Y tal que f relaciona x con y. Los conjuntos X y Y se denominan dominio y codominio de f, respectivamente. La imagen de f es entonces el subconjunto de Y que consta únicamente de los elementos y de Y tal que hay al menos una x en X con f(x) = y.

Terminología

Como el término "rango" puede tener diferentes significados, se considera una buena práctica definirlo la primera vez que se usa en un libro de texto o artículo. Los libros más antiguos, cuando usan la palabra 'rango', tienden a usarla para referirse a lo que ahora se llama el codominio. Libros más modernos, si usan la palabra "rango" en absoluto, generalmente utilícelo para significar lo que ahora se llama la imagen. Para evitar cualquier confusión, varios libros modernos no usan la palabra "rango" en absoluto.

Elaboración y ejemplo

Dada una función

f:: X→ → Y{displaystyle fcolon Xto Y}

con dominio X{displaystyle X}, el rango de f{displaystyle f}, a veces denotado Corrió.⁡ ⁡ ()f){displaystyle operatorname {ran} (f)} o Rango⁡ ⁡ ()f){displaystyle operatorname {Range} (f)}, puede referirse al codominio o conjunto de objetivos Y{displaystyle Sí. (es decir, el conjunto en el que todo el producto f{displaystyle f} se limita a caer), o f()X){displaystyle f(X)}, la imagen del dominio de f{displaystyle f} menores f{displaystyle f} (es decir, el subconjunto de Y{displaystyle Sí. que consiste en todos los productos efectivos de f{displaystyle f}). La imagen de una función es siempre un subconjunto del codomain de la función.

Como ejemplo de los dos usos diferentes, considere la función f()x)=x2{displaystyle f(x)=x^{2} como se utiliza en análisis real (es decir, como una función que introduce un número real y produce su cuadrado). En este caso, su codominio es el conjunto de números reales R{displaystyle mathbb {R}, pero su imagen es el conjunto de números reales no negativos R+{displaystyle mathbb {R}, desde x2{displaystyle x^{2} nunca es negativo si x{displaystyle x} es real. Para esta función, si usamos "range" para significar codomain, se refiere a R{displaystyle mathbb {displaystyle mathbb {R} }; si usamos "range" para significar imagen, se refiere a R+{displaystyle mathbb {R}.

En muchos casos, la imagen y el codominio pueden coincidir. Por ejemplo, considere la función f()x)=2x{displaystyle f(x)=2x}, que introduce un número real y produce su doble. Para esta función, el codomain y la imagen son los mismos (ambos el conjunto de números reales), por lo que el rango de palabras es inequívoco.

Notas y referencias